Giáo án Đại số Khối 6 - Chủ đề 19: Tính chất cơ bản của phân số

 CHỦ ĐỀ 19: TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN SỐ
A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1/ Tính chất cơ bản của phân số:
 Nếu ta nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số nguyên khác 0 thì ta được 
một phân số bằng phân số đã cho.
 a a.m
 với m ¢ ,m 0
 b b.m
 Nếu ta chia cả tử và mẫu của một phân số cho cùng một ước chung của chúng thì ta được 
một phân số bằng phân số đã cho.
 a a : n
 với n ƯC a;b 
 b b : n
2/ Chú ý:
 - Ta có thể viết một phân số bất kì có mẫu âm thành phân số bằng nó và có mẫu dương 
bằng cách nhân cả tử và mẫu của phân số đó với 1.
 - Mỗi phân số có vô số phân số bằng nó. Các phân số bằng nhau là cách viết khác nhau 
của cùng một số gọi là số hữu tỉ.
B/ BÀI TẬP VẬN DỤNG.
DẠNG 1: LIÊN HỆ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN SỐ VỚI PHÂN SỐ BẰNG 
NHAU.
I/ PHƯƠNG PHÁP.
 * Để giải thích phân số bằng a phân số c ta giải thích như sau:
 b d
 + Nếu tích a.d = b.c thì hai phân số bằng nhau.
 + Từ phân số a ta nhân (chia) cả tử và mẫu của phân số này cho cùng một số m mà 
 b 
được phân số c thì hai phân số bằng nhau.
 d
 * Với phân số tối giản a thì phân số a.k là dạng chung của tất cả các phân số bằng 
 b b.k 
phân số a
 b II/ BÀI TẬP VẬN DỤNG.
 12 2
Bài 1. Giải thích tại sao các phân số bằng nhau: 
 30 5
 Giải
 12.5 60
 30. 2 60
 12 2
 Do đó 12.5 30. 2 
 30 5
Bài 2. Giải thích tại sao các phân số sau bằng nhau:
 a) 51 và 5151 b) 313131 và 31
 73 7373 474747 47
 Giải
 51 51.101 5151 313131 313131:10101 31
 a) b) 
 73 73.101 7373 474747 474747 :10101 47 
Bài 3. Tìm ba phân số bằng phân số 5
 13
 Giải
 10 15 20
 ; ;
 26 39 52
Bài 4. 
 x 48
 a) Tìm x ¢ , biết .
 24 72
 b) Viết dạng chung của tất cả các phân số bằng 48 .
 72
 Giải
 x 48 48:3 16
 a) . Vậy x 16.
 24 72 72 :3 24
 48 48: 24 2
 b) .
 72 72 : 24 3
 48 2k
 Dạng chung của tất cả các phân số bằng là k ¢ ;k 0 .
 72 3k
Bài 5. Đúng ghi Đ, sai ghi S
 37 37 24 5111 5111 131
 a) c) 
 191 191 24 9333 9333 131 387 387.69 43 43. 9978 
 b) d) 
 2911 2911.69 71 71. 9978 
 Giải
 S Đ S Đ
 a) b) c) d)
Bài 6. Giải thích tại sao các phân số sau bằng nhau:
 24 14 90 22
 a) b) 
 36 21 225 55
 Giải
 24 24 :12 2 2.7 14 90 90 : 45 2 22
 a) . b) .
 36 36 :12 3 3.7 21 225 225: 45 5 55
 3131 313131
Bài 7. Giải thích tại sao các phân số sau bằng nhau: 
 9797 979797
 Giải
 3131 3131:101 31 31.10101 313131
 9797 9797 :101 97 97.10101 979797
Bài 8. Tìm bốn phân số bằng phân số 24 có mẫu là số tự nhiên nhỏ hơn 14.
 36
 Giải
 24 24 :12 2 2 4 6 8
 => Bốn phân số cần tìm là ; ; ; 
 36 36 :12 3 3 6 9 12
Bài 9. 
 a) Tìm tất cả các phân số bằng phân số 63 và có mẫu là số tự nhiên nhỏ hơn 20.
 84
 b) Tìm tất cả các phân số bằng phân số 121212 có mẫu là số tự nhiên nhỏ hơn 50.
 131313
 Giải
 3 6 9 12 12 24 36
 a) ; ; ; b) ; ;
 4 8 12 16 13 26 39
 3x 4
Bài 10. Cho biểu thức M 
 x 3
 a) Tìm các số nguyên x để M là phân số.
 b) Tìm các số nguyên x để M là một số nguyên. Giải
 a) x 3
 b) M là số nguyên khi (3x – 4) ⋮ (x – 3)  [3(x – 3) + 5] ⋮ (x – 3)
 Nên x 3 là ước của 5.
 x 3 1; 1;5; 5 hay x 4;2;8; 2
 102
Bài 11. Tìm phân số có giá trị bằng phân số biết tổng của tử và mẫu của phân số đó là 80.
 170
 Giải
 102 102 :34 3
 . 
 170 170 :34 5
 102 3n
 Phân số bằng phân số có dạng n ¢ ,n 0 .
 170 5n
 Theo đầu bài, ta có 3n 5n 80 8n 80 n 10 .
 Phân số cần tìm là 30 .
 50
DẠNG 2: RÚT GỌN PHÂN SỐ. 
I/ PHƯƠNG PHÁP.
 Muốn rút gọn một phân số, ta chia cả tử và mẫu của một phân số cho một ước chung 
(khác 1 và 1) của chúng.
 Phân số tối giản (hay phân số không rút gọn được nữa) là phân số mà tử và mẫu chỉ có 
ước chung là 1 và 1.
 Chú ý:
 - Nếu chia cả tử và mẫu của phân số cho ƯCLN của chúng, ta sẽ được một phân số tối 
giản.
 a
 - Phân số là tối giản nếu a và b là hai số nguyên tố cùng nhau.
 b
 - Khi rút gọn phân số, ta thường rút gọn phân số đến tối giản.
II/ BÀI TẬP VẬN DỤNG. 
Bài 1. Rút gọn các phân số sau thành phân số tối giản:
 a) 300 b) 38 c) 68
 540 95 85 Giải
 300 300 : 60 5 38 38:19 2 68 68: 17 4
 a) b) c) 
 540 540 : 60 9 95 95:19 5 85 85: 17 5
Bài 2. Rút gọn 
 a) 12.13 b) 25.17 25.12
 5.24 29.13 29.14
 Giải
 12.13 1.13 13 25.17 25.12 25. 17 12 25.29 25
 a) b) 
 5.24 5.2 10 29.13 29.14 29. 13 14 29.27 27
 32
Bài 3. Tìm tất cả các phân số bằng phân số và có mẫu là số tự nhiên nhỏ hơn 15.
 48
 Giải
 32 32 :16 2 2 4 6 8
 => Các phân số cần tìm là ; ; ;
 48 48:16 3 3 6 9 12
 5 2 1
Bài 4. Viết các phân số ; ; dưới dạng phân số có mẫu là 48.
 6 3 24
 Giải
 5 40 2 32 1 2
 ; ; 
 6 48 3 48 24 48
Bài 5. Rút gọn: 1.2.5 3.4.15 4.8.20 7.14.350
 2.5.11 6.10.33 8.20.44 14.35.770
 Giải
 1.2.5 3.4.15 4.8.20 7.14.350 1.2.5. 1.1.1 3.2.3 4.4.4 7.7.70 1
 2.5.11 6.10.33 8.20.44 14.35.770 2.5.11. 1.1.1 3.2.3 4.4.4 7.7.70 11
Bài 6. 
 14n 3
 a) Chứng tỏ rằng: là phân số tối giản với mọi n ¢ .
 21n 5
 25m 7
 b) Chứng minh rằng: là phân số tối giản với mọi m ¢ .
 15m 4
 Giải
 Để chứng minh một phân số đã cho là phân số tối giản ta chứng minh TỬ SỐ và MẪU 
SỐ có ƯCLN bằng 1 a) Gọi d là ƯCLN của 14n 3 và 21n 5 d ¥ * . Ta có 14n 3d và 21n 5d .
 Do đó 2 21n 5 3 14n 3 1d . Vậy d 1.
 b) 3 25m 7 5 15m 4 1
 12 4
Bài 7. Cộng cả tử và mẫu của phân số với cùng một số tự nhiên x rồi rút gọn ta được . 
 17 5
Tìm x
 Giải
 12 x 4
 5 12 x 4 17 x 60 5x 68 4x x 8
 17 x 5
 1 2 ... 8 9
Bài 8. Cho A . Hãy xóa một số hạng ở tử và xóa một số hạng ở mẫu của A 
 11 12 ... 18 19
để được một phân số có giá trị vẫn bằng A .
 Giải
 1
 A nên có các cách Giải sau:
 3
 Xóa số hạng 4 ở tử và xóa số hạng 12 ở mẫu, ta có:
 1 2 3 5 6 7 8 9 41 1
 11 13 14 15 16 17 18 19 123 3
 Xóa số hạng 5 ở tử và xóa số hạng 15 ở mẫu, ta có:
 1 2 3 4 6 7 8 9 40 1
 11 12 13 14 16 17 18 19 120 3
 Xóa số hạng 6 ở tử và xóa số hạng 18 ở mẫu, ta có:
 1 2 3 4 5 7 8 9 39 1
 11 12 13 14 15 16 17 19 117 3
 a 36
Bài 9. Tìm phân số bằng phân số biết rằng Ư CLN a;b 31.
 b 45
 Giải
 36 36 :9 4
 45 45:9 5
 a a 4
 Phân số tối giản có ƯCLN a;b 31 => phân số đã rút gọn cho 31 để được .
 b b 5
 a 4.31 124
 Vậy .
 b 5.31 155 6 7 8 64 65
Bài 10. Cho các phân số sau: ; ; ;...; ; . Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để 
 n 8 n 9 n 10 n 66 n 67
các phân số trên tối giản.
 Giải
 a
 Các phân số đã cho có dạng và tối giản nếu các số a và n 2 nguyên tố cùng 
 a n 2 
nhau vì: a n 2 a n 2, với a 6;7;8;...;64;65.
 Do đó n 2 nguyên tố cùng nhau với các số 6;7;...;64;65.
 Số tự nhiên n 2 nhỏ nhất thỏa mãn tính chất này là 67 .
 Ta có n 2 67 nên n 67 2 65.
 Vậy số tự nhiên n nhỏ nhất cần tìm là 65.
Bài 11. Tìm phân số có mẫu bằng 13, biết rằng khi cộng tử với 14, nhân mẫu với 3 thì giá trị 
phân số đó không thay đổi.
 Giải
 x x 14
 Phân số cần tìm có dạng x ¢ 
 13 13.3
 3x x 4
 Do đó 3x x 14 2x 14 x 7 .
 39 39
 7 7 14 21
 Thử lại: (Thích hợp)
 13 13.3 39
DẠNG 3: QUY ĐỒNG MẪU SỐ NHIỀU PHÂN SỐ.
I/ PHƯƠNG PHÁP
 Muốn quy đồng mẫu nhiều phân số với mẫu dương ta làm như sau:
 - Bước 1: Tìm một bội chung các mẫu (thường là BCNN) để làm mẫu chung.
 - Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu (bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu).
 - Bước 3: Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng.
II/ BÀI TẬP VẬN DỤNG.
Bài 1. Quy đồng mẫu các phân số:
 5 4 7 5 1 2 7
 a) và b) và c) ; và 
 12 9 15 12 5 3 10
 Giải 5 5.3 15 4 4.4 16
 a) ; 
 12 12.3 36 9 9.4 36
 7 7.4 28 5 5.5 25
 b) ; 
 15 15.4 60 12 12.5 60
 1 1.6 6 2 2.10 20 7 7.3 21
 c) ; ; 
 5 5.6 30 3 3.10 30 10 10.3 30
Bài 2: Quy đồng mẫu các phân số sau:
 15 9 26 7 5 3 4 3 8
 a) ; và b) ; và c) ; và 
 50 10 30 10 15 17 75 5 25
 Lời giải
 Đối với phân số chưa tối giản ta nên rút gọn trước rồi mới quy đồng mẫu dương
 15 3.5 3 3.3 9 9 9.3 27 26 26
 a) ; ; .
 50 10.5 10 10.3 30 10 10.3 30 30 30
 5 1
 b) Ta có . Chọn MSC = BCNN(10; 3; 17) = 510
 15 3
 7 7.51 375 7 1 170 3 3.30 90
 ; ; 
 10 10.51 510 15 3 510 17 17.30 510
 4 4 3 3.15 45 8 8.3 24
 c) ; ; 
 75 75 5 5.15 75 25 25.3 75
Bài 3: Quy đồng mẫu các phân số sau:
 7 9 52 7 34 8
 a) và b) và 
 23.3.5 22.32.10 7 9.5 4 32
 Lời giải
 9 3
 a) Rút gọn phân số nên MSC = 23.3.5
 22.32.10 23.3.5
 52 7 32 16 16.5 80 34 8 73 73.19 1387
 b) và 
 7 9.5 38 19 19.5 95 4 32 5 5.19 95
 MSC = 19.5 = 95 
 Nhận xét: Đối với phân số ở tử và mẫu mới rút gọn được ngay, còn dưới dạng tổng hoặc 
hiệu thì phải tính đến kết quả rồi mới rút gọn được trước khi quy đồng mẫu.
Bài 4. Quy đồng mẫu các phân số sau:
 8 10 62 8 15 34
 a) và b) và 
 23.25 22.52.7 12 42 27 32 DẠNG 4: SO SÁNH PHÂN SỐ.
I/ PHƯƠNG PHÁP
1/ Trong hai phân số có cùng một mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn.
2/ Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số có cùng một 
mẫu dương rồi so sánh các tử với nhau. Phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn.
3/ Nhận xét:
 Phân số có tử và mẫu là hai số nguyên cùng dấu thì lớn hơn 0. Phân số lớn hơn không 
gọi là phân số dương.
 Phân số có tử và mẫu là hai số nguyên khác dấu thì nhỏ hơn 0. Phân số nhỏ hơn 0 gọi 
là phân số âm.
 Hai phân số có mẫu dương, cùng tử dương, phân số nào có mẫu nhỏ hơn thì phân số đó 
lớn hơn.
II/ BÀI TẬP VẬN DỤNG
 54 33 151 47
Bài 1. Trong các phân số sau: ; ; ; phân số nào dương, phân số nào âm?
 1145 71 284 2008
 Giải
 54 33 151 47
 0; 0; 0; 0
 1145 71 284 2008
Bài 2. So sánh các phân số sau:
 a) 13 và 11 b) 21 và 19
 15 15 37 37
 c) 14 và 14 d) 13 và 13
 27 31 59 51
 Giải
 13 11 21 19
 a) b) 
 15 15 37 37
 14 14 13 13 13 13
 c) d) 
 27 31 59 51 59 51
Bài 3. So sánh các phân số sau:
 a) 42 và 60 b) 34 và 93
 63 72 119 248
 Giải 42 2 60 5 2 4 5 42 60
 a) ; ; . Vậy .
 63 3 72 6 3 6 6 63 72
 34 2 93 3 2 16 21 3
 b) ; ; .
 119 7 248 8 7 56 56 8
Bài 4. So sánh các phân số sau:
 a) 49 và 13 b) 51 và 1424
 211 1999 511 1629
 Giải
 49 13 49 13
 a) 0; 0 nên .
 211 1999 211 1999
 51 1424 51 1424
 b) 0; 0 nên .
 511 1629 511 1629
 1 5 7 5 1 1
Bài 5. Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần: ; ; ; ; ; .
 2 12 18 9 3 3
 Giải
 1 18 5 10 7 14 5 20 1 12 1 12
 ; ; ; ; ; 
 2 36 12 36 18 36 9 36 3 36 3 36
 20 18 12 10 12 14
 Ta có 
 36 36 36 36 36 36
 5 1 1 5 1 7
 Nên .
 9 2 3 12 3 18
Bài 6. Điền số thích hợp vào chỗ chấm
 31 ... ... ... 27 5 5 5 5 1
 a) b) 
 59 59 59 59 59 31 ... ... ... 7
 Giải
 31 30 29 28 27
 a) 
 59 59 59 59 59
 5 5 5 5 1
 b) 
 31 32 33 34 7
 a 5 a 5
Bài 7. Tìm năm phân số có dạng mà . 
 b 11 b 9
 Giải
 5 15 5 15 5 a 5 15 a 15
 Ta có ; => hay 
 11 33 9 27 11 b 9 33 b 27