Bài tập môn Toán Lớp 7 - Chuyên đề 2: Bất đẳng thức

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC (LỚP 7)
Dạng 1: TỔNG LŨY THỪA
Phương pháp: 
So sánh các số hạng trong tổng với các số hạng trong tổng liên tiếp để tìm mối quan hệ, Nếu muốn chứng minh lớn hơn 1 giá trị k nào đó, ta cần so sánh với số hạng có mẫu lớn hơn, và ngược lại 
Bài 1: Chứng minh rằng: 
HD:
Ta thấy bài toán có dạng tổng các lũy thừa bậc hai, nên ta sẽ phân tích tổng A như sau:
Đến đây ta sẽ so sánh với phân số có mẫu nhỏ hơn, vì yêu cầu bài toán là chứng minh nhỏ hơn.
Bài 2: Chứng minh rằng: 
HD:
Ở bài toán này, ta phải chứng minh hai chiều, chiều thứ nhất ta cần chứng minh:
 và Chứng minh 
Ta có: 
 đến đây, ta sẽ so sánh với như sau:
Ta có: bằng cách ta nhân cả tử và mẫu của phân số với 96 để được hai phân số cùng tử rồi so sánh khi đó ta có: 	(1)
Chiều thứ hai, ta cần chứng minh: 
Ta làm tương tự như sau :
=> (2)
Từ (1) và (2) ta có : 
Bài 3: Chứng minh rằng: 
HD :
Ta biến đổi: 
Bài 4: Chứng minh rằng: 
HD :
Nhận thấy bài này là tổng cùng lũy thừa nhưng cơ số lại chẵn, nên ta sẽ đưa về tổng lũy thừa hai liên tiếp như sau :
=>
Bài 5: Chứng minh rằng: 
HD :
Nhận thấy bài này có dạng tổng lũy thừa cùng cơ số, nên ta sẽ thực hiện phép tính tổng A
Việc tính chính xác được tổng A sẽ giảm bớt sự sai số, tuy nhiên không phải tổng nào cũng có thể tính được,
Ta tính tổng A như sau: 
Sau đó lấy 2A trừ A theo vế và nhóm các phân số có cùng mẫu ta được : 
, đặt và tính tổng B theo cách như trên ta được : , thay vào A ta được : 
Bài 6: Chứng minh rằng: 
HD :
Tính tượng tự như bài 5, ta có: , 
Đặt , và tính B rồi thay vào tổng A ta được
Bài 7: Chứng minh rằng: 
HD : 
	Ta có : 
Bài 8: Chứng minh rằng: 
HD :
	Ta có : 
Bài 9: So sánh với 
HD :
Bài 10: Chứng minh rằng với số tự nhiên n>2 thì không là số tự nhiên
HD :
	Ta có : mặt khác ta thấy A>1 vậy ta có : 1<A<2
Bài 11: Chứng minh rằng: 
HD :
Bài 12: Chứng minh rằng: 
HD :
Bài 13: Chứng minh rằng: 
HD :
	, Đặt tổng trong ngoặc bằng B rồi tính B ta có :
	, thay vào A ta được :
 	(1)
	Mặt khác : 	(2)
Từ (1) và (2) ta được ĐPCM
Bài 14: Chứng minh rằng: 
HD :
	Tính tổng A , ta được : , Đặt tổng trong ngoặc bằng B
Bài 15: Chứng minh rằng: 
HD :
	Ta có : 
Bài 16: CMR : 
HD :
	Ta có : 
Bài 17: Chứng minh rằng: 
HD :
	=> 
Bài 18: Chứng minh rằng: 
HD :
	=> 
Bài 19: Chứng minh rằng: có giá trị không nguyên
HD :
	Tính nên M 0 vậy M không có giá trị nguyên
Bài 20: Chứng minh rằng: 
HD :
Bài 21: Chứng minh rằng: 
HD :
	A
Bài 22: Chứng minh rằng: 
HD:
, Đặt tổng trong ngặc bằng B ta có:
Bài 23: Chứng minh rằng: 
HD:
Ta có: 	
=0.2
Bài 24: Chứng minh rằng: thì 
HD:
Ta có : 
Mặt khác : 
Vậy 
Bài 25: Cho , CMR: 
HD: 
CMR: => 
TH1: 	TH2: 
Bài 26: Cho , CMR: A < 2
HD:
Ta có: 
Bài 27: CMR: 
a, 	b, 
HD: 
	a, Ta có: 
	Nên 
	b, Ta có: 
	Đặt , Thay vào A ta được:
Bài 28: CMR : 
HD: 
Đặt Nhân 49 A => 
Bài 29: Cho , CMR: 
Bài 30: CMR : 
Bài 31: CMR: 
Bài 32: CMR: 
HD:
Ta có: , , tương tự như vậy :
Mặt khác: , , 
Tương tự như vậy:
Bài 33: CMR: CMR : 
HD:
Ta có : vậy 
Bài 34: CMR: > 48
HD:
Bài 35: Cho , CMR: 
HD: 
CMR: => 
TH1: 	TH2: 
Bài 36: CMR : 
Bài 37: CMR: 
HD:
	Xét số hạng tổng quát: 
	Do đó: 
	Với n=2500 ta có: 
Bài 38: Chứng minh rằng: 
HD:
Bài 39: Chứng minh rằng: 
HD:
Bài 40: CMR: 
Bài 41: CMR: 
Dạng 2: TỔNG PHÂN SỐ TỰ NHIÊN
Phương pháp:
Với tổng phân số tự nhiên, với chương trình lớp 6 -7 ta nên cho học sinh làm theo cách nhóm đầu cuối và so sánh giữa các nhóm với nhau, để tạo ra các ngoặc có cùng tử, rồi so sánh bình thường
Bài 1: CMR: 
HD:
Bài 2: CMR: 
HD:
Bài 3: CMR: 
HD:
	 hoặc 
Bài 4: CMR: 
HD:
	Nhóm thành 2 ngoặc: Khi đó ta có: 
Bài 5: So sánh A và B biết : và 
HD:
	 Tổng B có 15 số
Bài 6: Cho , CMR: M<2
HD:
	Ta có: và Tổng M có 13 số
Bài 7: Cho , CMR: 
HD:
Bài 8: Cho , CMR: 3<S<8
HD:
	Tổng trên có 30 số hạng:
	Ta có: 
	Ngược lại: 
Bài 9: Chứng minh rằng: thì 
HD:
	Ta thấy tổng A có 100 số, như vậy ta sẽ nhóm thành 50 ngoặc, mỗi ngoặc sẽ có hai phân số, 
gốm 1 phân số đứng đầu và 1 phân số đứng cuối, cứ như vậy dồn sâu vào trong tổng
	( 50 ngoặc)
, lúc này ta sẽ so sánh tất cả với chung 1 phân số đầu hoặc cuối,
TH1: Ta chứng minh thì ta có: 
	(1)
TH2: Ta chứng minh ta có:
	(2)
	Từ (1) và (2) => ĐPCM
Bài 10: Chứng minh rằng: 
HD:
	Nhận thấy tổng chính là tổng bài 1
	Nên ta chứng minh được , mà 
Bài 11: Cho Chứng minh rằng: 
HD :
	Thấy rằng tổng A có 60 số hạng 
TH1: Ta chứng minh bằng cách nhóm 2 số một ngoặc thông thường
	Ta có: (30 ngoặc)
TH2: Tuy nhiên để chứng minh , nếu chúng ta làm như trên thì sẽ không chứng minh được
Lý do: vì việc chứng minh nhỏ hơn mà chúng ta so sánh lớn hơn lượng dư thừa, dẫn đến tổng A lớn hơn , do đó để giảm bớt lượng dư, tùy vào bài toán, chúng ta nên nhóm thành 6 ngoặc
==
Bài 12: Cho , Chứng minh rằng: 
HD:
	Nhóm tổng S thành 3 ngoặc
	Mặt khác: 
Bài 13: Cho , Chứng minh rằng: 0,2 <A<0,4
HD:
	Tách tổng A thành:
	Và: 
Bài 14: Chứng minh rằng: 
HD:
	Thấy rằng tổng A có 2003 số hạng, số hạng ở giữa là 
TH1:	
TH2: 	=
Bài 15: Cho , Chứng minh rằng 
HD:
	Tổng A có 50 số hạng 
	Ta có: (25 ngoặc)
	(1)
	Mặt khác: 	(2)
	Từ (1) và (2) ta có ĐPCM
Bài 16: Cho , Chứng minh rằng: 1< A <2
HD:
	Tổng A có 60 số hạng: (30 ngoặc)
	Mặt khác: 
Bài 17: Chứng minh rằng: 
HD:
Nhận thấy các mẫu của tổng A là bình phương cảu các số tự nhiên liên tiếp, còn tử số kém mẫu số là 1
	nên ta tách A như sau:
	Mà 
Bài 18: Chứng minh rằng: 
HD :
Nhận thấy tổng A có phân số cuối có dạng , nên muốn Chứng minh tổng A lớn hơn 1 số ta nhóm sao cho phân số có dạng ở cuối ngoặc :
Ta có : 
Bài 19: Cho : , chứng minh rằng A>50 và A<100
HD :
Nhận thấy tổng A giống với bài 10, muốn chứng minh lớn hơn ta để phân số dạng ở cuối ngoặc :
Mặt khác muốn chứng minh A <100, ta nhóm sao cho phân số có dạng nằm ở đầu ngoặc :
	 vậy A<100
Bài 20: Chứng minh rằng: 
HD :
Bài 21: Cho , So sánh A với 2007
HD:
	Ta có: 
 	Xét 
Khi đó: 
Bài 22: Chứng minh rằng luôn tồn tại số tự nhiên n để: 
HD :
	Chọn Khi đó : 
Bài 23: Cho , So sánh B với 50
HD :
Bài 24: Chứng minh rằng: 
HD :
	, có số hạng
	 vậy A>1
Bài 25: Chứng minh rằng: 
HD:
	Tổng này là 1 trường hợp của bài 15: Áp dụng cách làm bài 15 ta có:
Bài 26: Chứng minh rằng: 
HD:
	Tương tự tổng này có dạng của bài 15, nên ta có:
Bài 27: Chứng minh rằng: 
HD:
	Ta có: 
Bài 28: CMR luôn tồn tại số tự nhiên n để 
HD:
	Chọn 
Bài 29: CMR: 
HD:
Bài 30: CMR: 
Bài 31: CMR: >
HD:
 =
Bài 32: CMR: 
Bài 33: CMR: 
Dạng 3: TÍCH CỦA 1 DÃY
Phương pháp:
Với dạng tích ta sử dụng tính chất: với m>0, và ngược lại
Bài 1: Cho Chứng minh rằng: 14 < A < 20
HD:
	Ta thấy: Phân số nên ta có:
	 khi đó : 
	Mặt khác : nên ta có :
	 khi đó : 
Bài 2: Cho Chứng minh rằng A
HD :
	Ta thấy A có dạng , 
Bài 3: Cho Chứng minh rằng 
HD :
	A có dạng khi đó ta có :
	 khi đó : 
Mặt khác :
=> 
Bài 4: Chứng minh rằng 
HD :
=>
Bài 5: Chứng minh rằng: Chứng minh rằng 
HD :
	Ta có : 
Bài 6: Cho Chứng minh rằng: 
HD :
	Ta có : 
	Mặt khác : 
Bài 7: Cho So sánh A với 
HD :
	Ta thấy tích A gồm 99 số âm :
, Mà : 
Vậy 
Bài 8: Chứng minh rằng với n là số thự nhiên thì: 
Dạng 4: BẤT ĐẲNG THỨC CHỮ
Phương pháp:
	Với chương trình lớp 6-7 các dạng bài toán chứng minh bất đẳng thức chữ, ta thường sử dụng tính 
chất: hoặc ngược lại và đưa về cùng mẫu
Bài 1: Cho a, b, c > 0, Chứng minh rằng: có giá trị không nguyên
HD:
	Ta có: và , Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta có:
	, hay , 
Vậy M không nguyên
Bài 2: Cho x, y, z, t là số tự nhiên khác 0, Chứng minh rằng:
 có giá trị không nguyên
HD:
	Ta có: và , Cộng theo vế ta được:
	, Vậy M không nguyên
Bài 3: Cho a, b, c, d Chứng minh rằng: 
 Có giá trị không nguyên
HD:
	Ta có: và Cộng theo vế ta được:
 Vậy A có giá trị không nguyên
Bài 4: Cho a, b, c là các số dương, và tổng hai số luôn lớn hơn số còn lại. 
Chứng minh rằng: 
HD:
	Chúng ta có thể làm theo cách ở trên, hoặc làm theo cách thứ hai như sau:	
Giả sử: 
Khi đó: , cộng theo vế ta được: 
Bài 5: Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng: 
HD:
	Ta có: và Cộng theo vế ta được: 
Bài 6: Cho a, b, c, d > 0, Chứng minh rằng: 
HD:
	Ta có:
	 	Cộng theo vế ta được: 2<A<3
Bài 7: Cho các số x,y,z nguyên dương, CMR: 
HD: 
	Ngoài hai cánh như trên, ta cũng có thể hướng dẫn học sinh làm theo cánh như sau:
Ta có: , Tương tự ta cũng có: 
Mà Nên 
Bài 8: Cho các số x,y,z nguyên dương, CMR: 
HD: 
Ta có: , Tương tự ta cũng có: 
Mà Nên 
Bài 9 : Cho a,b,c là ba cạnh của 1 tam giác : CMR : 
HD :
	Trong tam giác, tổng độ dài hai cạnh lớn hơn cạnh còn lại nên ta có :
	Tương tự ta có :
 và 
	Cộng theo vế ta được : 
Bài 10: Cho ba số dương , CMR: 	
HD:
	Vì 
	 => 
	Mà 
	Chứng minh tương tự ta có: và 
	Cộng theo vế ta được: (ĐPCM)