Giáo án Đại số Lớp 6 - Chủ đề 5: Luỹ thừa với số mũ tự nhiên

CHỦ ĐỀ 5: LUỸ THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN
A/ Kiến thức cơ bản:
1. Lũy thừa bậc n của số a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a
n thừa số a
 ( n 0). a gọi là cơ số, no gọi là số mũ.
2. Nhân hai luỹ thừa cùng cơ số 
3. Chia hai luỹ thừa cùng cơ số ( a0, m n)
Quy ước a0 = 1 ( a0)
4. Luỹ thừa của luỹ thừa 
5. Luỹ thừa một tích 
6. Một số luỹ thừa của 10:
- Một nghìn: 	1 000 = 103
- Một vạn: 	10 000 = 104
- Một triệu: 	1 000 000 = 106
- Một tỉ: 	 1 000 000 000 = 109
Tổng quát: nếu n là số tự nhiên khác 0 thì: 10n = 1000 00 (có n chữ số 0)
7. Thứ tự thực hiện phép tính:
	Trong một biểu thức có chứa nhiều dấu phép toán ta làm như sau:
	- Nếu biểu thức không có dấu ngoặc chỉ có các phép cộng, trừ hoặc chỉ có các phép nhân chia ta thực hiện phép tính theo thứ tự từ trái sang phải.
	- Nếu biểu thức không có dấu ngoặc, có các phép cộng, trừ ,nhân ,chia, nâng lên lũy thừa, ta thực hiện nâng lên lũy thừa trước rồi thực hiện nhân chia,cuối cùng đến cộng trừ.
	- Nếu biểu thức có dấu ngoặc ( ), ta thực hiện các phép tính trong ngoặc tròn trước, rồi đến các phép tính trong ngoặc vuông, cuối cùng đến các phép tính trong ngoặc nhọn.
B/ CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN.
DẠNG 1: THỰC HIỆN TÍNH, VIẾT DƯỚI DẠNG LŨY THỪA.
Bài 1: viết các tích sau dưới dạng 1 luỹ thừa
a) 5.5.5.5.5.5	b) 2.2.2.2.3.3.3.3 	c) 100.10.2.5
Đáp số:
a) 5.5.5.5.5.5 = 56 	
b) 2.2.2.2.3.3.3.3= 24. . 34 
c)100.10.2.5 =10 .10.10.10 =104
Bài 2: Tính giá trị củ các biểu thức sau:
a) 34: 32 	b) 24.. 22 	c) (24.)2 
Đáp số:
a) 34: 32 = 32 = 9
b) 24.. 22 = 16 .4 = 54
c) (24.)2 = 28 = 256
Bài 3: Viết các tích sau đây dưới dạng một luỹ thừa của một số:
a) A = 82.324 
b) B = 273.94.243
Hướng dẫn
 	a) A = 82.324 = 26.220 = 226. hoặc A = 413
b) B = 273.94.243 = 322
Bài 4: Tìm các số mũ n sao cho luỹ thừa 3n thảo mãn điều kiện: 25 < 3n < 250
Hướng dẫn
Ta có: 32 = 9, 33 = 27 > 25, 34 = 41, 35 = 243 < 250 
nhưng 36 = 243. 3 = 729 > 250
Vậy với số mũ n = 3,4,5 ta có 25 < 3n < 250
Bài 5: Viết các số sau đây dưới dạng lũy thừa của một số.
	a) A = 253.125 b) B = 643.2562 
DẠNG 2: SO SÁNH CÁC LŨY THỪA.
	Để so sánh hai lũy thừa ta thường biến đổi về hai lũy thừa có cùng cơ số hoặc có cùng số mũ (có thể sử dụng các lũy thừa trung gian để so sánh)
	Với a , b , m , n N , ta có:	a > b	 ó an > bn 	n N*
	 m > n ó am > an 	(a > 1)
	 a = 0 hoặc a = 1 thì am = an ( m.n 0)
 	Với A , B là các biểu thức ta có :
	An > Bn ó A > B > 0
	Am > An => m > n và A > 1
 m < n và 0 < A < 1
Bài 1 : So sánh : 
	a) 33317 và 33323	
	b) 200710 và 200810	
	c) (2008-2007)2009 và (1998 - 1997)1999
	Hướng dẫn 
	a) Vì 1 < 17 < 23 nên 33317 < 33323
	b) Vì 2007 < 2008 nên 200710 < 200810
	c) Ta có : (2008-2007)2009 = 12009 = 1
	 (1998 - 1997)1999 = 11999 = 1
 	Vậy (2008-2007)2009 = (1998 - 1997)1999
Bài 2: So sánh 
	a, 2300 và 3200	e, 9920 và 999910
	b, 3500 và 7300 	f, 111979 và 371320 
 	c, 85 và 3.47	g, 1010 và 48.505 
	d, 202303 và 303202	h, 199010 + 1990 9 và 199110 
	Hướng dẫn
a, Ta có : 2300 = 23)100 = 8100 
	 3200 = (32)100 = 9100 	
	Vì 8100 2300 < 3200
b, Tương tự câu a, ta có :	 3500 = (35)100 = 243100
	 7300 = (73)100 = 343100
	Vì 243100 < 343100 nên 3500 < 7300
c, Ta có :	85 = 215 = 2.214 85 < 3.47	
d, Ta có : 202303 = (2.101)3.101 = (23.1013)101 = (8.101.1012)101 = (808.101)101 
	303202 = (3.101)2.101 = (32.1012)101 = (9.1012)101 
	Vì 808.1012 > 9.1012 nên 202303 > 303202	
e, Ta thấy : 992 (992)10 < 999910 hay 9920 < 999910 	
f, ta có : 111979 < 111980 = (113)660 = 1331660 	(1)	
	 371320 = 372)660 = 1369660 	(2)
	Từ (1) và (2) suy ra : 111979 < 371320 
g, Ta có : 1010 = 210. 510 = 2. 29. 510 	(*)
	48. 505 = (3. 24). (25. 510) = 3. 29. 510 	(**)
	Từ (*) và (**) => 1010 < 48. 505 
h, Có : 199010 + 19909 = 19909. (1990+1) = 1991. 19909 
	199110 = 1991. 19919 
	Vì 19909 < 19919 nên 199010 + 1990 9 < 199110 
Bài 3 . Chứng tỏ rằng : 527 < 263 < 528 
	Hướng dẫn: 
	Hãy chứng tỏ 263 > 527 và 263 < 528 
 	Ta có :	263 = (27)9 = 1289 
	527 =(53)9 = 1259	=> 263 > 527 	(1)
 	 Lại có : 263 = (29)7 = 5127 
	 	528 = (54)7 = 6257 	=> 263 < 528 	(2)
	Từ (1) và (2) => 527 < 263 < 52 
Bài 4 . So sánh :
	a, 10750 và 7375 	
	b, 291 và 535 
	Hướng dẫn
a, Ta thấy : 10750 < 10850 = (4. 27)50 = 2100. 3150 	(1)
	7375 > 7275 = (8. 9)75 = 2225. 3150 	(2)
	Từ (1) và (2) => 10750 < 2100. 3150 < 2225. 3150 < 7375 
b, 291 > 290 = (25)18 = 3218 và 535 291 > 3218 > 2518 > 535 
	Vậy 291 > 535 
Bài 5: So sách các cặp số sau:
a) A = 275 và B = 2433 
b) A = 2 300 và B = 3200
Hướng dẫn
a) Ta có A = 275 = (33)5 = 315 và B = (35)3 = 315 Vậy A = B
b) A = 2 300 = 33.100 = 8100 và B = 3200 = 32.100 = 9100
Vì 8 < 9 nên 8100 < 9100 và A < B.
Ghi chú: Trong hai luỹ thừa có cùng cơ số, luỹ thừa nào số mũ lớn hơn thì lớn hơn.
a2 gọi là bình phương của a hay a bình phương
a3 gọi là lập phương của a hay a lập phương
Bài 6: Tính và so sánh
a) A = (3 + 5)2 và B = 32 + 52 
b) C = (3 + 5)3 và D = 33 + 53
Hướng dẫn
a) A > B	b) C > D
Lưu ý HS tránh sai lầm khi viết (a + b)2 = a2 + b2 hoặc (a + b)3 = a3 + b3
Bài 7: Tìm các giá trị của số mũ n sao cho.
a) 5 < 2n < 100 	b) 50 < 7n < 2500
Bài 8: So sánh các số.
 	a) 1030 và 2100 	b) 3450 và 5300 c) 333444 và 444333
	Hướng dẫn
 	Biến đổi đưa về cùng số mũ hoặc cùng cơ số rồi so sánh
Bài 9: Tìm các số tự nhiên n sao cho :
	a, 3 < 3n 234
	b, 8.16 2n 4
 	Hướng dẫn: đưa các số về các lũy thừa có cùng cơ số .	
Bài 10: Tìm số tự nhiên n biết rằng :
	415 . 915 < 2n . 3n < 1816 . 216 
 	Gợi ý: quan sát , nhận xét về số mũ của các lũy thừa trong một tích để đưa về cùng cơ số
Bài 11: So sánh các số sau?
	a) 2711 và 818. 	b) 6255 và 1257 	c) 536 và 1124 d) 32n và 23n (n Î N* ) 
	Hướng dẫn:
	a) Đưa về cùng cơ số 3. 	b) Đưa về cùng cơ số 5.
	c) Đưa về cùng số mũ 12. 	d) Đưa về cùng số mũ n
Bài 12: So sánh các số sau:
	a) 523 và 6.522 	b) 7.213 và 216	c) 2115 và 275.498
	Hướng dẫn:
	a) Đưa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau 522.
	b) Đưa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau là 213.
	c) Đưa hai số về dạng một tích 2 luỹ thừa cơ số là 7 và 3.
Bài 13: So sánh các số sau:
	a) 19920 và 200315.	b) 339 và 1121.
	Hướng dẫn :
	a) 19920 < 20020 = (23 .52)20 = 260. 540.
	200315 > 200015 = (2.103)15 = (24. 53)15 = 260.545 
	b) 339 <340 = (32)20 = 920<1121.
Bài 14: So sánh 2 hiệu,hiệu nào lớn hơn: 72 45-7244và 72 44-7243.
	Hướng dẫn:
 7245 - 7244 = 7245(72 - 1) = 7245.71.
 7244 - 7244 = 7244(72 - 1) = 7244.71.
Bài 15: So sánh các số sau:	 
	a) 95 và 273	 	b) 3200 và 2300 	c) 3500 và 7300	d) 85 và 3 . 47 . 85	
	e) 202303 và 303202
	 	Hướng dẫn:
	a) Ta có: 	95 = (32)5 = 310
	273 = (33 )3 = 39
	Vì 310 > 39 nên 95 > 273
	b) Ta có: 3200 = (32)100 = 9100
	2300 = (23) 100 = 8100
	Vì 9100 > 8100 ; nên 3200 > 2300
	c) 3500 và 7300 	
	3500 = 35.100 = (35)100 = 243100
	7300 = 73.100 . (73 )100 = (343)100
	Vì 243100 3500 < 7300 	
	d) có 3 . 47 . 85 = (23)+5 = 215 <3.214 = 3.47
	=> 85 < 3 . 47
	e) 202303 và 303202
	202303 =(2023)201	 ; 303202 = (3032)101
 	Ta so sánh 2023 và 3032
	2023 = 23. 101 . 1013 và 3032	=> 3032 < 2023
	3032 = 33. 1012 = 9.1012 
	Vậy 303202 < 2002303
DẠNG 3: THỨ TỰ THỰC HIỆN CÁC PHÉP TÍNH - ƯỚC LƯỢNG CÁC PHÉP TÍNH
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức: A = 2002.20012001 – 2001.20022002
Hướng dẫn
 	A = 2002.(20010000 + 2001) – 2001.(20020000 + 2002)
	 = 2002.(2001.104 + 2001) – 2001.(2002.104 + 2001)
 = 2002.2001.104 + 2002.2001 – 2001.2002.104 – 2001.2002 = 0
Bài 2: Thực hiện phép tính
a) A = (456.11 + 912).37 : 13: 74
b) B = [(315 + 372).3 + (372 + 315).7] : (26.13 + 74.14)
ĐS: A = 228	B = 5
Bài 3: Tính giá trị của biểu thức
a) 12:{390: [500 – (125 + 35.7)]} 
b) 12000 –(1500.2 + 1800.3 + 1800.2:3)
ĐS: a) 4	b) 2400
DẠNG 4: TÌM SỐ CHƯA BIẾT TRONG LŨY THỪA.
	Khi giải bài toán tìm x có luỹ thừa phải biến đổi về các luỹ thừa cùng cơ số hoặc các luỹ thừa cùng số mũ và các trường hợp đặc biệt
Bài 1: Tìm x, biết:
a) 2x = 16	ĐS: x = 4
 	b) x50 = x =>x= 0;1	ĐS: x 
Bài 1: Tìm x biết rằng:
 a, x3 = -27	b, (2x – 1)3 = 8
 c, (x – 2)2 = 16	d, (2x – 3)2 = 9 
Bài 2. Tìm số hữu tỉ x biết : x2 = x5 	
 x2 = x5 => x5 – x2 = 0 => x2.(x3 - 1) = 0 => => => 
Bài 3. Tìm số hữu tỉ y biết : (3y - 1)10 = (3y - 1)20 (*)
 Hướng dẫn : Đặt 3y – 1 = x . Khi đó (*) trở thành : x10 = x20 
 Giải tương tự bài 2 ở trên ta được : => => 
 	+) Với x = 0 ta có : 3y -1 = 0 => 3y = 1 => y = 
	+) Với x = 1 ta có : 3y -1 = 1 	=> 3y = 2 => y = 
	+) Với x = -1 ta có : 3y – 1 = -1 => 3y = 0 => y = 0
 Vậy y = ; ; 0
Bài 4: Tìm x biết : (x - 5)2 = (1 – 3x)2 
Bài 5: Tìm n N biết :
	a, 2008n = 1	c, 32-n. 16n = 1024
	b, 5n + 5n+2 = 650	d, 3-1.3n + 5.3n-1 = 162
Bài 6: Tìm hai số tự nhiên m , n biết : 2m + 2n = 2m+n
 	Hướng dẫn: 2m+n – 2m – 2n = 0 => 2m.2n -2m -2n + 1 = 1
	 2m(2n - 1) – (2n - 1) = 1 => (2m - 1)( 2n - 1) = 1 (*)
Vì 2m 1 , 2n 1 m,n N
	Nên từ (*) => => => 
	Vậy : m = n = 1
Bài 7: Tìm x Î N biết 
 	 	a) 13 + 23 + 33 + ...+ 103 = ( x +1)2
 	b) 1 + 3 + 5 + ...+ 99 = (x -2)2
	Hướng dẫn
 	a) 13 + 23 + 33 + ...+ 103 = (x +1)2
 (1+ 2 + 3+...+ 10)2 = ( x +1)2
	=> 552 = ( x +1) 2 => x = 54 
 b) 1 + 3 + 5 +...+ 99 = ( x -2)2 => = ( x - 2)2 => 502 = ( x -2 )2
	=> x = 52 
	(Ta có: 1 + 3 + 5+ ...+ ( 2n+1) = n2) 
Bài 8: Tìm 1 cặp	 x ; y Î N thoả mãn 73 = x2 - y2
	Hướng dẫn:	
	Ta thấy: 73 = x2 - y2
	(13 + 23 + 33 +...+73) - (13+ 23+ 33+...+ 63) = x2 - y2
	(1+ 2 + 3 + ...+ 7)2 - (1 + 2 + 3 +...+ 6)2 = x2 - y2
	282 - 212 = x2 - y2
	Vậy 1 cặp x; y thoả mãn là: x = 28; y = 21 
DẠNG 4: MỘT SỐ BÀI TẬP BỔ SUNG.
	Vận dụng linh hoạt các công thức, phép tính về lũy thừa để tính cho hợp lí và nhanh. Biết kết hợp hài hòa một số phương pháp trong tính toán khi biến đổi.
Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau: A = 
	Hướng dẫn:	
	A = = = 23 = 8
Bài 2: Chứng tỏ rằng:
	b) B = 52008 + 52007 + 52006 31
 	c) M = 88 + 220 17
 	d) H = 3135 . 299 – 3136 . 36 7
	Hướng dẫn
	Để chứng minh A (một biểu thức lũy thừa) chia hết cho số k ta cần biến đổi biểu thức A về dạng A = P . k (với P là một số nào đó) 	
b, B = 52008 + 52007 + 52006 31
	Ta không thể tính giá trị cụ thể của từng lũy thừa rồi thực hiện phép chia. Giáo viên có thể gợi ý đặt thừa số chung.
	 B = 52008 + 52007 + 52006
	 B = 52006 .( 52 + 51 + 1)
	 B = 52006 . 31 31
c, M = 88 + 220 17
 	Cách làm tương tự như câu b, nhưng trước tiên phải đưa về hai lũy thừa có cùng cơ số: 
	 M = 88 + 220 = (23)8 + 220 = 224 + 220
	 M = 220 (24 + 1) = 220 (16 + 1) = 220 . 17 17
d, H = 3135 . 299 – 3136 . 36 7
 	Với câu này, học sinh cũng phải nhận ra cần đặt thừa số chung, nhưng đặt thừa số chung nào lại là một vấn đề. Nếu đặt 3135 làm thừa số chung thì buộc phải tính kết quả trong ngoặc, và như vậy thì rất lâu và dễ nhầm. Khi đó, giáo viên có thể hướng dẫn.
 H = 3135 . 299 – 3136 . 36 
	H = 3135 . 299 – 3136 - 35. 3136
	H = 3135 . (299 – 313) - 35. 3136
	H = 3135 . 14 - 35. 3136
	H = 7 . (3135 . 2 – 5. 3136 ) 7
Bài 3 . Cho A = 2+ 22 + 23 + + 260 . Chứng tỏ rằng : A3 , A7 , A5
 	Hướng dẫn:
 	 A = 2+ 22 + 23 + + 260 
	 = (2+22)+(23+24)+(25+26)+ .+(257+258)+(259+260) 
	 = 2.(1+2)+23.(1+2)+25.(1+2)+ .+257.(1+2)+259.(1+2)
	 = (1+2).(2+23+25+ ..+257+259)
	 = 3.( 2+23+25+ ..+257+259) 
	=> A3 
	Tương tự ,ta có : 
	A = (2+ 22 + 23)+(24+25+26)+ +(258+259+ 260 )
	 = 2.(1+2+22)+24.(1+2+22)+ .+258.(1+2+22)
	 = (1+2+22).(2+24+27+ .+258) 
	 = 7.(2+24+27+ .+258) => A7
	A = (2+ 23)+(22+24)+ +(257+259)+(258+ 260 )
	A = 2(1+22)+22(1+22)+ +257(1+22)+258(1+22)
	 = (1+22).(2+22+25+26+ .+257+258)
	 = 5. (2+22+25+26+ .+257+258
	=> A5
 Bài 4: Chứng tỏ rằng :
 a, D = 3 + 32 + 33 + 34 + ..+ 32007 13
 b, E = 71 + 72 + 73 + 74 + . + 74n-1 + 74n 400
Hướng dẫn
a, Ta thấy : 13 = 1 + 3 + 32 nên ta sẽ nhóm 3 số hạng liên tiếp của tổng thành một nhóm như sau :
 D = (3 + 32 + 33) + (34 +35 + 36) + .+ (32005 + 32006.+ 32007) 
 =3.(1 + 3 + 32) +34.(1 + 3 + 32) + .+ 32005.(1 + 3 + 32) 
 = 3. 13 + 34. 13 + ..+ 32005. 13
 = (3 + 34 + + 32005). 13
 => D 13
b, Tương tự câu a, có : 400 = 1 + 7 + 72 + 73 nên :
 E = (71 + 72 + 73 + 74) + 74. (71 + 72 + 73 + 74) + + 74n-4. (71 + 72 + 73 + 74)
 = (71 + 72 + 73 + 74). (1+74 + 78 + +74n-4)
 = 7.(1 + 71 + 72 + 73 ). (1+74 + 78 + +74n-4)
 = 7.(1 + 7 + 49 + 343 ). (1+74 + 78 + +74n-4)
 = 7.400 . (1+74 + 78 + +74n-4) 400
 => E 400