Giáo án dạy thêm môn Toán Lớp 6

CHỦ ĐỀ 1: TẬP HỢP 
A/ KIẾN THỨC CƠ BẢN. 
1. Tập hợp là một khái niệm cơ bản thường dùng trong toán học và trong cuộc sống, ta hiểu 
tập hợp thông qua các ví dụ. 
2. Tập hợp được đặt tên bằng chữ cái in hoa: VD: Tập hợp A, tập hợp B, 
3. Phần tử của tập hợp kí hiệu bằng chữ cái thường: VD: phần tử a, phần tử b, . 
4. Viết tập hợp: 
- Liệt kê phần tử của tập hợp: A = {phần tử} 
- Chỉ ra tính chất đặc trưng của các tập hợp: A = {x | tính chất đặc trưng} 
5. Số phần tử của tập hợp: Một tập hợp có thể có một, có nhiều phần tử, có vô số phần tử, 
cũng có thể không có phần tử nào. 
6. Phần tử thuộc, không thuộc tập hợp: 
- Nếu phần tử x thuộc tập hợp A, kí hiệu x ∈ A. 
- Nếu phần tử a không thuộc tập hợp A, kí hiệu a A. 
7. Tập hợp rỗng: Là tập hợp không có phần tử nào, tập rỗng kí hiệu là: Ø. 
8. Tập hợp con: Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B thì tập hợp A gọi là tập 
hợp con của tập hợp B, kí hiệu là AB hay BA. 
9. Hai tập hợp bằng nhau: Nếu AB và BA, ta nói hai tập hợp bằng nhau, kí hiệu A = B. 
10. Nếu tập hợp A có n phần tử thì số tập hợp con của A là 2n. 
B/ CÁC DẠNG TOÁN. 
Dạng 1: Viết tập hợp, viết tập hợp con, sử dụng kí hiệu 
 * Với tập hợp ít phần tử thì viết tập hợp theo cách liệt kê phần tử. 
 * Với tập hợp có rất nhiều phần tử (vô số phần tử) thì viết tập hợp theo cách chỉ ra tính chất 
đặc trưng của các phần tử trong tập hợp. 
Bài 1: Cho tập hợp A là các chữ cái trong cụm từ “Thành phố Hồ Chí Minh”. (Không phân biệt chữ 
in hoa và chữ in thường trong cụm từ đã cho). 
a) Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp A. 
b) Điền kí hiệu thích hợp vào ô vuông 
b A c A h A 
Bài 2: Cho tập hợp các chữ cái X = {A, C, O} 
a/ Tìm cụm chữ tạo thành từ các chữ của tập hợp X. 
b/ Viết tập hợp X bằng cách chỉ ra các tính chất đặc trưng cho các phần tử của X. 
Hướng dẫn 
a/ Chẳng hạn cụm từ “CA CAO” hoặc “CÓ CÁ” 
b/ X = {x: x-chữ cái trong cụm chữ “CA CAO”} 
Bài 3: Cho các tập hợp: A = {1; 2; 3; 4; 5; 6;8;10} ; B = {1; 3; 5; 7; 9;11} 
a/ Viết tập hợp C các phần tử thuộc A và không thuộc B. 
b/ Viết tập hợp D các phần tử thuộc B và không thuộc A. 
c/ Viết tập hợp E các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B. 
d/ Viết tập hợp F các phần tử hoặc thuộc A hoặc thuộc B. 
Bài 4: Cho tập hợp A = {1; 2;3;x; a; b} 
a/ Hãy chỉ rõ các tập hợp con của A có 1 phần tử. 
b/ Hãy chỉ rõ các tập hợp con của A có 2 phần tử. 
c/ Tập hợp B = {a, b, c} có phải là tập hợp con của A không? 
Bài 5: Cho tập hợp B = {a, b, c}. Hỏi tập hợp B có tất cả bao nhiêu tập hợp con? 
Bài 6: Cho A = {1; 3; a; b} ; B = {3; b} . Điền các kí hiệu , ,  thích hợp vào dấu ( .) 
1 ......A ; 3 ... A ; 3....... B ; B ...... A 
Bài 7: Cho các tập hợp /9 99A x N x ; * / 100B x N x . Hãy điền dấu  hay vào các 
ô dưới đây 
N .... N* ; A ......... B 
Bài 8: Viết tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử: 
 a) A = {x ∈ N* | 20 ≤ x < 30} 
 b) B = {x ∈ N* | < 15} 
Bài 9. Viết các tập hợp sau đây bằng cách liệt kê các phần tử của chúng : 
Tập hợp A các số tự nhiên không lớn hơn 5. 
Tập hợp B các số tự nhiên có hai chữ số không nhỏ hơn 90. 
Tập hợp C các số chẵn lớn hơn 10 và nhỏ hơn hoặc bằng 20. 
Bài 10. Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của các tập hợp sau đây : 
A = 10; 2; 4; 6; 8} ; B = (1; 3; 5; 7; 9; 11} ; 
C = {0; 5; 10; 15; 20; 25} ; D = (1; 4; 7;10; 13;16; 19}. 
Bài 11: Viết tập hợp các số tự nhiên lớn hơn 14, nhỏ hơn 45 và có chứa chữ số 3. Các số 13 ; 25 ; 53 
có thuộc tập hợp ấy không ? 
Bài 12: 
a) Một năm gồm bốn quý. Viết tập hợp A các tháng của quý một trong năm. 
b) Viết tập hợp B các tháng (dương lịch) có ít hơn 30 ngày. 
Dạng 2: Xác định số phần tử của một tập hợp. 
 * Với các tập hợp ít phần tử thì biểu diễn tập hợp rồi đếm số phần tử. 
 * Với tập hợp mà có phần tử tuân theo quy luật tăng đều với khoảng cách d thì số phần tử 
của tập hợp này là: (Số đầu – Số cuối):d + 1 
Bài 1: Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số. Hỏi tập hợp A có bao nhiêu phần tử? 
Hướng dẫn: 
Tập hợp A có (999 – 100) + 1 = 900 phần tử. 
Bài 2: Hãy tính số phần tử của các tập hợp sau: 
a/ Tập hợp A các số tự nhiên lẻ có 3 chữ số. 
b/ Tập hợp B các số 2, 5, 8, 11, , 296, 299, 302 
c/ Tập hợp C các số 7, 11, 15, 19, , 275 , 279 
Hướng dẫn 
a/ Tập hợp A có (999 – 101):2 +1 = 450 phần tử. 
b/ Tập hợp B có (302 – 2 ): 3 + 1 = 101 phần tử. 
c/ Tập hợp C có (279 – 7 ):4 + 1 = 69 phần tử. 
TỔNG QUÁT: 
+ Tập hợp các số chẵn từ số chẵn a đến số chẵn b có (b – a) : 2 + 1 phần tử. 
+ Tập hợp các số lẻ từ số lẻ m đến số lẻ n có (n – m) : 2 + 1 phần tử. 
+ Tập hợp các số từ số c đến số d là dãy số các đều, khoảng cách giữa hai số liên tiếp của 
dãy là 3 có (d – c ): 3 + 1 phần tử. 
Bài 3: Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số. Hỏi tập hợp A có bao nhiêu phần tử? 
Bài 4: Hãy tính số phần tử của các tập hợp sau: 
a/ Tập hợp A các số tự nhiên lẻ có 3 chữ số. 
b/ Tập hợp B các số 2, 5, 8, 11, , 296, 299, 302 
c/ Tập hợp C các số 7, 11, 15, 19, , 275 , 279 
Bài 5: Cho biết mỗ tập hợp sau có bao nhiêu phần tử 
 a) Tập hợp A các số tự nhiên x sao cho x – 30 = 60 
 b) Tập hợp B các số tự nhiên y sao cho y . 0 = 0 
 c) Tập hợp C các số tự nhiên a sao cho 2.a < 20 
 d) Tập hợp D các số tự nhiên d sao cho (d – 5)2 0 
 e) Tập hợp G các số tự nhiên z sao cho 2.z + 7 > 100 
Bài 6: Dùng 4 chữ số 1, 2, 3, 4 để viết tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau. Hỏi tập này có 
bao nhiêu phần tử. 
Bài 7: Cho hai tập hợp M = {0,2,4, ..,96,98,100;102;104;106}; 
 Q = { x N* | x là số chẵn ,x<106}; 
a) Mỗi tập hợp có bao nhiêu phần tử? 
b) Dùng kí hiệu  để thực hiên mối quan hệ giữa M và Q. 
Bài 8. Cho hai tập hợp R={a N | 75 ≤ a ≤ 85}; S={b N | 75 ≤b ≤ 91}; 
a) Viết các tập hợp trên; 
b) Mỗi tập hợp có bao nhiêu phần tử; 
c) Dùng kí hiệu  để thực hiên mối quan hệ giữa hai tập hợp đó. 
Bài 9. Viết các tập hợp sau và cho biết mỗi tập hợp có bao nhiêu phần tử: 
 a) Tập hợp A các số tự nhiên x mà 17 – x = 5 . 
b) Tập hợp B các số tự nhiên y mà 15 – y = 18. 
c) Tập hợp C các số tự nhiên z mà 13 : z > 6. 
d) Tập hợp D các số tự nhiên x , x N* mà 2.x + 1 < 100. 
Dạng 3: Tập hợp con. 
 * Muốn chứng minh tập B là con của tập A, ta cần chỉ ra mỗi phần tử của B đều thuộc A. 
 * Để viết tập con của A, ta cần viết tập A dưới dạng liệt kê phần tử. Khi đó mỗi tập B gồm 
một số phần tử của A sẽ là tập con của A. 
 * Lưu ý: 
 - Nếu tập hợp A có n phần tử thì số tập hợp con của A là 2n 
 - Số phần tử của tập con của A không vượt quá số phần tử của A. 
 - Tập rỗng là tập con của mọi tập hợp. 
Bài 1: Trong ba tập hợp con sau đây, tập hợp nào là tập hợp con của tập hợp còn lại. Dùng kí hiệu  
để thể hiện quan hệ mỗi tập hợp trên với tập N. 
A là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 20 
B là tập hợp các số lẻ 
C là tập hợp các số tự nhiên khác 20. 
Bài 2: Trong các tập hợp sau, Tập hợp nào là tập con của tập còn lại? 
a) A = {m ; n} và B = {m ; n ; p ; q} 
b) C là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số giống nhau và D là tập hợp các số tự nhiên chia 
hết cho 3. 
c) E = {a ∈N| 5 < a < 10} và F = {6 ; 7 ;8 ; 9} 
Bài 3: Cho tập A = {1 ; 2; 3} 
a) Tìm các tập hợp con của tập A. 
b) Viết tập hợp B gồm các phần tử là các tập con của A 
c) Khẳng định tập A là tập con của B đúng không? 
Bài 4: Cho tập A = {nho, mận, hồng, cam, bưởi} 
Hãy viết tất cả các tập hợp con của A sao cho mỗi tập hợp đó có: 
a) Một phần tử. 
b) Hai phần tử. 
c) Ba phần tử. 
Dạng 3. Minh họa một tập hợp cho trước bằng hình vẽ 
* Sử dụng biểu đồ Ven. Đó là một đường cong khép kín, không tự cắt, mỗi phần tử của tập 
hợp được biểu diễn bởi một điểm ở bên trong đường cong đó. 
VÍ DỤ. Gọi A là tập hợp các số tự nhiên chẵn m sao cho 4 < m < 11. Hãy minh họa tập hợp A bằng 
hình vẽ. 
CHỦ ĐỀ 2: SỐ TỰ NHIÊN. CÁCH GHI SỐ TỰ NHIÊN 
1/ Tập hợp các số tự nhiên kí hiệu là N, Tập hợp các số tự nhiên khác 0 kí hiệu là N* 
 N = {0, 1, 2, 3, .} N* = {1, 2, 3, .} 
2/ Biểu diễn số tự nhiên trên tia số. 
 * Mỗi số tự nhiên được biểu diễn bởi một điểm trên tia số Ox 
 * Điểm biểu diễn số nhỏ ở bên trái điểm biểu diễn số lớn. 
3/ Ghi số tự nhiên. 
* Để ghi số tự nhiên trong hệ thập phân người ta dùng mười chữ số: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. 
* Trong hệ thập phân cứ 10 đợn vị ở một hàng thì làm thành 1 đơn vị ở hàng liền trước nó. 
* Để biểu thị một số có nhiều chữ số, chẳng hạn có bốn chữ sô theo thứ tự từ trái sang phải là 
a, b, c, d, ta thường viết abcd . Số này là "a nghìn, b trăm, c chục, d đơn vị. 
Do đó abcd = a.1000 + b.100 + c.10 +d. 
4. Chữ số La Mã. 
 * Trong hệ la mã, để ghi số tự nhiên người ta dùng bảy chữ số: I , V, X, L, C, D, M có giá trị 
tương ứng là 1 , 5, 10, 50, 100, 500, 1000 
 * Mỗi số La Mã không được viết liền nhau quá 3 lần. 
 * Có 6 số La Mã đặc biệt: IV, IX, XL, XC, CD, CM có giá trị tương ứng 4, 9, 40, 90, 400, 
900. 
B/ CÁC DẠNG BÀI TẬP. 
DẠNG 1: CÁCH GHI SỐ TỰ NHIÊN. 
 * Cần phân biệt rõ: 
số với chữ số ; số chục với chữ số hàng chục ; số trăm với chữ số hàng trăm, .. 
 VD: Số 4315 
+ các chữ số là 4, 3, 1, 5 
+ Số chục là 431, chữ số hàng chục là 1 
+ Số trăm là 43, chữ số hàng trăm là 3 . 
* Mỗi chữ số ở những vị trí khác nhau sẽ có giá trị khác nhau. Riêng chữ số 0 không thể đứng 
ở vị trí đầu tiên. 
* Số nhỏ nhất có n chữ số là 1000 .000 (n - 1 chữ số 0 ) 
* Số lớn nhất có n chữ số là 999 .99 (n chữ số 9 ) 
Bài 1. (Bài 11 trang 10 SGK) 
a) Viết số tự nhiên có số chục là 135, chữ số hàng đơn vị là 7. 
b) Điền vào bảng : 
Bài 2. (Bài 13 trang 10 SGK) 
a) Viết số tự nhiên nhỏ nhất có bốn chữ số. 
b) Viết số tự nhiên nhỏ nhất có bốn chữ số khác nhau. 
Giải 
Để viết số tự nhiên nhỏ nhất có bốn chữ số, ta phải chọn các chữ số nhỏ nhất có thể được cho 
mỗi hàng. 
Ta có : a) 1000 ; b) 1023. 
Bài 3. 
a) Viết số tự nhiên nhỏ nhất có tám chữ số. 
b) Viết số tự nhiên lớn nhất có tám chữ số. 
Giải 
Số có tám chữ số gồm tám hàng : nhỏ nhất là hàng đơn vị, lớn nhất là hàng chục triệu. 
a) Số nhỏ nhất có tám chữ số, phải có chữ số có giá trị nhỏ nhất có thể được ở mỗi hàng. Vậy 
ở tất cả các hàng là chữ số 0, riêng chữ số hàng chục triệu phải là chữ số 1 (chữ số nhỏ nhất có thể 
được). Vậy số phải viết là 10 000 000. 
b) Số lớn nhất có tám chữ số phải có chữ số có giá trị lớn nhất có thể được ở mỗi hàng. Chữ 
số lớn nhất đó là 9 và số lớn nhất có tám chữ số là : 99 999 999. 
Bài 4. 
a) Viết số tự nhiên nhỏ nhất có năm chữ số. 
b) Viết số tự nhiên nhỏ nhất có năm chữ số khác nhau. 
Bài 5. Viết tập hợp các chữ số của số 2010. 
Bài 6. 
a) Viết số tự nhiên nhỏ nhất có sáu chữ số; 
b) Viết số tự nhiên lớn nhất có sáu chữ số. 
DẠNG 2: VIẾT SỐ TỰ NHIÊN CÓ m CHỮ SỐ TỪ n CHỮ SỐ CHO TRƯỚC. 
 * Chọn một chữ số trong các chữ số đã cho làm chữ số hàng cao nhất trong số tự nhiên cần 
viết. 
 * Lần lượt chọn các số còn lại xếp vào các hàng còn lại. 
 * Cứ làm như vậy cho đến khi lập được hết các số. 
 * Chú ý: Chữ số 0 không thể đứng đầu. 
BÀI 1: (Bài 14 trang 10 SGK) Dùng ba chữ số 0, 1, 2, hãy viết tất cả các số tự nhiên có ba chữ số 
mà các chữ số khác nhau. 
Giải 
Chữ số hàng trăm phải khác 0 để số phải viết là số có ba chữ số. 
Do đó chữ số hàng trăm có thể là 1 hoặc 2. 
Nếu chữ số hàng trăm là 1 ta có : 102 ; 120. 
Nếu chữ số hàng trăm là 2 ta có : 201 ; 210. 
Vậy với ba chữ số 0, 1, 2 ta có thể viết được tất cả bốn số tự nhiên có ba chữ số, các chữ số 
khác nhau : 102 ; 120 ; 201; 210. 
Bài 2. Viết số lớn nhất và số nhỏ nhất bằng cách dùng cả năm chữ số 0, 2, 5, 6, 9 (mỗi chữ số chỉ 
được viết một lần). 
Giải 
Vì phải dùng cả 5 chữ số đã cho nên cả hai số đều có 5 chữ số. 
* Số lớn nhất phải có chữ số lớn nhất có thể được ở hàng cao nhất là hàng vạn. Trong năm 
chữ số đã cho, chữ số lớn nhất là 9. 
Vậy chữ số hàng vạn là 9. 
Hàng nghìn cũng phải có chữ số lớn nhất có thể được. Trong 4 chữ số còn lại 0, 2, 5, 6, chữ 
số lớn nhất là 6. Vậy chữ số hàng nghìn là 6. 
Lập luận tương tự ở các hàng tiếp theo (trăm, chục, đơn vị), ta có số lớn nhất phải viết là 96 
520. 
* Số nhỏ nhất phải có chữ số nhỏ nhất có thể được ở các hàng. Lập luận tương tự như trên đối 
với các chữ số nhỏ nhất ở các hàng, ta viết được số nhỏ nhất là 20 569. 
Chú ý : Chữ số hàng chục vạn phải khác 0 để số viết được là số có năm chữ số. 
Bài 3. Dùng ba chữ số 2, 0, 7 viết tất cả các số tự nhiên có ba chữ số, các chữ số khác nhau. 
Bài 4. Viết số lớn nhất và số nhỏ nhất bằng cách dùng cả sáu chữ số 0 ; 2; ; 5 ; 7 ; 9 (mỗi chữ số chỉ 
được viết một lần). 
Bài 5. Viết số lớn nhất và số nhỏ nhất bằng cách dùng cả mười chữ số khác nhau (mỗi chữ số chỉ 
được viết một lần). 
Bài 6. Viết tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số, trong đó 
a) Chữ số hàng chục nhỏ hơn chữ số hàng đơn vị là 4 
b) Chữ số hàng chục gấp ba lần chữ số hàng đơn vị 
c) Chữ số hàng chục nhỏ hơn chữ số hàng đơn vị, tổng hai chữ số bằng 12. 
DẠNG 3: TÍNH SỐ CÁC SỐ TỰ NHIÊN. 
* Tính số các số có n chữ số cho trước 
+ Để tính số các chữ số có n chữ số, ta lấy số lớn nhất có n chữ số trừ đi số nhỏ nhất có n 
chữ số rồi cộng với 1. 
+ Số các số có n chữ số bằng: 
999 .99 (n chữ số 9 ) - 1000 .000 (n - 1 chữ số 0) + 1 
 * Để đếm các số tự nhiên từ a đến b, hai số kế tiếp cách nhau d đơn vị, ta dùng công thức 
sau: 
Bài 1. 
a) Có bao nhiêu số có năm chữ số? 
b) Có bao nhiêu số có sáu chữ số ? 
Giải 
a) Số lớn nhất có năm chữ số là: 99 999. Số nhỏ nhất có năm chữ số là :10 000. Số các số có 
năm chữ số là : 99 999 – 10 000 + 1 = 90 000. 
b) Làm tương tự câu a). Số các số có sáu chữ số là : 900 000 số. 
Bài 2. Tính số các số tự nhiên chẵn có bốn chữ số. 
Giải 
Các số tự nhiên chẵn có bốn chữ số là 1000 ; 1002 ; 1004 ; ; 9998, trong đó số lớn nhất (số 
cuối) là 9998, số nhỏ nhất (số đầu) là 1000, khoảng cách giữa hai số liên tiếp là : 1002 – 1000 = 
1004 – 1002 = = 2. 
Theo công thức nêu trên, số các số tự nhiên chẵn có bốn chữ số là : 
( 9998 – 1000 )/ 2 + 1 = 4500 (số) 
Bài 3. Muốn viết tất cả các số tự nhiên từ 100 đến 999 phải dùng bao nhiêu chữ số 9 ? 
Giải 
Ta lần lượt tính các chữ số 9 ở hàng đơn vị, ở hàng chục và ở hàng trăm. 
Các số chứa chữ số9 ở hàng đơn vị : 109, 119, , 999 gồm 
( 999 – 109 )/10 + 1 = 90 (số).10 
Các số chứa chữ số 9 ở hàng chục : 
190, 191, , 199 gồm 199 – 190 + 1 = 10 (số) 
290, 291 , , 299 gồm 10 số 
990, 991,999 gồm 10 số. 
Các số chứa chữ số 9 ở hàng chục có : 10.9 = 90 (số) 
Các số chứa chữ số 9 ở hàng trăm : 900, 901, , 999 gồm 
999 – 900 + 1 = 100 (số) 
Vậy tất cả có : 90 + 90 + 100 = 280 (chữ số 9). 
Bài 4. Có bao nhiêu số có : 
a) Hai chữ số; b) Ba chữ số; c) Chín chữ số ? 
Bài 5. Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có ba chữ số ? 
Bài 6. Viết 1000 số tự nhiên đầu tiên. Hỏi chữ số 3 có mặt bao nhiêu lần ? 
DẠNG 4. ĐỌC VÀ VIẾT CÁC SỐ BẰNG CHỮ SỐ LA MÃ 
 * Dùng bảng số La Mã sau: 
 * Ta có: I , V, X, L, C, D, M có giá trị tương ứng là 1 , 5, 10, 50, 100, 500, 1000 
* Ta có: IV, IX, XL, XC, CD, CM có giá trị tương ứng 4, 9, 40, 90, 400, 900. 
Bài 1: 
a) Đọc các số La Mã sau: XIV ; XXVI 
b) Viết các số sau bằng số La Mã: 17 ; 25 
Bài 2: đọc các số la mã sau: XXXIX ; LXXXV ; CDXCV. 
Bài 3: Viết các số tự nhiên bằng số La Mã: 25 ; 89 ; 2009 ; 1945 
CHỦ ĐỀ 3: PHÉP CỘNG VÀ PHÉP NHÂN 
A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 
1/ Phép cộng: a + b = c 
 (số hạng) + (số hạng) = (tổng) 
2/ Phép nhân: a . b = d 
 (thừa số) . (thừa số) = (tích) 
3/ Tính chất của phép cộng và phép nhân số tự nhiên: 
 Phép tính 
Tính chất 
Cộng Nhân 
Giao hoán a + b = b + a a . b = b . a 
Kết hợp (a + b) + c = a + (b + c) (a . b) .c = a . (b . c) 
Cộng với số 0 a + 0 = 0 + a = a 
Nhân với số 1 a . 1 = 1 . a = a 
Phân phối của phép nhân 
đối với phép cộng 
a. (b + c) = ab + ac 
4/ Chú ý: 
 + Tích của một số với 0 bằng 0 
 + Nếu tích của hai thừa số bằng 0 thì ít nhất một thừa số bằng 0 
B/ CÁC DẠNG BÀI TẬP. 
DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN TÍNH NHANH 
 + Nhóm các số có tổng tròn trục hoặc tạo ra phép nhân với số tròn trục. 
+ Ta có thể thêm vào số hạng này đồng thời bớt đi số hạng kia với cùng một số. 
 + Sử dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng. 
Chú ý: 
+ Quy tắc đặt thừa số chung : 
a. B + a.c = a. (b + c) hoặc a. b + a. c + a. d = a.(b + c + d) 
 + Muốn nhân 1 số có 2 chữ số với 11 ta cộng 2 chữ số đó rồi ghi kết quả váo giữa 2 
chữ số đó. Nếu tổng lớn hơn 9 thì ghi hàng đơn vị váo giữa rồi cộng 1 vào chữ số hàng chục. 
Ví dụ 1: có 34 .11 =374 ; 69.11 =759 
 Ví dụ 2: có 79.101 =79(100 +1) =7900 +79 =7979 
+ Muốn nhân một số có 2 chữ số với 101 thì kết quả chính là 1 số có được bằng cách 
viết chữ số đó 2 lần khít nhau 
Ví dụ: 84 .101 =8484 ; 63 .101 =6363 ; 90.101 =9090 
+ Muốn nhân một số có 3 chữ số với 1001 thì kết quả chính là 1 số có được bằng cách 
viết chữ số đó 2 lần khít nhau 
Ví dụ: 123.1001 = 123123 
Bài 1: Tính tổng sau đây một cách hợp lý nhất. 
a/ 67 + 135 + 33 
b/ 277 + 113 + 323 + 87 
ĐS: a/ 235 b/ 800 
Bài 2: Tính nhanh các phép tính sau: 
a/ 8 . 17 . 125 
b/ 4 . 37 . 25 
ĐS: a/ 17000 b/ 3700 
Bài 3: Tính nhanh một cách hợp lí: 
a/ 997 + 86 b/ 37. 38 + 62. 37 
c/ 43. 11; 67. 101; 423. 1001 d/ 67. 99 ; 998. 34 
e) 135 + 360 + 65 + 40 
Hướng dẫn 
a/ Cách 1: Sử dụng tính chất kết hợp của phép cộng. 
997 + (3 + 83) = (997 + 3) + 83 = 1000 + 80 = 1083 
 Cách 2: Thêm vào số hạng này đồng thời bớt đi số hạng kia với cùng một số. 
997 + 86 = (997 + 3) + (86 -3) = 1000 + 83 = 1083 
b/ Sử dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng. 
37. 38 + 62. 37 = 37.(38 + 62) = 37.100 = 3700. 
c/ 43. 11 = 43.(10 + 1) = 43.10 + 43. 1 = 430 + 43 = 4373. 
67. 101= 6767 
423. 1001 = 423 423 
d/ 67. 99 = 67.(100 – 1) = 67.100 – 67 = 6700 – 67 = 6633 
998. 34 = 34. (100 – 2) = 34.100 – 34.2 = 3400 – 68 = 33 932 
 e) 135 + 360 + 65 + 40 = (135 + 65) + ( 360 + 40) = 200 + 400 = 600. 
Bái 4: Tính nhanh các phép tính: 
a/ 37581 – 9999 b/ 7345 – 1998 
c/ 485321 – 99999 d/ 7593 – 1997 
Hướng dẫn: 
a/ 37581 – 9999 = (37581 + 1 ) – (9999 + 1) = 37582 – 10000 = 89999 
b/ 7345 – 1998 = (7345 + 2) – (1998 + 2) = 7347 – 2000 = 5347 
c/ ĐS: 385322 
d/ ĐS: 5596 
Bài 5: Tính tổng sau đây một cách hợp lý nhất. 
a) 67 + 135 + 33 b) 277 + 113 + 323 + 87 
a) 28. 64 + 28. 36 = 28.(64 + 36 ) = 28. 100 = 2800 
b) 3. 25. 8 + 4. 37. 6 + 2. 38. 12 = 24. 25 + 24. 37 + 24. 38 = 24.(25 + 37 + 38 ) 
= 24. 100 = 2400 
Hướng dẫn 
a) 67 + 135 + 33 =(67+33) + 135 = 100 + 135 = 235 
b) 277 + 113 + 323 + 87 = (277+ 323) + (113+ 87) = 600 + 200 = 800 
c) Quy tắc đặt thừa số chung : 
28. 64 + 28. 36 = 28.(64 + 36 ) = 28. 100 = 2800 
d) Quy tắc đặt thừa số chung : 
3. 25. 8 + 4. 37. 6 + 2. 38. 12 = 24. 25 + 24. 37 + 24. 38 = 24.(25 + 37 + 38 ) 
Bài 6: Tính nhanh các phép tính sau: 
 a) 8.17.125 b) 4.37.25 
Hướng dẫn 
a) 8.17.125 = (8 .25).17 =100.17=1700 
b) 4.37.25 = ( 25.4).37 = 100.7=700 
Bài 7: Tính nhanh: 
 a) 25. 12 b) 34. 11 c) 47. 101 
 d) 15.302 e) 125.18 g) 123. 1001 
Bài 8: Tính bằng cách hợp lí nhất: 
 a) 5. 125. 2. 41. 8 b) 25. 7. 10. 4 c) 8. 12. 125. 2 
 d) 4. 36. 25. 50 
 Bài 9: Tính bằng cách hợp lí nhất: 
a) 38. 63 + 37. 38 b) 12.53 + 53. 172– 53. 84 
c) 35.34 +35.38 + 65.75 + 65.45 d) 39.8 + 60.2 + 21.8 
e) 36.28 + 36.82 + 64.69 + 64.41 
DẠNG 2: TOÁN TÌM x 
 + Nếu f(x) . a = 0 => f(x) = 0 Với a ≠ 0 
 + Nếu f(x) . a = a => f(x) = 1 Với a ≠ 0 
Bài 1: Tìm x N biết 
 a) (x –15) .15 = 0 b) 32 (x –10 ) = 32 
 Đ/S: a) x = 15 b) x = 11 
Bài 4: Tìm số tự nhiên x biết 
 a/ ( x – 5)(x – 7) = 0 b/ (x – 35).35 = 35 
 d/ 43(x – 19) = 86 
 Đ/S: a) x = 5 ; x = 7 b) x = 36 c) x = 21 
Bài 3: Hãy điền số vào ô trống trong bảng sau sao cho tổng các số trong ba ô liền nhau bất kì 
bằng 100. 
 34 35 
Đ/S: 
31 34 35 31 34 35 31 34 35 31 
Bài 4: Hãy điền số vào ô trống trong bảng sau sao cho tích các số trong ba ô liền nhau bất kì 
bằng 100. 
4 4 
Đ/S 
4 5 5 4 5 5 4 5 5 4 
Bài 5: Cho a là số tự nhiên khác 0. Tìm tập hợp các số tự nhiên x sao cho 
 a) a + 2.x = a 
 b) a + 2.x > a 
 c) a + 2.x < a 
 Đ/S: a) x = 0 b) x ∈ N* c) x ∈ ∅ 
Bài 6: Thay dấu * bằng những chữ số thích hợp trong phép tính sau: 5 3 8 12 0 
 Đ/S: 1513 . 8 = 12104 hoặc 1563 . 8 = 12504. 
DẠNG 3: TÍNH TỔNG 
 Với các bài toán tính tổng theo quy luật ở mức độ cơ bản ta thường dùng kĩ thuật 
nhóm số hạng sao cho mở mỗi nhóm tổng các số hạng đều bằng nhau. 
Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau: 
 A = (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15).2 
 B = 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 
 Đ/S: A = 4. 16. 2 = 128 B = 46.3 + 23 = 161 
Bài 2: Tính giá trị các biểu thức sau: 
 C = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 
 D = (2 + 4 + 6 + 8 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19).3 
 Đ/S: C = 4.20 + 10 = 90 D = (2.10 + 2.30 + 15).3 = 285 
Bài 3: Tính giá trị các biểu thức sau: 
 C = 2.3 + 3.4 + 4.5 + 3.6 + 2.7 + 4.15 
 D = 3.(12 + 13 + 14 + 15) + 3(8 + 7 + 6 + 5) 
CHỦ ĐỀ 4: PHÉP TRỪ VÀ PHÉP CHIA. 
A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 
1/ Phép trừ: 
Cho hai số tự nhiên a và b, nếu có số tự nhiên x sao cho b + x = a thì ta có phép trừ 
 a - b = x 
 (số bị trừ) - (số trừ) = (hiệu) 
 Chú ý: Điều kiện thực hiện phép trừ trong N là số bị trừ luôn lớn hơn hoặc bằng số 
trừ. 
2/ Phép chia: 
Cho hai số tự nhiên a và b, trong đó b ≠ 0, nếu có số tự nhiên x sao cho b.x = a thì ta 
nói a chia hết cho b và ta có phép chia hết 
 a : b = x 
 (số bị chia) : (số chia) = (thương) 
Tổng quát: Cho hai số tự nhiên a và b, trong đó b ≠ 0, ta luôn tìm được hai số tự nhiên 
q và r duy nhất sao cho: a = b . q + r trong đó 0 r b 
 (số bị chia) = (số chia) . (thương) + (số dư) 
 Nếu r = 0 thì ta có phép chia hết. 
 Nếu r ≠ 0 thì ta có phép chia có dư. 
 Chú ý: Trong phép chia, số chia bao giờ cũng khác 0. 
3/ Tính chất 
 a.(b – c) = a.b – a.c 
 (a + b): c = a : c + b : c Với điều kiện a và b cùng chia hết cho c 
 (a – b): c = a : c – b : c Với điều kiện a và b cùng chia hết cho c 
 (a + b) – c = a + (b – c) 
 (a – b) – c = a – (b + c) 
 a – (b – c) = a – b + c 
 a + (b – c) = a + b - c 
B/ CÁC DẠNG BÀI TẬP. 
DẠNG 1: TÍNH NHANH. THỰC HIỆN PHÉP TÍNH. 
 Để việc tính nhanh được thuận lời, chúng ta thường cộng trừ sao được các con số tròn 
trục khi đó việc tính toán sẽ nhanh 
 Đôi khi chúng ta phải công thêm đơn vị vào số đã cho để được số tròn trục rồi mới 
thực hiện phép trừ. 
 Áp dụng tính chất của phép cộng và phép nhân một cách linh hoạt. 
 Nếu trong dãy có cả cộng, trừ, nhân, chia cần chú ý đến thứ tự phép tính. 
Bài 1: Tính nhanh các phép tính: 
a/ 37581 – 9999 b/ 7345 – 1998 
c/ 485321 – 99999 d/ 7593 – 1997 
Hướng dẫn: 
a/ 37581 – 9999 = (37581 + 1 ) – (9999 + 1) = 37582 – 10000 = 89999 
 (cộng cùng một số vào số bị trừ và số trừ) 
b/ 7345 – 1998 = (7345 + 2) – (1998 + 2) = 7347 – 2000 = 5347 
c/ ĐS: 385322 
d/ ĐS: 5596 
Bài 2: Tính 
 a) 49.15 - 49.5 b) 13.52 + 52.36 – 52.19 
 b) 98.36 c) 999.202 
 Đ/S: a) 490 b) 1560 c) 3528 d) 201798 
DẠNG 2: TOÁN TÌM X 
Số bị chia (chưa biết) = số chia x Thương 
 Số chia (chưa biết) = Số bị chia : Thương 
 Số hạng (chưa biết) = Tổng – Số hạng đã biết 
 Số bị trừ (chưa biết) = Hiệu + Số trừ 
 Số trừ (chưa biết) = Số bị trừ - Hiệu 
 Thừa số (chưa biết) = Tích : Thừa số đã biết 
Bài 1: Tìm x biết : 
a) x + 37 = 50 b) 2.x – 3 = 11 
c) (2 + x ) : 5 = 6 d) 2 + x : 5 = 6 
Đ/S: a) x = 13 b) x = 7 c) x = 28 d) x = 20 
Bài 2:Tìm x N biết : 
a) (x – 15 ) – 75 = 0 
b) 575- (6x +70) =445 
c) 315+(125-x)= 435 
 Đ/S: a) x = 90 b) x = 10 c) x = 5 
Bài 3: Tìm x N biết : 
a) x –105 : 21 =15 b) (x - 105) :21 = 15 
Đ/S: a) x = 20 b) x = 420 
Bài 3: Tìm số tự nhiên x biết 
a) ( x – 5)(x – 7) = 0 (ĐS: x = 5; x = 7) 
b) 541 + (218 – x) = 735 (ĐS: x = 24) 
c) 96 – 3(x + 1) = 42 (ĐS: x = 17) 
d) ( x – 47) – 115 = 0 (ĐS: x = 162) 
e) (x – 36):18 = 12 (ĐS: x = 252) 
DẠNG 3: TỔNG CÁC SỐ NGUYÊN CÁCH ĐỀU. 
 Tổng của dãy số cách đều = (số đầu + số cuối) x (số số hạng : 2) 
Số số hạng = (Số hạng cuối – số hạng đầu) : khoảng cách + 1 
Số đầu của dãy = tổng . 2 : số số hạng – số hạng cuối. 
Số cuối của dãy = tổng . 2 : số số hạng – số đầu. 
Bài 1: Tính tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên. 
Hướng dẫn 
Tổng 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là: 
S = 1 + 3 + 5 + + 33 + 35 + 37. 
Cách 1: Tính tổng theo công thức trong phương pháp: 
 37 1 .19
S 361
2
Cách 2: Nhóm số hạng tạo thành những cặp số có tổng bằng nhau: 
Ta thấy: 1 + 37 = 38 5 + 33 = 38 1 + 35 = 38 7 + 31 = 38 
=> Nếu ta sắp xếp các cặp số từ hai đầu dãy số vào, ta được các cặp số đều có tổng số 
là 38. 
Số cặp số là: 19 : 2 = 9 (cặp số) dư một số hạng ở chính giữa dãy số là số 19. 
Vậy tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là: 38 x 9 + 19 = 361 
 Cách nhóm khác: 
Ta bỏ lại số hạng đầu tiên là số 1 thì dãy số có: 19 – 1 = 18 (số hạng) 
Ta thấy: 3 + 37 = 40 7 + 33 = 40 5 + 35 = 40 9 + 31 = 40 
=> Nếu ta sắp xếp các cặp số từ 2 đầu dãy số gồm 18 số hạng vào được các cặp số có 
tổng là 40. 
Số cặp số là: 18 : 2 = 9 (cặp số) 
Tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là: 1 + 40 x 9 = 361 
Bài 2: Tính tổng của số tự nhiên từ 1 đến n. 
Hướng dẫn 
 Tổng S = 1 + 2 + 3 + .+ n 
 Số các số hạng = n 
 Ta có: 
 n 1 .n
S
2
Bài 3: Tính tổng S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + .+ 100 
Bài 4: Tính tổng S = 2 + 5 + 8 + 11 + + 47 + 50 
Bài 5: Tính tổng: S = 5 + 10 + 15 + 20 + + 100 
Bài 6. Tính bằng cách hợp lý. 
 a) 
44.66 34.41
3 7 11 ... 79
A
 b) 
1 2 3 ... 200
6 8 10 ... 34
B
 c) 
1.5.6 2.10.12 4.20.24 9.45.54
1.3.5 2.6.10 4.12.20 9.27.45
C 
DẠNG 4: TOÁN VỀ PHÉP CHIA CÓ DƯ. 
 Số bị chia = số chia x Thương + Số dư (0 ≤ Số dư < Số chia) 
 Số chia = (Số bị chia – số dư) : Thương 
 Thương số = (Số bị chia – Số dư) : Số chia 
 Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương số 
Bài 1: Tìm số dư trong các phép chia 
 a) 571 chia cho 15 
 b) 763 chia cho 17 
 Hướng dẫn: Số dư bao giờ cũng nhỏ hơn số chia 
 a) 571 = 38.15 + 1 => 571 chia cho 15 được thương là 38 dư 1 
 b) 763 = 17.44 + 15 => 763 chia cho 17 được thương là 44 dư 15 
Bài 2: Tìm số chia và thương số trong phép chia khi biết số bị chia bằng 49 và số dư là  
 Hướng dẫn 
 Só chia . Thương số = Số bị chia – Số dư = 49 – 11 = 38 
 Số chia phải lớn hơn số dư => Số chia > 11 
 Ta có 38 = 38.1 = 19 . 2 nên có hai khả năng 
 +) Số chia là 38, thương số là 1 
 +) Số chia là 19, Thương số là 2 
Bài 3.tìm số bị chia và số chia biết thương bằng 6 ,số dư bằng 49, tổngcủa số bị chia ,số chia 
và số dư bằng 595 
Hướng dẫn 
Gọi số b/c là a,số chia là b 
Ta có a = b . 6 + 49 (1) 
 a+ b + 49 = 595 (2) 
thay 1 vào 2 ta được 
 6.b +49 +b+49 = 595 => 7b = 595 -49 .2 
 => 7b = 497 => B = 497:7 
 => b = 71 
 thay vào 1 suy ra a = 495 
Bài 4: Cho A= 1 + 11+ 111 + 1111 + ....+ 111111111 +1111111111 ( có 10 số hạng ). 
Hỏi A chia cho 9 dư bao nhiêu? 
Hướng dẫn: 
Tổng các chữ số của tổng trên là: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = (1+10).10:2 = 55 
Mà 55 chia cho 9 dư 1 nên tổng trên chia cho 9 cũng dư 1. 
Bài 5: Một số chia 48 dư 39, nếu chia 24 thương 81 có dư. Tìm số đó? 
 Hướng dẫn: 
 48 gấp 2 lần 24 nên số đó chia cho 24 dư: 39 - 24 = 15; 
 Số cần tìm là: 24 . 81 + 15 = 1959 
Bài 6: Trong một phép chia 2 số tự nhiên, biết số bị chia bằng 324, thương bằng 12 và biết số 
dư của phép chia là số dư lớn nhất có thể. Tìm số chia và số dư của phép chia đó? 
 Hướng dẫn 
Vì số dư là số dư lớn nhất có thể nên số dư chỉ kém số chia 1 đv. 
Vậy nếu ta thêm vào số bị chia 1 đơn vị thì phép chia đó là phép chia hết và lúc này 
thương cũng tăng 1 đv. 
Vậy số chia là : (324 + 1) : (12 + 1) = 25 
Vậy số dư là : 25 - 1 = 24 
Ta có phép chia : 324 : 25 = 12 dư 24 
Bài 7: Một số chia 48 dư 39, nếu chia 24 thương 81 có dư. Tìm số đó 
 Hướng dẫn 
* Cách 1: Vì số A chia cho 48 thì dư 39 nên nếu bớt A đi 39 thì A chia hết cho 48 và 
cũng chia hết cho 24 (vì 48 = 24 . 2) và khi đó thương khi chia cho 24 sẽ bớt đi 1 và còn 80. 
(vì 39 : 24 = 1 dư...) 
Vậy số A là: 80 x 24 + 39 = 1959. 
*Cách 2: Vì 48 gấp 2 lần 24 (48 : 24 = 2) nên thương của phép chia A cho 48 sẽ giảm 
đi 2 lần, ta thấy: 81 : 2 = 40 dư... (Dư là do số dư 39 khi chia cho 24 được thêm thương là 1 
Vậy số A là : 40 . 48 + 39 = 1959 
CHỦ ĐỀ 5: LUỸ THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN 
A/ Kiến thức cơ bản: 
1. Lũy thừa bậc n của số a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a 
. ...na a a a ( n 0). a gọi là cơ số, no gọi là số mũ. 
2. Nhân hai luỹ thừa cùng cơ số .m n m na a a 
3. Chia hai luỹ thừa cùng cơ số :m n m na a a ( a 0, m n) 
Quy ước a0 = 1 ( a 0) 
4. Luỹ thừa của luỹ thừa 
n
m m na a  
5. Luỹ thừa một tích . .
m m ma b a b 
6. Một số luỹ thừa của 10: 
- Một nghìn: 1 000 = 103 
- Một vạn: 10 000 = 104 
- Một triệu: 1 000 000 = 106 
- Một tỉ: 1 000 000 000 = 109 
Tổng quát: nếu n là số tự nhiên khác 0 thì: 10n = 1000 00 (có n chữ số 0) 
7. Thứ tự thực hiện phép tính: 
 Trong một biểu thức có chứa nhiều dấu phép toán ta làm như sau: 
 - Nếu biểu thức không có dấu ngoặc chỉ có các phép cộng, trừ hoặc chỉ có các phép 
nhân chia ta thực hiện phép tính theo thứ tự từ trái sang phải. 
 - Nếu biểu thức không có dấu ngoặc, có các phép cộng, trừ ,nhân ,chia, nâng lên lũy 
thừa, ta thực hiện nâng lên lũy thừa trước rồi thực hiện nhân chia,cuối cùng đến cộng trừ. 
n thừa số a 
 - Nếu biểu thức có dấu ngoặc ( ),   , ta thực hiện các phép tính trong ngoặc tròn 
trước, rồi đến các phép tính trong ngoặc vuông, cuối cùng đến các phép tính trong ngoặc 
nhọn. 
B/ CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN. 
DẠNG 1: THỰC HIỆN TÍNH, VIẾT DƯỚI DẠNG LŨY THỪA. 
Bài 1: viết các tích sau dưới dạng 1 luỹ thừa 
a) 5.5.5.5.5.5 b) 2.2.2.2.3.3.3.3 c) 100.10.2.5 
Đáp số: 
a) 5.5.5.5.5.5 = 5
6
b) 2.2.2.2.3.3.3.3= 2
4. 
. 3
4
c)100.10.2.5 =10 .10.10.10 =10
4
Bài 2: Tính giá trị củ các biểu thức sau: 
a) 3
4
: 3
2
 b) 2
4.
. 2
2 
 c) (2
4.
)
2 
Đáp số: 
a) 3
4
: 3
2
 = 3
2 
= 9 
b) 2
4.
. 2
2 
= 16 .4 = 54 
c) (2
4.
)
2 
 = 2
8 
= 256 
Bài 3: Viết các tích sau đây dưới dạng một luỹ thừa của một số: 
a) A = 8
2
.32
4 
b) B = 27
3
.9
4
.243
Hướng dẫn 
 a) A = 8
2
.32
4
 = 2
6
.2
20
 = 2
26.
 hoặc A = 413 
b) B =