Tài liệu dạy học môn Toán Lớp 6 - Chương 1 - Bài 17: Ước chung lớn nhất

 Toaùn 6 Taøi lieäu daïy hoïc
 Bài 17. ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Ước chung lớn nhất
 ▪ Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các 
 số đó.
 ▪ Ước chung lớn nhất của hai số a và b kí hiệu là ƯCLN(a,b).
2. Chú ý
 ▪ Với mọi số tự nhiên a;b ta luôn có ƯCLN(a,1) = 1; ƯCLN(a,b,1) = 1.
 ▪ Nếu các số đã cho không có thừa số nguyên tố chung thì ƯCLN của chúng bằng 1.
 ▪ Hai hay nhiều số có ƯCLN bằng 1 được gọi là các số nguyên tố cùng nhau.
 ▪ Trong các số đã cho, nếu số nhỏ nhất là ước của các số còn lại thì ƯCLN của các số đã cho 
 chính là số nhỏ nhất ấy.
3. Cách tìm ước chung thong qua ước chung lớn nhất
Muốn tìm ước chung của hai số a và b ta thực hiện theo hai bước
 ▪ Bước 1: Tìm ƯCLN(a,b).
 ▪ Bước 2: ƯC(a,b) = Ư(ƯCLN(a,b)).
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Tìm ước chung lớn nhất của các số cho trước
 ▪ Cách 1: Tim ƯCLN bằng định nghĩa.
 ▪ Cách 2: Tim ƯCLN bằng phân tích thừa số nguyên tố.
 Muốn tìm ƯCLN của hai hay nhiều số bằng phân tích thừa số nguyên tố, ta thực hiện ba 
 bước sau:
 ▪ Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tồ;
 ▪ Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung;
 ▪ Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó 
 là ƯCLN phải tìm.
Ví dụ 1. Tìm ƯCLN bằng định nghĩa của:
a) 8 và 12; b) 16 và 38 ; c) 5, 14 và 26; d) 24, 60 và 108.
Ví dụ 2. Tìm ƯCLN bằng phân tích thừa số nguyên tố của:
a) 6 và 9; b) 15 và 39 ; c) 8, 22 và 34 ; d) 16, 80 và 176.
ĐT: 0344 083 6701 Bieân soaïn: Thaày Hoùa Toaùn 6 Taøi lieäu daïy hoïc
Dạng 2: Bài toán đưa về việc tìm ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số
 ▪ Phân tích đề bài, suy luận để đưa về việc tìm ƯCLN của hai hay nhiều số.
 ▪ Lưu ý: Nếu trong bài toán có lời văn có chứa cụm từ “Nhiều nhất” hoặc “Lớn nhất” thì 
 thường dùng ƯCLN.
Ví dụ 3. Tìm số tự nhiên n lớn nhất biết rằng 88Mn và 144Mn .
Ví dụ 4. Lớp 6A có 18 bạn nam và 24 bạn nữ. Trong một buổi sinh hoạt lớp, bạn lớp trưởng dự 
kiến chia các bạn thành từng nhóm sao cho số bạn nam trong mỗi nhóm đều bằng nhau và số bạn nữ 
cũng vậy. Hỏi lớp có thể chia được nhiều nhất bao nhiêu nhóm? Khi đó mỗi nhóm có bao nhiêu bạn 
nam, bạn nữ?
Dạng 3: Tìm các ước chung của hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước
 ▪ Bước 1: Tim ƯCLN của hai hay nhiều số cho trước;
 ▪ Bước 2: Tìm các ước của ƯCLN này;
 ▪ Bước 3: Chọn trong các số đó các ước thỏa mãn điều kiện đã cho.
Ví dụ 5. Tìm các ước chung của 30 và 45 .
Ví dụ 6. Tìm số tự nhiên n biết rằng 50Mn và 75Mn và n < 10.
Dạng 4: Nhận biết hoặc chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau
 ▪ Gọi d là ƯCLN của hai số, ta cần chứng tỏ d = 1.
Ví dụ 7. Tìm các cặp số nguyên tố cùng nhau trong các cặp số dưới đây
a) 8 và 12; b) 15 và 51; c) 9 và 13; d) 10 và 21.
Ví dụ 8. Chứng tỏ rằng hai số lẻ liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau.
HD: Gọi hai số lẻ liên tiếp là 2n + 1 và 2n + 3(n Î ¥ ).
Giả sử d là ƯCLN của chúng. Ta có (2n + 1)Md và (2n + 3)Md .
Theo tính chất chia hết của một tổng, ta có é2n + 3 - 2n + 1 ùMd hay 2Md hay d Î 1;2 .
 ëê( ) ( )ûú { }
Vì d là ước của các số lẻ nên d ¹ 2. Từ đó d = 1.
Vậy 2n + 1 và 2n + 3(n Î ¥ ) nguyên tố cùng nhau hay hai số lẻ liên tiếp là hai số nguyên tố 
cùng nhau.
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Tìm ƯCLN bằng định nghĩa của:
a) 6 và 42 ; b) 45 và 120; c) 9, 16 và 27 ; d) 8, 92 và 102.
ĐT: 0344 083 6702 Bieân soaïn: Thaày Hoùa Toaùn 6 Taøi lieäu daïy hoïc
Bài 2. Tìm ƯCLN bằng định nghĩa của:
a) 16, 17 và 29; b) 22 và 54 ; c) 16, 36 và 56; d) 24, 60 và 276.
Bài 3. Tìm số tự nhiên n lớn nhất biết rằng 60Mn và 288Mn .
Bài 4. Tìm số ước chung của 66 và 210.
Bài 5. Tìm số tự nhiên n lớn nhất biết rằng 102Mn và 54Mn .
Bài 6. Tìm ƯCLN rồi tìm ước chung của các số sau
a) 540 và 168; b) 735 và 350.
Bài 7.Tìm số tự nhiên x lớn nhất, biết rằng x + 150 và x + 375 đều chia hết cho x.
Bài 8. Đội văn nghệ của một trường có 28 nam và 20 nữ về một huyện để biểu diễn. Muốn phục 
vụ đồng thời tại nhiều xã đội dự định chia các tổ gồm cả nam và nữ, số nam được chia đều nhau và 
số nữ cũng vậy. Có thể chia nhiều nhất bao nhiêu số tổ? Khi đó mỗi tổ có bao nhiêu nam bao nhiêu 
nữ?
Bài 9. Tìm số các tự nhiên n biết rằng 90Mn , 150Mn và 10 < n < 30 .
D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 10. Tìm ƯCLN bằng định nghĩa của:
a) 5 và 20; b) 36 và 60; c) 7 , 25 và 18; d) 24, 32 và 120.
Bài 11. Tìm ƯCLN bằng phân tích thừa số nguyên tố của:
a) 9, 19 và 33 ; b) 18 và 87 ; c) 8, 36 và 60; d) 25, 60 và 105.
Bài 12. Tìm các ước chung của 16 và 76.
Bài 13. Tìm số tự nhiên n biết rằng 112Mn và 140Mn và 10 < n < 20.
Bài 14. Đội văn nghệ của một trường có 72 nam và 60 nữ về một huyện để biểu diễn. Muốn phục 
vụ đồng thời tại nhiều xã đội dự định chia các tổ gồm cả nam và nữ, số nam được chia đều nhau và 
số nữ cũng vậy. Có thể chia nhiều nhất bao nhiêu số tổ? Khi đó mỗi tổ có bao nhiêu nam bao nhiêu 
nữ?
Bài 15. (*) Cho hai số 2n + 1 và 4n + 3 (n Î ¥ ). Chứng tỏ rằng hai số này nguyên tố cùng nhau?
HDG: Giả sử d là ước của 2n + 1 và 4n + 3, suy ra (2n + 1)Md và (4n + 3)Md . Theo tính chất 
chia hết của một tổng thì é4n + 3 - 2 2n + 1 ùMd hay 4n + 3 - 4n - 2 Md hay 1Md .
 ëê( ) ( )ûú ( )
Vậy ƯCLN của 2n + 1 và 4n + 3 bằng 1 hay hai số 2n + 1 và 4n + 3 nguyên tố cùng nhau.
ĐT: 0344 083 6703 Bieân soaïn: Thaày Hoùa Toaùn 6 Taøi lieäu daïy hoïc
Bài 16. (*) Chứng minh rằng hai số 2n + 3 và 3n + 4 (n Î ¥ ) là hai số nguyên tố cùng nhau?
Bài 17. (*) Tìm số tự nhiên a, biết rằng 156 chia cho a dư 12, 280 chia cho a dư 10.
HDG: Vì 156 chia cho a dư 12 nên (156 - 12)Ma hay 144Ma và a > 12;
Tương tự, 280 chia cho a dư 10 nên 270Ma và a > 10.
Do đó a Î ƯC(144;270) và a > 12.
Ta có ƯCLN(144;270) = 18 suy ra ƯC(144;270) = Ư(18). Do a > 12 nên a = 18.
Vậy số cần tìm là 18.
ĐT: 0344 083 6704 Bieân soaïn: Thaày Hoùa