Đề cương ôn tập học kì 2 môn Toán Lớp 6 - Năm học 2019-2020

I.	Số	học	
1.	Nêu	quy	tắc	chuyển	vế,	quy	tắc	dấu	ngoặc?	
2.	Viết	dạng	tổng	quát	của	phân	số.	Cho	ví	dụ.	
3.	Thế	nào	là	hai	phân	số	bằng	nhau?	Cho	ví	dụ.	
4.	Nêu	tính	chất	cơ	bản	của	phân	số?	Viết	dạng	tổng	quát.	
5.	Phát	biểu	quy	tắc	rút	gọn	phân	số?	Thế	nào	là	phân	số	tối	giản?	Cho	ví	dụ.	
6.	Muốn	so	sánh	hai	phân	số	không	cùng	mẫu	ta	làm	như	thế	nào?	Cho	ví	dụ.	
7.	Phát	biểu	quy	tắc	quy	đồng	mẫu	số	nhiều	phân	số?	Cho	ví	dụ.	
8.	Phát	biểu	và	viết	dạng	tổng	quát	quy	tắc	thực	hiện	các	phép	toán	cộng,	trừ,	
nhân,	chia	phân	số?	
9.	Phát	biểu	tính	chất	cơ	bản	của	phép	cộng	và	phép	nhân	phân	số	
	a)	Nêu	quy	tắc	tìm	giá	trị	phân	số	của	một	số	cho	trước?	Cho	ví	dụ.	
b)	Nêu	quy	tắc	tìm	một	số	biết	giá	trị	phân	số	của	nó?	Cho	ví	dụ.	
c)	Nêu	cách	tính	tỷ	số	của	hai	số	a	và	b?	Tỷ	số	phần	trăm?	Cho	ví	dụ.	
II.	Hình	học	
1.	Góc	là	hình	như	thế	nào?	Kí	hiệu?	Hình	vẽ	minh	họa.	
2.	Thế	nào	là	góc	vuông,	góc	nhọn,	góc	tù,	góc	bẹt?	
3.	Thế	nào	là	hai	góc	phụ	nhau;	bù	nhau;	kề	nhau,	kề	bù?	
4.	Khi	nào	thì	 xOy yOz xOz ?	Vẽ	hình	minh	họa.	
5.	Thế	nào	là	tia	phân	giác	của	một	góc?	Cách	vẽ	tia	phân	giác	của	một	góc?	
6.	Tam	giác	ABC	là	hình	như	thế	nào?	(O;	R)	là	hình	như	thế	nào?	
7.	Nêu	các	cách	chứng	tỏ	1	tia	nằm	giữa	hai	tia?	(đưa	ra	ví	dụ	minh	họa)	
A. LÝ THUYẾT
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ 2
MÔN TOÁN LỚP 6
Năm học 2019 - 2020
A.	
4
10 
	 	 B.	
6
15
	 	 C.	
8
20 
	 	 D.	
12
30
Câu	2.	Phân	số	nào	sau	đây	bằng	phân	số	
3
7
A.	
3
7
 	 	 B.	
3
7
	 	 C.	
3
7 
	 	 D.	
3
7
Câu	3.	Cho	
15 3
.
x 4
 	Khi	đó	giá	trị	của	x	là:	
A.	20	 	 	 B.	–	20	 	 C.	63	 	 	 D.	57	
Câu	4.	Cho	biết	
x 1 9
4 12
 .	Khi	đó	giá	trị	của	x	là:	
A.	 4 	 	 B.	 2 	 	 C.	4	 	 	 D.	2	
Câu	5.	Tính	 6 10 	bằng	
A.	10	 	 	 B.	–	16	 	 C.	–	10	 	 D.	16	
Câu	6.	Tính	 5 . 8 	bằng	
A.	–	40	 	 B.	40	 	 	 C.	–	13	 	 D.	13	
Câu	7.	Khi	 x 2 	thì	x	bằng:	
A.	2	 	 	 B.	–	2	 	 C.	2	hoặc	–	2	 D.	4	
Câu	8.	Tập	hợp	các	số	nguyên	ước	của	2	là:	
A.	 1; 2 	 	 B.	 1; 2 	 	 C.	 0; 2; 4; 6; .... 	 D.	 2; 1;1; 2 	
Câu	9.	Viết	tích	 3 . 3 . 3 . 3 . 3 	dưới	dạng	một	lũy	thừa	
A.	 23 	 	 B.	 33 	 	 C.	 43 	 	 D.	 53 	
Câu	10.	Hỗn	số	
3
2
5
 	được	viết	dưới	dạng	phân	số	là:	
A.	
13
5
	 	 B.	
13
5
 	 	 C.	
10
5
 	 	 D.	
7
5
Câu	11.	Kết	quả	của	phép	tính	
1 1 1
5 4 20
 	là	
A.	10	 	 	 B.	0	 	 	 C.	
1
10
	 	 D.	
1
10
I.	Bài	tập	trắc	nghiệm	
Câu	1.	Phân	số	nào	sau	đây	không	bằng	phân	số	
2
5
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP 
Câu	12.	Tỉ	số	%	của	
3
15
	và	
4
20
	là:	
A.	100%	 	 B.	12%	 	 C.	30%	 	 D.	15%	
Câu	13.	75%	của	60	là:	
A.	40	 	 	 B.	80	 	 	 C.	45	 	 	 D.	90	
Câu	14.	
6
5
	của	
7
4
	là:	
A.	
41
20
	 	 B.	
10
21
	 	 	 C.	
1
2
10
	 	 D.	Đáp	án	khác	
Câu	15.	Biết	
5
6
	của	x	bằng	
1
2
10
	thì	x	bằng:	
A.	
63
25
	 	 B.	
7
4
	 	 	 C.	
38
25
	 	 D.	
4
7
Câu	16.	Học	kì	I	lớp	6A	có	20	học	sinh	giỏi.	Học	kì	II	số	học	sinh	giỏi	tăng	thêm	
20%.	Số	học	sinh	giỏi	của	lớp	6A	trong	học	kì	II	là:	
A.	16	 	 	 B.	24	 	 	 C.	40	 	 	 D.	4	
Câu	17.	Trong	các	câu	sau,	câu	nào	đúng,	câu	nào	sai?	
1. Hình	tạo	bởi	hai	tia	cắt	nhau	là	một	góc	
2. Góc	tù	là	một	góc	nhỏ	hơn	góc	bẹt	
3. Nếu	tia	Om	là	tia	phân	giác	của	 xOy 	thì	 xOm yOm 	
4. Nếu	 aOb bOc 	thì	Ob	là	tia	phân	giác	của	 aOc 	
5. Góc	vuông	là	góc	có	số	đo	bằng	 o90 	
6. Hai	góc	kề	nhau	là	hai	góc	có	một	cạnh	chung	và	hai	cạnh	còn	lại	nằm	trên	
hai	nửa	mặt	phẳng	đối	nhau	có	bờ	chứa	cạnh	chung.	
7. Tam	giác	ABC	là	hình	gồm	ba	đoạn	thẳng	AB,	BC,	CA	
8. Mọi	điểm	nằm	trên	đường	tròn	đều	cách	tâm	một	khoảng	bằng	bán	kính.	
Câu	18.	 aOb bOc aOc 	thì	
A.	Tia	Oa	nằm	giữa	hai	tia	Ob,	Oc	 B.	Tia	Oc	nằm	giữa	hai	tia	Oa,	Ob	
C.Tia	Ob	nằm	giữa	hai	tia	Oa,	Oc	 	 D.	Cả	ba	phương	án	trên	đều	sai	
Câu	19.	Biết	 o oxOy 70 ,yOz 110 	thì	hai	góc	trên	là	hai	góc	
A.	Kề	bù	 	 B.	Phụ	nhau	 	 C.	Kề	nhau	 	 D.	Bù	nhau	
Câu	20.	Biết	 0xOy 60 ,	 0yOz 30 .	Hai	góc	đó	trên	là	hai	góc	
A.	Kề	bù	 	 B.	Phụ	nhau	 	 C.	Kề	nhau	 	 D.	Bù	nhau	
II.	Bài	tập	tự	luận	
Dạng	1:	Thực	hiện	phép	tính	
Bài	1.	Thực	hiện	phép	tính	
a)	
3 5 1 2
11 6 4 1
4 6 2 3
	 	 	 b)	
17 11 9
2 1 6 : 3
20 15 20
c)	
3 7 3
4 : .4
7 5 7
	 	 	 	 d)	
2 15 7 5
3 . .1 :
9 23 29 23
Bài	2.	Thực	hiện	phép	tính	
a)	
3 5 1 2
11 6 4 1
4 6 2 3
	 	 	 b)	
7 1 23
5 2 0,5 : 2
8 4 26
c)	
13 3 12
17 3 2 4
15 7 15
	 	 d)	 2 4 152 . .0,375. 10 .
3 5 24
Bài	3.	Thực	hiện	phép	tính	
a)	
3 4 3
5 : 4 :
4 5 4
 	 	 	 	 b)	
3 2 3 3 3
. .
5 7 7 5 7
c)	
2 7 7 1 2
4 . .5 .5 5
7 11 11 3 3
	 	 d)	
5 4 2 1 4
. 7 .1 8 .7
39 5 3 3 5
Bài	4:	Thực	hiện	phép	tính	một	cách	hợp	lý	
a)	
2 8 2 5 2 2
5 . 5 . 5 .
7 11 7 11 7 11
 .	 	 b)	 3 3 42 . 0,4 1 .2,75 1,2 :
4 5 11
c)	
3 5 5 4 6 4
5 4 4
5.27 .4 5 .2 2 .3
: .
6 10 6
	 	 d)	
5 5 5 15 15
5 15
3 9 27 11 121:
8 8 8 16 16
8 16
3 9 27 11 121
Bài	5.	Thực	hiện	phép	tính	một	cách	hợp	lý	
a)	
7 7 7 7
...
10.11 11.12 12.13 69.70
 	 b)	
2 2 25 5 5
...
1.6 6.11 26.31
c)	 2 3 50
1 1 1 1
1 ...
2 4 8 1024
2 2 2 ... 2
Dạng	2:	Tìm	x	
Bài	6.	Tìm	x,	biết:	
a)	
3 7 3
x :
10 15 5
 	 	 	 	 b)	
8 46 1
. x
23 24 3
c)	
3 1 3
x : 1 3 1
21 2 4
	 	 	 d)	x 25%.x 0,5 	
Bài	7.	Tìm	x,	biết:	
a)	
3 27 11
x .
22 121 9
 	 	 	 	 b)	
1 1 1
: x
5 5 7
c)	
2 2 5
2 : x 4
11 3 6
	 	 	 d)	
1 3
3 x 16 13,25
3 4
Bài	8.	Tìm	x,	biết	
a)	 3 1 1x 2 x 3 x
4 4 4
 	 	 	 b)	
5 1
30%x x
6 3
c)	 2x 1 3x 12 0 	 	 	 d)	 2x 1
1 49
3.2
2 2
Bài	9.	Tìm	x,	biết	
a)	
1 3
2x
2 4
 	 	 	 	 b)	 24 6 4 2 10. . . 2x 1
13 5 13 5 13
b)	
3 3 8
x 5 x 2 x
7 4 7
	 	 d)	 3
9
x .x 0
16
Dạng	3:	Bài	toán	có	nội	dung	thực	tế	
Bài	10.	Lớp	6A	có	50	học	sinh.	Trong	đó	có	
3
5
	số	học	sinh	thích	chơi	đá	bóng,	80%	
số	học	sinh	thích	chơi	đá	cầu,	
7
10
	số	học	sinh	thích	chơi	cầu	lông.	Hỏi:	
a)	Lớp	6A	có	bao	nhiêu	học	sinh	thích	chơi	bóng	đá?	
b)	Lớp	6A	có	bao	nhiêu	học	sinh	thích	chơi	đá	cầu?	
c)	Lớp	6A	có	bao	nhiêu	học	sinh	thích	chơi	cầu	lông?	
Bài	11.	Một	bể	nước	hình	chữ	nhật	có	chiều	cao	1,6	m,	chiều	rộng	bằng	
3
4
	chiều	
cao,	chiều	dài	bằng	150%	chiều	rộng.	Tính	thể	tích	của	bể.	
Bài	12.	Một	ô	tô	đã	đi	120	km	trong	ba	giờ	.	Giờ	thứ	nhất	xe	đi	được	
1
3
	quãng	
đường.	Giờ	thứ	hai	xe	đi	được	40%	quãng	đường	còn	lại.	Hỏi	trong	giờ	thứ	ba	xe	
đi	được	bao	nhiêu	kilômét?	
Bài	13.	Khối	6	của	một	trường	THCS	có	ba	lớp	gồm	120	học	sinh.	Số	học	sinh	lớp	
6A	chiếm	35%	số	học	sinh	của	khối	.	Số	học	sinh	lớp	6B	bằng	
20
21
	số	học	sinh	lớp	
6A,	còn	lại	là	học	sinh	lớp	6C	.	Tính	số	học	sinh	mỗi	lớp.	
Bài	14.	Học	sinh	lớp	6	A	đã	trồng	được	56	cây	trong	ba	ngày.	Ngày	thứ	nhất	trồng	
được	
3
8
	số	cây.	Ngày	thứ	hai	trồng	được	
4
7
	số	cây	còn	lại.	Tính	số	cây	học	sinh	lớp	
6	A	trồng	trong	mỗi	ngày?	
Bài	15.	Một	cửa	hàng	bán	một	số	mét	vải	trong	ba	ngày.	Ngày	thứ	nhất	bán	
3
5
	số	
mét	vải.	Ngày	thứ	hai	bán	
2
7
	số	mét	vải	còn	lại.	Ngày	thứ	ba	bán	nốt	40	mét	vải.	
Tính	tổng	số	mét	vải	cửa	hàng	đã	bán	.	
Bài	16.	Nam	đọc	một	cuốn	sách	trong	ba	ngày.	Ngày	thứ	nhất	đọc	
3
8
	cuốn	sách,	
ngày	thứ	hai	đọc
1
3
cuốn	sách,	ngày	cuối	cùng	đọc	nốt	35	trang	còn	lại.	Hỏi	quyển	
sách	dày	bao	nhiêu	trang?	
Bài	17.	Tổng	kết	năm	học	ba	lớp	6A,	6B,	6C	có	45	em	đạt	học	sinh	giỏi.	Số	học	sinh	
giỏi	của	lớp	6A	bằng	
1
3
	tổng	số	học	sinh	giỏi	của	3	lớp.	Số	học	sinh	giỏi	của	lớp	6B	
bằng	120	%	số	học	sinh	giỏi	của	lớp	6A.	Tính	số	học	sinh	giỏi	của	mỗi	lớp	?	
Bài	18.	Một	người	mang	đi	bán	một	số	trứng.	Sau	khi	bán	
5
8
	số	trứng	thì	còn	lại	
21	quả	.	Tính	số	trứng	mang	đi	bán.	
Bài	19.	Hai	lớp	6A	và	6B	có	tất	cả	102	học	sinh.	Biết	rằng	
2
3
	số	học	sinh	của	lớp	
6A	bằng	
3
4
	số	học	sinh	của	lớp	6B.	Hỏi	mỗi	lớp	có	bao	nhiêu	học	sinh	?	
Bài	20.	Khối	6	của	một	trường	có	4	lớp.	Trong	đó	số	học	sinh	lớp	6A	bằng	
4
13
	tổng	
số	học	sinh	của	ba	lớp	còn	lại.	Số	học	sinh	lớp	6B	bằng	
5
12
	tổng	số	học	sinh	của	ba	
lớp	còn	lại.	Số	học	sinh	lớp	6C	bằng	
24
61
	tổng	số	học	sinh	của	ba	lớp	còn	lại.	Số	học	
sinh	của	lớp	6D	là	32	học	sinh.	Tính	tổng	số	học	sinh	của	4	lớp?	
Bài	21.	Giá	vé	vào	sân	vận	động	xem	bóng	đá	là	200000đồng/	vé.	Sau	khi	giảm	giá	
vé,	số	khán	giả	tăng	thêm	25%,	do	đó	doanh	thu	tăng	12,5%.	Hỏi	giá	vé	sau	khi	
giảm	là	bao	nhiêu?	
Bài	22.	
a)	Tính	tỉ	lệ	xích	của	bản	vẽ,	biết	chiều	dài	vẽ	2,5cm	và	chiều	dài	thật	2,5km.	
b)	Trên	bản	đồ	có	tỉ	lệ	xích	1:1000000,	hai	thành	phố	cách	nhau	13cm.	
Hỏi	trên	thực	tế	hai	thành	phố	cách	nhau	bao	nhiêu	km?	
c)	Hai	địa	điểm	A	và	B	trên	thực	tế	cách	nhau	350km.	
Hỏi	trên	bản	đồ	có	tỉ	lệ	1:500000,	A	và	B	cách	nhau	bao	nhiêu	cm?	
Bài	23.	Một	xí	nghiệp	làm	một	số	dụng	cụ,	giao	cho	ba	phân	xưởng	thực	hiện.	Số	
dụng	cụ	phân	xưởng	I	làm	bằng	30%	tổng	số.	Số	dụng	cụ	phân	xưởng	II	làm	gấp	
rưỡi	so	với	phân	xưởng	I.	Phân	xưởng	III	làm	ít	hơn	phân	xưởng	II	là	84	chiếc.	
Tính	số	dụng	cụ	mỗi	phân	xưởng	đã	làm.	
Bài	24.	Học	kỳ	I	số	học	sinh	giỏi	của	lớp	6A	bằng	
2
7
	số	học	sinh	còn	lại.	Sang	học	kì	
II,	số	học	sinh	giỏi	tăng	thêm	8	bạn	(số	học	sinh	cả	lớp);	nên	số	học	sinh	giỏi	bằng	
2
3
	số	còn	lại.	Hỏi	học	sinh	kỳ	I	lớp	6A	có	bao	nhiêu	học	sinh	giỏi.	
Bài	25.	Một	cửa	hàng	bán	gạo	bán	hết	số	gạo	của	mình	trong	3	ngày.	Ngày	thứ	
nhất	bán	được	
3
7
	số	gạo	của	cửa	hàng.	Ngày	thứ	hai	bán	được	25%	số	gạo	bán	
ngày	1.	Ngày	thứ	ba	bán	được	26	tấn.	
a)	Ban	đầu	cửa	hàng	có	bao	nhiêu	tấn	gạo?	
b)	Tính	số	gạo	mà	cửa	hàng	bán	được	trong	ngày	1,	ngày	2.	
c)	Số	gạo	cửa	hàng	bán	được	trong	ngày	1	chiếm	bao	nhiêu	%	số	gạo	của	cửa	
hàng?	
Bài	26.	Trên	tia	Ox	lấy	điểm	A,	trên	tia	đối	của	tia	Ox	lấy	điểm	B	sao	cho
 OA OB 3cm .	
Trên	tia	AB	lấy	điểm	M,	trên	tia	BA	lấy	điểm	N	sao	choAM BN 1cm .	
Chứng	tỏ	O	là	trung	điểm	của	AB	và	MN.	
Bài	27.	Vẽ	đoạn	thẳng	AB	=6cm.	Lấy	hai	điểm	C	và	D	nằm	giữa	A	và	B	sao	cho	AC	
+	BD=	9cm.	
a)	Chứng	tỏ	D	nằm	giữa	A	và	C.	
b)	Tính	độ	dài	đoạn	thẳng	CD	
Bài	28.	
a)	Vẽ	tam	giác	ABC	biết	AB	=	AC	=	4cm	;	BC	=	6cm.	Nêu	rõ	cách	vẽ?	
b)	Vẽ	đoạn	thẳng	BC	=	3,5cm.	Vẽ	một	điểm	A	sao	cho	AB	=	3cm,	AC	=	2,5	cm.	
Nêu	rõ	cách	vẽ?	Đo	và	tính	tổng	các	góc	của	tam	giác	ABC.	
Bài	29.	Trên	cùng	một	nửa	mặt	phẳng	có	bờ	chứa	tia	Ox	vẽ	hai	tia	Oy,	Oz	sao	cho	
 , o oxOy 30 xOz 150 .	
a)	Tính	 yOz .	
b)	Gọi	Ox’	là	tia	đối	của	tia	Ox	.	Viết	tên	các	cặp	góc	kề	bù	trong	hình.	
c)	Kẻ	Ot	là	tia	phân	giác	góc yOz .	Có	nhận	xét	gì	về	 xOy và	 tOz ?	
Bài	30.	Trên	cùng	một	nửa	mặt	phẳng	có	bờ	chứa	tia	Ox	vẽ	hai	tia	Oy,	Ot	sao	cho	
 xOt 	=	550,	 xOy=	1100.	
a)	Chứng	tỏ	Ot	là	tia	phân	giác	của	góc	 xOy .	
b)	Gọi	Ox’và	Oy’	lần	lượt	là	tia	đối	của	hai	tia	Ox,	Oy.	Tính	góc	 x'Oy' .	
Kể	tên	các	cặp	góc	kề	bù.	
Bài	31.	Cho	2	góc	kề	bù	 xOt 	và	 yOt ,	biết	góc	 oyOt 60 .	
a)	Tính	số	đo	góc xOt .	
b)	Vẽ	phân	giác	Om	của	góc	 yOt 	và	phân	giác	On	của	góc	tOx.	
Hỏi	hai	góc	 mOt 	và	 tOn 	có	quan	hệ	gì?	Góc	 mOy 	và	góc	 xOn 	có	quan	hệ	gì?	
Bài	32.	Cho	hai	góc	kề	bù	 xOy 	và	 yOt ,	trong	đó	 oxOy 40 .	Gọi	Om	là	tia	phân	
giác	của	 yOt .	
Dạng	4:	Hình	học	
a)	Tính	 mOx .	
b)	Trên	nửa	mặt	phẳng	không	chứa	tia	Oy	và	có	bờ	là	đường	thẳng	chứa	tia	Ox,	vẽ	
tia	On	sao	cho	 oxOn 70 .	Chứng	tỏ	tia	Om	và	tia	On	là	hai	tia	đối	nhau.	
Bài	 33.	 Cho	 2	 điểm	 M	 và	 N	 nằm	 cùng	 phía	 đối	 với	 A,	 nằm	 cùng	 phía	 đối	 với	 B.	
Điểm	M	nằm	giữa	A	và	B.	Biết	AB	=	5cm;	AM	=	3cm;	BN	=	1cm.	Chứng	tỏ	rằng:	
a)	Bốn	điểm	A,	B,	M,	N	thẳng	hàng	
b)	Điểm	N	là	trung	điểm	của	đoạn	thẳng	MB	
c)	Vẽ	đường	tròn	tâm	N	đi	qua	B	và	đường	tròn	tâm	A	đi	qua	N,	chúng	cắt	nhau	
tại	C,	tính	chu	vi	của	 CAN.	
Bài	34.	Cho	đoạn	thẳng	OO’	=	6cm.	Vẽ	các	đường	tròn	tâm	O	bán	kính	4cm	và	tâm	
O’	bán	kính	3cm	chúng	cắt	nhau	tại	A	và	B;	cắt	đoạn	thẳng	OO’	lần	lượt	tại	M	và	N.	
a)	Tính	AO,	BO,	AO’,	BO’?	
b)	N	có	phải	là	trung	điểm	của	đoạn	thẳng	OO’	không?	Vì	sao?	
c)	Tính	MN?	
Bài	35.	Trên	đoạn	thẳng	AB	=	3	cm	lấy	điểm	M.	Trên	tia	đối	của	tia	AB	lấy	điểm	N	
sao	cho	AM	=	AN.	
a)	Tính	độ	dài	đoạn	thẳng	BN	khi	BM	=	1	cm.	
b)	Hãy	xác	định	vị	trí	của	M	(trên	đoạn	thẳng	AB)	để	BN	có	độ	dài	lớn	nhất.	
Bài	36.	Cho	đường	thẳng	xy,	O	thuộc	xy.	Trên	nửa	mặt	phẳng	bờ	xy	vẽ	tia	Ot,	Oz	
sao	cho	 o oxOt 60 ,yOz 45 	
a)	Kể	tên	các	cặp	góc	kề	nhau,	kề	bù	có	trên	hình	vẽ.	
b)	Tính	 xOz , zOt, tOy 	
Bài	37.	Trên	cùng	một	nửa	mặt	phẳng	bờ	chứa	tia	Ox,	vẽ	hai	tia	Oy	và	Oz	sao	cho	
 o oxOy 90 ,xOz 120 	
a)	Trong	ba	tia	Ox,	Oy,	Oz	thì	tia	nào	nằm	giữa	hai	tia	còn	lại?	Tại	sao?	
b)	Tính	 yOz 	
c)	Vẽ	tia	Ot	là	tia	phân	giác	của	 xOz. 	Tính	 tOz .	
Bài	38.	Trên	cùng	một	nửa	mặt	phẳng	bờ	chứa	tia	Ox,	vẽ	hai	tia	Oy	và	Oz	sao	cho	
 o oxOy 60 ,xOz 120 	
a)	Chứng	minh	Oy	là	tia	phân	giác	của	 xOz. 	
b)	Gọi	Ox’	là	tia	đối	của	tia	Ox.	Trên	cùng	nửa	mặt	phẳng	bờ	Ox,	vẽ	tia	Ot	sao	cho	
 otOy 90 . 	Chứng	minh	Ot	là	phân	giác	của	 zOx' .	
Dạng	5*:	Một	số	bài	tập	nâng	cao	
Bài	39.	
a)	Cho	
3 3 3 3 3
M .
10 11 12 13 14
 	Chứng	minh	rằng	1 M 2 .	
b)	Chứng	tỏ	rằng	 
1 1 1 1 1
N ...
2 3 4 16 17
	không	là	số	tự	nhiên.	
Bài	40.	So	sánh	hai	số	sau:	
19
18
13 1
A
13 1
	và	
20
19
13 1
B
13 1
Bài	41.	Cho	phân	số:	
6n 5
p
3n 2
	(n N)	
a)	Chứng	minh	rằng	phân	số	p	là	phân	số	tối	giản.	
b)	Với	giá	trị	nào	của	n	thì	phân	số	p	có	giá	trị	lớn	nhất?	Tìm	giá	trị	lớn	nhất	đó.	
Bài	42.	Cho	phân	số	
5n 6
A
8n 7
	 n 	
Với	giá	trị	nào	của	n	thì	A	rút	gọn	được?	
Bài	43.	
a)	Tìm	số	nguyên	n	để	phân	số	
6n 3
3n 1
	có	giá	trị	là	một	số	nguyên.	
b)	Tìm	tất	cả	các	số	tự	nhiên	n	để	phân	số	
n 13
n 2
	là	phân	số	tối	giản.	
Bài	44.	Tìm	x,	biết:	
a)	
1 1 1 1 101
...
5.8 8.11 11.14 1540x x 3
b)	 
1 1 1 1
...
12 3 4 200x 20 .
1 2 3 198 199 200
...
199 198 197 2 1
Bài	45.	
1)	Tìm	các	cặp	số	nguyên	x,	y	sao	cho:	
a)	
x 1 1
7 14 y
	 	 	 	 b)	
5 y 1 1
x 1 3 6
2)	Tìm	các	số	nguyên	dương	x,	y	thỏa	mãn:	2x 3y 14 	
Bài	46.	
a)	Chứng	minh	rằng	nếu	 7x 4y 37 	thì	 13x 18y 37 	
b)	Tìm	n	 n 1 	sao	cho	 A 1! 2! 3! .... n!	là	số	chính	phương.	
Bài	47.	Tìm	số	tự	nhiên	a	nhỏ	nhất	sao	cho	a	chia	cho	3	dư	2,	chia	cho	5	dư	3,	chia	
cho	7	dư	4.	
Bài	48.	Cho	phân	số	
2019
A
x 49
.	Tìm	 x 	để:	
a)	A	có	giá	trị	lớn	nhất	
b)	A	có	giá	trị	nhỏ	nhất.	
Bài	49.	Chứng	minh	rằng:	Tồn	tại	n	>	0	sao	cho	 n25 1 101  	
Bài	50.	Cho	A	=	
100
1 1 1 1
1 ...
2 3 4 2 1
.	Chứng	minh	rằng	50	<	A	<	100	
ĐÁP ÁN ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ 2 TOÁN 6
I.	Bài	tập	trắc	nghiệm	
Câu 1: C
Câu 2: D
Câu 3: B
Câu 4: A
Câu 5: B
Câu 6: A
Câu 7: C
Câu 8: D
Câu 9: D
Câu 10: B
Câu 11: B
Câu 12: A
Câu 13: C
Câu 14: C
Câu 15: A
Câu 16: B
Câu 17: 1-S 2-S 3-Đ 4-S 5-Đ 6-Đ 7-S 8-Đ
Câu 18: C
Câu 19: A
Câu 20: B
II.	Bài	tập	tự	luận	
Dạng	1:	Thực	hiện	phép	tính	
Bài	1.	Thực	hiện	phép	tính	
a)	
32
3
	 	 b)	
49
15
	 	 c)	
5
7
	 	 	 d)	12	
Bài	2.	Thực	hiện	phép	tính	
a)	
31
4
	 	 b)	
13
12
	 	 c)	
1642
105
	 	 d)	–	5	
Bài	3.	Thực	hiện	phép	tính	
a)	
4
15
	 	 b)	
6
7
 	 	 c)	
7
3
 	 	 d)	10	
Bài	4:	Thực	hiện	phép	tính	một	cách	hợp	lý	
a)	
37
7
	 	 b)	
44
5
 	 	 c)	648	 	 d)	
2
3
Bài	5.	Thực	hiện	phép	tính	một	cách	hợp	lý	
a)	
3
5
	 	 	 b)	
150
31
c) 251 2
Dạng	2:	Tìm	x	
Bài	6.	Tìm	x,	biết:	
a)	
97
x
90
 	 	 b)	 x 2 	 	 c)	 x 6 	 	 d)	
2
x
3
Bài	7.	Tìm	x,	biết:	
a)	
3
x
22
 	 	 b)	
7
x
2
 	 	 c)	
48
x
121
 	 	 d)	 x 9 	
Bài	8.	Tìm	x,	biết	
a)	
23
x
6
 	 	 b)	
5
x
7
 	 	 c)	 x 4 và	
1
x
2
 	 d)	 x 1 	
Bài	9.	Tìm	x,	biết	
a)	Xét	
1
x
4
 	ta	có:	
1 3 5
2x x
2 4 8
 	(thỏa	mãn)	
Xét	
1
x
4
 	ta	có:	
1 3 1
2x x
2 4 8
 	(thỏa	mãn)	
Vậy	 ;
1 5
x
8 8
 
 
 
b)	 ;
9 1
x
8 8
 
 
 
c)	
11
x
180
d)	 ; ;
3 3
x 0
4 4
 
 
 
Dạng	3:	Bài	toán	có	nội	dung	thực	tế	
a)	Lớp	6A	có	số	bạn	thích	chơi	bóng	đá	là:	
3
50 30
5
 (học	sinh)	
b)	Số	học	sinh	thích	chơi	đá	cầu	của	lớp	6A	là:	 %80 50 40 (học	sinh)	
c)	Số	học	sinh	thích	chơi	cầu	lông	của	lớp	6A	là:	
7
50 35
10
 (học	sinh)	
Bài 10:
Bài 11:
Chiều	rộng	của	bể	nước	là:	 , ,
3
1 6 1 2
4
 (m)	
Chiều	dài	của	bể	nước	là:	150% 1,2 1,8 (m)	
Thể	tích	của	bể	nước	hình	chữ	nhật	là:	1,2 1,8 1,6 3,456(m3).	
Bài 12:
Trong	giờ	thứ	nhất	xe	đi	được	số	km	là:	
1
120 40
3
 (km)	
Trong	giờ	thứ	hai	xe	đi	được	số	km	là:	 120 40 40% 32(km)	
Trong	giờ	thứ	ba	xe	đi	được	số	km	là:	120 40 32 48(km).	
Bài 13:
Số	học	sinh	lớp	6A	là	42	học	sinh,	số	học	sinh	lớp	6B	là	40	học	sinh,	số	học	sinh	
lớp	6C	là	38	học	sinh.	
Ngày	thứ	nhất	lớp	6A	trồng	được	21	cây,	ngày	thứ	hai	trồng	được	20	cây,	ngày	
thứ	3	trồng	được	15	cây.	
Bài 14:
Bài 15:
Ngày	thứ	hai	cửa	hàng	bán	được	số	phần	là:	
3 2 4
1
5 7 35
(số	mét	vải)	
Số	phần	ứng	với	40	mét	vải	là:	
2 4 2
5 35 7
 	(số	mét	vải)	
Vậy	cửa	hàng	đó	có	số	mét	vải	là:	 :
2
40 140
7
 (m)	
Bài 16:
Quyển	sách	dày	120	trang.	
Bài 17:
Số	học	sinh	giỏi	của	lớp	6A	là	15	học	sinh,	
Số	học	sinh	giỏi	của	lớp	6B	là	18	học	sinh,	
Số	học	sinh	giỏi	của	lớp	6C	là	12	học	sinh.	
Bài 18:
Số	trứng	mang	đi	bán	là	56	quả.	
Bài 19:
Số	học	sinh	của	lớp	6A	là	54	học	sinh,	
Số	học	sinh	của	lớp	6B	là	48	học	sinh.	
Bài 20:
Số	học	sinh	của	lớp	6A	là	40	học	sinh,	số	học	sinh	của	lớp	6B	là	50,	số	học	sinh	
của	lớp	6C	là	48	
Vậy	tổng	số	học	sinh	của	4	lớp	là	170	học	sinh	
Bài 21:
Giá vé sau khi giảm là 180000 đồng.
Bài 22:
a)	Tỉ	lệ	xích	của	bản	vẽ	là	1:100000.	
Gọi	tổng	số	dụng	cụ	được	giao	cho	3	phân	xưởng	là	x	(x	>0)	
Số	dụng	cụ	phân	xưởng	I	làm	được	là:	
3
x
10
Số	dụng	cụ	phân	xưởng	II	làm	được	là:	
9
x
20
Số	dụng	cụ	phân	xưởng	III	làm	được	là:	
3 9 1
x x x x
10 20 4
Theo	bài	ra	ta	có:	
9 1
x x 84
20 4
Từ	đó	em	tính	được	x	=	420.	
Vậy	số	dụng	cụ	phân	xưởng	I	đã	làm	là	126,	số	dụng	cụ	phân	xưởng	II	đã	làm	là	
189,	số	dụng	cụ	phân	xưởng	III	đã	làm	là	105	dụng	cụ.	
Số	học	sinh	giỏi	kỳ	I	lớp	6A	là	10	học	sinh.	
Bài 23:
Bài 24:
Bài 25:
a)	Ban	đầu	cửa	hàng	có	56	tấn	gạo.	
b)	Ngày	1	cửa	hàng	bán	được	24	tấn	gạo,	ngày	thứ	2	cửa	hàng	bán	được	6	tấn	
gạo.	
c)	Số	gạo	trong	ngày	1	chiếm	42,85%	số	gạo	của	cửa	hàng.	
Dạng	4:	Hình	học	
Bài 26:
+	Vì	A	và	B	thuộc	2	tia	đối	nhau	chung	gốc	O	nên	điểm	O	nằm	giữa	hai	điểm	A	và	
B.	
Mà	theo	đề	bài	ta	có:	OA	=	OB	=	3cm	
Suy	ra	O	là	trung	điểm	của	AB.	
+	Vì	OA	=	OB	(gt);	AM	=	BN	(gt)	 	OB	+	BN	=	OA	+	AM	hay	OM	=	ON.	
Vậy	O	là	trung	điểm	của	MN.	
A M O N B
	a)	Vì	D	nằm	giữa	A	và	B	nên:	AD	+	DB=AB.	
Thay	AB=	6cm	ta	có	AD	+	DB	=	6	(cm)	
Lại	có	AC	+	DB=9cm	(gt)	 	AD	+	DB	<	AC	+	DB	hay	AD	<	AC	(1)	
Mà	D	và	C	cùng	nằm	giữa	A	và	B	hay	D,	C	cùng	thuộc	tia	AB	(2)	
Từ	(1)	và	(2)	suy	ra	D	nằm	giữa	A	và	C	
CD BA
Bài 27:
b)	Vì	D	nằm	giữa	A	và	C	suy	ra:	AD+DC=	AC	
Lại	có	AC	+	BD	=	9	nên	AD	+	DC	+	BD	=	9	hay	(AD+DB)	+	DC	=	9	
Thay	(AD+DB)	=	6	ta	có	6	+	DC	=	9	
Vậy	DC	=	3	(cm)	
Bài	28.	
a)	
Vẽ	đoạn	thẳng	BC	=	6cm.	
Vẽ	đường	tròn	tâm	B	bán	kính	4cm.	
Vẽ	đường	tròn	tâm	C	bán	kính	4cm.	
Hai	đường	tròn	này	cắt	nhau	tại	A.	Ta	có	tam	giác	ABC	có	BC	=	6cm.	
Điểm	A	thuộc	đường	tròn	(B;	4cm)	nên	AB	=	4cm.	
Điểm	A	thuộc	đường	tròn	(C;	4cm)	nên	AC	=	4cm.	
Tam	giác	ABC	thỏa	mãn	điều	kiện	đề	bài.	
b)	Học	sinh	làm	tương	tự.	
A
CB
Bài 29:	
a)	Xét	trên	nửa	mặt	phẳng	bờ	chứa	tia	Ox	có:	 xOy xOz 	(vì	30o 150o )	
 	Tia	Oy	nằm	giữa	hai	tia	Ox	và	Oz.	
Khi	đó	ta	có:	 xOy yOz xOz 	hay	30o y Oz 150o 	 	 oyOz 120 .	
b)	Các	cặp	góc	kề	bù	là:	 xOy;yOx ' ;	 xOz;zOx ' 	
c)	Vì	Ot	là	tia	phân	giác	góc yOz 	nên	
 
 oyOz 120 oyOt tOz 60
2 2
Vậy	 tOz 2.xOy 	
t
x'
z
y
O x
a)	Xét	trên	nửa	mặt	phẳng	có	bờ	chứa	tia	Ox	có:	 xOt xOy 	(vì	 o o55 110 )	
 	Tia	Ot	nằm	giữa	hai	tia	Ox	và	Oy	(1)	
Khi	đó:	 xOt tOy xOy 	hay	 o o55 tOy 110 	 	 oyOz 55 .	
y'
y
x'
t
xO
Bài 30:
 x Ot t Oy 55o (2)	
Từ	(1)	và	(2)	suy	ra	Ot	là	tia	phân	giác	của	góc	 xOy .	
b)	 ox 'Oy' 110 	
Học	sinh	tự	kể	tên	các	cặp	góc	kề	bù.	
Bài 31:
a)	 oxOt 120 	
b)	Do	Om	là	tia	phân	giác	của	góc	 yOt 	nên	 2.tOm yOt 	
Tương	tự	On	là	tia	phân	giác	của	góc	 xOt 	nên	 2.tOn xOt 	
Suy	ra	 2 mOt tOn y o Ot xOt 180 	
o180 omOt tOn 90
2
Vậy	 mOt 	và	 tOn 	là	hai	góc	phụ	nhau.	
Tương	tự	ta	có	góc	 mOy 	và	góc	 xOn là	hai	góc	phụ	nhau.	
n
m
x
t
y O
Bài 32:
a)	Ta	có	 x Oy y Ot 180o (Vì	2	góc	kề	bù)	
hay	 40o y Ot 180o y Ot 140o 	
Ta	có:	Om	là	tia	phân	giác	của	 tOy 	nên	 
1 otOm tOy 70
2
Vì	2	góc	 xOy 	và	 yOt 	kề	bù	nên	Ox	và	Ot	là	hai	tia	đối	nhau	
suy	ra	 tOm và	 mOx 	là	hai	góc	kề	bù	 t Om o mOx 180 	hay	
 70o mOx 180o mOx 110o 	
b)	Ta	có	 mOx xOn 110o 70o 180o 	 mOx 	và	 xOn là	hai	góc	bù	nhau	(1)	
Do	Om	và	Oy	cùng	thuộc	nửa	mp	có	bờ	là	đường	thẳng	chứa	tia	Ox;	
Lại	có	On	và	Oy	nằm	trên	hai	nửa	mặt	phẳng	đối	nhau	có	bờ	là	đường	thẳng	chứa	
tia	Ox	nên	Om	và	On	nằm	trên	hai	nửa	mặt	phẳng	đối	nhau	có	bờ	là	đường	thẳng	
chứa	tia	Ox	 mOx 	và	 xOn là	hai	góc	kề	nhau	(2)	
Từ	(1)	và	(2)	suy	ra	 mOx 	và	 xOn là	hai	góc	kề	bù	hay	tia	Om	và	tia	On	là	hai	tia	
đối	nhau	(đpcm).	
n
t xO
Bài 33:
a)	Bốn	điểm	A,B,	M,	N	thẳng	hàng	vì	chúng	cùng	nằm	trên	đường	thẳng	MN	
b)	Vì	điểm	M	nằm	giữa	A	và	B	nên	ta	có:	BM	=	AB	–	AM	=	2	(cm)	
M,	N	 	tia	AB	mà	BM	>	BN	(2	cm	>	1	cm)	 	N	nằm	giữa	B	và	M.	
Do	đó	ta	có:	MN	+	NB	=	BM	 	MN	=	BM	–	BN	=	1	cm	 	MN	=	BN	
Vậy	N	là	đường	trung	điểm	của	BM	(đpcm).	
c)	Đường	tròn	tâm	N	đi	qua	B	nên	CN	=	NB	=	1	cm	 	
Đường	tròn	tâm	A	đi	qua	N	nên	AC	=	AN	=	AM	+	MN	=	4	cm	
Vậy	chu	vi	tam	giác	CAN	là:	AC	+	CN	+	NA	=	4	+	1	+	4	=	9	(cm).	 	
C
M N BA
a)	Vì	A,	B	cùng	thuộc	đường	tròn	tâm	O	bán	kính	4cm	nên	AO	=	BO	=	4cm.	
Vì	A,	B	cùng	thuộc	đường	tròn	tâm	O’	bán	kính	3cm	nên	AO’	=	BO’	=	3cm.	
b)	Vì	N	thuộc	đường	tròn	tâm	O’	bán	kính	3cm	nên	O’N	=	3cm	
Lại	có	N	nằm	trên	đoạn	OO’	nên	điểm	N	nằm	giữa	hai	điểm	O	và	O’(1)	nên	ta	có:	
' OO'ON NO 	hay	ON	=	OO’	–	NO’	=	6	–	3	=	3cm.	
Suy	ra	ON	=	NO’.	
B
A
N M O'O
Bài 34:
Vậy	N	là	trung	điểm	của	đoạn	thẳng	OO’	.	
c)	MN	=	1cm.	
Bài 35:
Điểm	M	nằm	giữa	hai	điểm	A,	B	nên	MA	=	AB	–	MB	=	3	–	1	=	2	(cm)	
Suy	ra	AN	=	AM	=	2cm	
Điểm	A	nằm	giữa	hai	điểm	N,	B	nên	BN	=	AN	+	AB	=	2	+	3	=	5	(cm)	
BN	=	AN	+	AB,	AB	không	đổi	nên	BN	lớn	nhất	khi	AN	lớn	nhất.	
AN	lớn	nhất	khi	AM	lớn	nhất.	
Mà	AM	lớn	nhất	khi	AM	=	AB,	khi	đó	M	trùng	với	B	và	BN	=	6	cm.	
N A M B
Bài 36:
a)	Các	cặp	góc	kề	nhau	là:	  xOt;tOz ;	  tOz;zOy ;	 xOt; tOy ;	 xOz;zOy 	
Các	cặp	góc	kề	bù	là:	 xOt;tOy ;	 xOz;zOy 	
b)	 x Oz 135o ;	z Ot 75o ;	 t Oy 120o .	
4560
zt
x yO
a)	Trên	nửa	mặt	phẳng	bờ	Ox	ta	có	 xOy xOz (vì	 o o90 120 )	
nên	tia	Oy	nằm	giữa	hai	tia	Ox	và	Oz.	
	b)	Vì	tia	Oy	nằm	giữa	hai	tia	Ox	và	Oz	nên	ta	có:	 xOy yOz xOz 	
hay	 o o o90 yOz 120 yOz 30 .	
c)	 otOz 60 	
tz
y
xO
t
x'
z y
xO
Bài 37:
Bài 38:
a)	Trên	nửa	mặt	phẳng	bờ	Ox	ta	có	 xOy xOz (vì	60o 120o )	
nên	tia	Oy	nằm	giữa	hai	tia	Ox	và	Oz	(1)	
Vì	tia	Oy	nằm	giữa	hai	tia	Ox	và	Oz	nên	ta	có:	 xOy yOz xOz 	
hay	60o y Oz 120o y Oz 60o suy	ra	 xOy yOz 	(2)	
Từ	(1)	và	(2)	suy	ra	Oy	là	tia	phân	giác	của	 xOz. 	
b)	Vì	 x 'Oz 	và	 zOx 	là	hai	góc	kề	bù	nên	 x 'Oz 180o 120o 60o 	
Vì	 x 'Oy 	và	 yOx 	là	hai	góc	kề	bù	nên	 x 'Oy 180o 60o 120o 	
Trên	nửa	mặt	phẳng	bờ	Oy	ta	có	 yOt yOx ' (vì	 90o 120o )	
nên	tia	Ot	nằm	giữa	hai	tia	Oy	và	Ox’	 x 'Ot tOy x 'Oy x 'Ot 120o 90o 30o 	
Xét	trên	nửa	mặt	phẳng	bờ	Ox’	ta	có	 x 'Ot x 'Oz (vì	30o 60o )	
nên	tia	Ot	nằm	giữa	hai	tia	Ox’	và	Oz	(3)	
Vì	tia	Ot	nằm	giữa	hai	tia	Ox’	và	Oz	nên	  x 'Ot tOz x 'Oz tOz 60o 30o 30o 	
Do	đó	 x 'Ot tOz (4)	
Từ	(3)	và	(4)	suy	ra	Ot	là	phân	giác	của	 zOx' (đpcm).	
Dạng	5*:	Một	số	bài	tập	nâng	cao	
Bài	39.	
a)	 
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
M
10 11 12 13 14 15 15 15 15 15
M 1 	
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 15 20
M S 2
10 11 12 13 14 10 10 10 10 10 10 10
Vậy	1 M 2 	
b)	Ta	có	
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
N
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Vì	 .
1 1 1 1 1
3
6 7 8 6 2
 ;	 .
1 1 1 1 1
3
9 10 11 9 3
 ;	 .
1 1 1 1 1
3
12 13 14 12 4
 ;	
1 1 1 1
15 16 17 5
 .	
Nên	
1 1 1 1 1 1 1 1
N 2 2 3
2 3 4 5 2 2 4 4
Chứng	minh	tương	tự	ta	có	 N 2.	
Vậy	ta	chứng	minh	được	2 N 3nên	N	không	phải	là	số	tự	nhiên.	
Bài 40:
Ta	có:	
 1819
18 18 18
13 13 1 1213 13 12 12
A 13
13 1 13 1 13 1
Tương	tự	ta	có:	
20
19 19
13 1 12
B 13
13 1 13 1
Vì	 18 19
18 19
12 12
13 1 13 1 A B
13 1 13 1
.	
Bài 41:
a)	Gọi	d	là	ước	chung	của	6n+5	và	3n+2	
Ta	có	 6n 5 d	và	 3n 2 d 	
 3n 2 d 2 3n 2 d	hay	 6n 4 d	
 6n 5 6n 4 d 1 d d 1   	
Vậy	phân	số	
6n 5
p
3n 2
	(n N)	là	phân	số	tối	giản.	
b)	Ta	có	
6n 5 6n 4 1 1
p 2
3n 2 3n 2 3n 2
Phân	số	p	đạt	giá	trị	lớn	nhất	khi	
1
3n 2 
đạt	giá	trị	lớn	nhất,	khi	đó	3n+2	đạt	giá	
trị	nhỏ	nhất.	
Vì	3n 2 2 	nên	3n 2 nhỏ	nhất	bằng	2	khi	n	=	0.	
Vậy	giá	trị	lớn	nhất	của	p	là	
5
2
	khi	n	=	0.	
A	rút	gọn	được	khi	 ;5n 6 8n 7 1 	
Đặt	 ;5n 6 8n 7 d 	
 ;
5n 6 d
8 5n 6 5 8n 7 13 d d 1 13
8n 7 d



Để	 ;5n 6 8n 7 1 thì	d	=	13.	
Khi	d	=13	 5n 6 13  	 8 5n 6 40n 48 39n 39 n 9 13  	
Mà	 39n 39 13 n 9 13   	
Suy	ra	n	có	dạng	13k	+	4	(k N)	
Vậy	n	là	các	số	tự	nhiên	chia	13	dư	4	thì	A	có	thể	rút	gọn	được.	
Bài	43.	
Ta	có:	
6n 3 6n 2 5 5
2
3n 1 3n 1 3n 1
Bài 42:
Để	phân	số	
6n 3
3n 1
có	giá	trị	là	một	số	nguyên	thì	
5
3n 1
	có	giá	trị	là	một	số	 nguyên.	
Suy	ra	3n	+	1	là	ước	của	5	nên	3n 1 5; 1;1;5 	
Xét	các	trường	hợp	trên	ta	tìm	được	n	=	0	và	n	=	-2	thỏa	mãn.	
Thử	lại	ta	thấy	n	=	0,	n	=	-2	đúng.	
Vậy	n	=0	hoặc	n	=	-2	thì	phân	số	
6n 3
3n 1
có	giá	trị	một	số	nguyên.	
b)	Ta	có:	 
n 13 15
1 n 2
n 2 n 2
Để	phân	số	
n 13
n 2
	là	phân	số	tối	giản	thì	phân	số	
15
n 2
	là	phân	số	tối	giản.	
Khi	đó	15	và	n	–	2	phải	là	hai	số	nguyên	tố	cùng	nhau.	Vì	15	có	hai	ước	khác	1,	
khác	15	là	3	và	5.	Từ	đó	suy	ra	n	–	2	không	chia	hết	cho	3,	không	chia	hết	cho	5.	
Vậy	 n 3k 2	và	 n 5k 2 	 k N,k 0 .	
a)	Ta	có:	
3 3 3 3 303
...
5.8 8.11 11.14 1540x x 3
...
1 1 1 1 1 1 1 1 303
5 8 8 11 11 14 x x 3 1540
1 1 303
x 311
5 x 3 1540
b)	Ta	đặt	 ...
1 2 3 198 199
P
199 198 197 2 1
Bài 44:
...
1 2 3 198
P 1 1 1 1 1
199 198 197 2
... . ...
200 200 200 200 200 1 1 1 1
P 200
200 199 198 197 2 200 199 198 2
Do	đó:	 
1 1 1 1
...
12 3 4 200x 20 .
1 2 3 198 199 200
...
199 198 197 2 1
 .
1 1
x 20 x 20 1 x 21
200 200
 .	
Vậy	x	=	21.	
Bài	45.	
1)	
a)	
2x 1 1
14 y
 2x 1 y 14	
Mà	x,	y	 	Z	nên	2x	+	1	 	Z,	(-	y) 	Z	
Suy	ra	2x+1;	(-y)	là	ước	của	14.	
Mà	2x	+	1	là	số	lẻ	nên	ta	có	bảng	sau:	
2x	+	1	 1	 -1	 7	 -	7	
-y	 14	 -14	 2	 -2	
x	 0	 -1	 3	 -4	
y	 -14	 14	 -2	 2	
Vậy	các	cặp	số	nguyên	(x;y)	cần	tìm	là:	(0;-14);	(-1;14);	(3;-2);	(-4;	2)	
b)	Học	sinh	giải	tương	tự	như	trên	được	các	cặp	số	nguyên	(x;y)	cần	tìm	là:	
(-29;0);	(31;1);	(-9;-1);	(11;	2);	(7;3);	(-5;-2);	(3;8);	(-1;-7).	
2)	Xét	2x 5y 14 	
Ta	có:	 ; 14 2 2x 2 5y 2    	
Do	(5,2)=1	nên	 y 2 	
Ta	có	5y	<	14	 	 y 2 .	
Mà	y	là	số	nguyên	dương	và	 y 2 	nên	y	=	2.	
Ta	có	 .2x 5 2 14 2x 4 x 2 	
Vậy	x=2,	y=2.	
Bài	46.	
a)	Xét	hiệu:	 A 9 7x 4y 2 13x 18y 37x 	
 	A	chia	hết	cho	37.	
Vì	7x 4y 	chia	hết	cho	37	nên	 9 7x 4y chia	hết	cho	37.	
 2 13x 18y 	chia	hết	cho	37,	mà	 ;2 37 1 	suy	ra	13x 18y 	chia	hết	cho	37.	
Vậy	nếu	 7x 4y 37 	thì	 13x 18y 37 	
b)	
Với	n	=	1	ta	có	 ! 2A 1 1 	
Với	n	=	2	ta	có	 ! !A 1 2 3 	
Với	n	=	3	ta	có	 ! ! ! 2A 1 2 3 9 3 	
Với	n	=	4	ta	có	 ! ! ! !A 1 2 3 4 33 	
Với	n	=	5	ta	có	 A 153 	
Với	n	=	4	ta	có	 A 873 	
Nhận	xét:	với	 n 5 	thì	5!,	6!, .,n!	đều	tận	cùng	là	0.	
Suy	ra	
..
! ! ... ! ...
0
A 33 5 6 n 3  	
 A	không	phải	là	số	chính	phương	(đpcm).	
Vậy	n	=	1	hoặc	n	=3.	
Bài 47:
-	Vì	a	chia	cho	3	dư	2,	chia	cho	5	dư	3,	chia	cho	7	dư	4	nên	ta	có:	
 a 2 3, a 3 5, a 4 7 	
Suy	ra	 a 1 3, a 2 5, a 3 7 	
Suy	ra	 a 1 51 3, a 2 50 5, a 3 49 7 	
Suy	ra	 a 52 3, a 52 5, a 52 7 	
Vậy	a	+	52	 	BC(3;	5;	7) 	 a 52 105	
Suy	ra	 a 52 105k 	(k	=	1,	2,	3, )	
Lần	lượt	thử	k	=	1,	2,	3, 	mà	a	là	số	tự	nhiên	nhỏ	nhất	nên	với	k	=	1	ta	được:	
a	=	105	–	52	=	53.	
Vậy	a	=	53	là	số	cần	tìm.	
Điều	kiện	 x 49 	
a)	Nếu	x	<	49	thì	x	–	49	<	0,	ta	có	 A 0 .	
Nếu	x	>	49	thì	x	–	49	>	0.	Vì	 x 	nên	 x 49 	và	 x 49 1 .	
Khi	đó	
2019
A 2019
x 49
.	
A	=	2019	khi	x	–	49	=1	 	x	=	50.	
Vậy	A	có	giá	trị	lớn	nhất	là	2019	khi	x	=	50.	
b)	Nếu	x	>	49	thì	x	–	49	>	0,	ta	có	 A 0 .	
Nếu	x	 	0.	Vì	 x 	nên	 49 x 	và	 49 x 1 .	
Khi	đó	
2019 2019
A 2019
x 49 49 x
.	
Vậy	A	=	-	2019	khi	49	–	x	=	1 x	=	48.	
Vậy	A	có	giá	trị	nhỏ	nhất	là	-2019	khi	x	=	48.	
Bài 48:
Bài 49:
Xét	102	số:	 1a1 25 1 ;	
2a2 25 1 ; ;	
102a102 25 1 	
Theo	nguyên	lý	Dirichlet,	102	số	khi	chia	cho	101	sẽ	tồn	tại	2	số	có	cùng	số	dư.	
Giả	sử	2	số	là	 am;an 	cùng	số	dư	khi	chia	cho	101	(m>n)	
 m nam an 101 25 1 25 1 101   	
 25m 25n 101 25n 25m n 1 101 	
Vì	 25n ,101 1 	nên	 25m n 1 101 	(đpcm).	
Bài 50:
2 3 99 100
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A 1 ... .... ...
2 3 2 5 6 7 2 9 15 2 2 1
Ta	thấy	
1 1 1 1 1
.2
2 3 2 2 2
 ;	
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
.4
2 5 6 7 2 2 2 2 2
	..........	
Làm	tương	tự	với	các	ngoặc	còn	lại	ta	có:	
2 3 99
2 3 99
100
1 1 1 1
A 1 .2 .2 .2 ... .2 1 1 1 ... 1 100
2 2 2 2
  	
Vậy	A<100.	(1)	
Mặt	khác,	
99 100 100 100
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A 1 .... ...
2 3 4 5 6 7 8 2 1 2 1 2 2
Ta	thấy	
2
1 1 1 1 1 1
2.
3 4 4 4 22
3
1 1 1 1 1 1
4.
5 6 7 8 2 2
	.................	
Làm	tương	tự	với	các	ngoặc	còn	lại	ta	có:	
100 100
100
1 1 1 1 1
A 1 .... 50 1 50
2 2 2 2 2

Vậy	A>	50	(2)	
Từ	(1)	và	(2)	suy	ra	50<A<100	(đpcm).