Giáo án Đại số Lớp 6 - Chủ đề 6: Tính tổng các lũy thừa theo quy luật

CHỦ ĐỀ 6: TÍNH TỔNG CÁC LŨY THỪA THEO QUY LUẬT.
DẠNG 1: TỔNG CÓ DẠNG: S = 1 + a + a2 + a3 + .+ an	(1)
I/ PHƯƠNG PHÁP.
	B1: Nhân vào hai vế của đẳng thức với số a ta được.
	a.S = a + a2 + a3 + a4 + .+ an + 1	(2)
	B2: Lấy (2) trừ (1) vế theo vế được:
	a.S – S = an + 1 – 1 => 
II/ BÀI TẬP VẬN DỤNG.
Bài 1: Tính tổng S = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + ..+ 2100
Bài 2: Tính tổng S = 6 + 62 + 63 + 64 + ..+ 699
Bài 3: Tính tổng S = 1 + 4 + 42 + 43 + ...+ 41000
Bài 4: Tính tổng S = 
Bài 5: Tính tổng S = 
DẠNG 2: TỔNG CÓ DẠNG: S = 1 + a2 + a4 + a6 + .+ a2n	(1)
I/ PHƯƠNG PHÁP.
	B1: Nhân vào hai vế của đẳng thức với số a2 ta được.
	a2.S = a2 + a4 + a6 + a8 + .+ a2n + 2	(2)
	B2: Lấy (2) trừ (1) vế theo vế được:
	a2.S – S = a2n + 2 – 1 => 
II/ BÀI TẬP VẬN DỤNG.
Bài 1: Tính tổng S = 1 + 22 + 24 + 26 + ..+ 298 + 2100
Bài 2: Tính tổng S = 62 + 64 + 66 + ..+ 698 + 6100
Bài 3: Tính tổng S = 1 + 32 + 34 + 36 + ...+ 3100 + 3102
Bài 4: Tính tổng S = 
Bài 5: Tính tổng S = 
DẠNG 3: TỔNG CÓ DẠNG: S = a + a3 + a5 + a7 + .+ a2n + 1	(1)
I/ PHƯƠNG PHÁP.
	B1: Nhân vào hai vế của đẳng thức với số a2 ta được.
	a2.S = a3 + a5 + a7 + a9 + .+ a2n + 3	(2)
	B2: Lấy (2) trừ (1) vế theo vế được:
	a2.S – S = a2n + 3 – a => 
II/ BÀI TẬP VẬN DỤNG.
Bài 1: Tính tổng S = 1 + 2 + 23 + 25 + ..+ 299 + 2101
Bài 2: Tính tổng S = 63 + 65 + 67 + ..+ 699 + 6101
Bài 3: Tính tổng S = 1 + 33 + 35 + 37 + ...+ 3101 + 3103
Bài 4: Tính tổng S = 
Bài 5: Tính tổng S = 
DẠNG 4: TỔNG CÓ DẠNG: S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + .+ (n – 1). n	(1)
I/ PHƯƠNG PHÁP.
	Vì khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng bằng 1 => Nhân vào hai vế của đẳng thức với 3 lần khoảng cách (nhân với 3) ta được.
	3.S = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + 4.5.3+ .+ (n – 2).(n – 1) .3+ (n - 1).n.3
 = 1.2.3 + 2.3.(4 – 1) + 3.4.(5 – 2) + .+ (n – 2).(n – 1).[n – (n – 3)] 
 + (n -1).n.[(n + 1) – (n – 2)] 	
	 = (n – 1).n.(n + 1)
II/ BÀI TẬP VẬN DỤNG.
Bài 1: Tính tổng S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ..+ 99.100
Bài 2: Tính tổng S = 1.3 + 3.5 + 5.7 + ..+ 99.101
Bài 3: Tính tổng S = 1.4 + 4.7 + 7.10 + 37.40 + 40.43
DẠNG 5: TỔNG CÓ DẠNG: P = 12 + 22 + 32 + 42 + + n2
I/ PHƯƠNG PHÁP.
	Áp dụng tổng của DẠNG 5 là: S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + .+ n(n+1)
	S = 1.(1 + 1) +2 (2 +1 ) + 3(3 + 1) + 4(4 + 1) + + n(n + 1)
	 = (12 + 22 + 32 + 42 + + n2) + (1 + 2 + 3 + . + n)
	 = P + (1 + 2 + 3 + . + n)
P = S - (1 + 2 + 3 + . + n)
Trong đó theo DẠNG 5 thì S = 
	 Theo DẠNG 1 thì (1 + 2 + 3 + . + n) = 
P = 
II/ BÀI TẬP VẬN DỤNG.
Bài 4: Tính tổng P = 12 + 22 + 32 + + 502
Bài 5: Tính tổng Q = 12 + 22 + 32 + + 512
DẠNG 6: TỔNG CÓ DẠNG: S = 12 + 32 + 52 + + (2n+1)2
I/ PHƯƠNG PHÁP.
	Áp dụng tổng A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + .+ (k - 2)(k - 1) + (k – 1). k Với k = 2n + 2
	 = 0.1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + .+ (k - 2)(k - 1) + (k – 1). k
	 = 1(0 + 2) + 3(2 + 4) + 5(4 + 6) + + (k – 1). [(k– 2) + k]
	 = 1.2 + 3. 6 + 5.10 + + (k - 1).(2k – 2)
	 = 1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 + + (k – 1).(k – 1).2
	 = 2.[12 + 32 + 52 + .+ (k – 1)2]
	 = 2.[12 + 32 + 52 + .+ (2n + 1)2]
	 = 2.S
S = mà theo DẠNG 5 thì tổng 
S = 
II/ BÀI TẬP VẬN DỤNG.
Bài 1: Tính tổng S = 12 + 32 + 52 + + 992
Bài 2: Tính tổng S = 52 + 72 + 92 + + 1012
Bài 3: Tính tổng S = 112 + 132 + .+ 20092
DẠNG 7: TỔNG CÓ DẠNG: S = 22 + 42 + 62 + + (2n)2
I/ PHƯƠNG PHÁP.
	Áp dụng tổng A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + .+ (k - 2)(k - 1) + (k – 1). k Với k = 2n + 1
	 = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + .+ (k - 2)(k - 1) + (k – 1). k
	 = 2(1 + 3) + 4(3 + 5) + 6(5 + 7) + + (k – 1). [(k– 2) + k]
	 = 2.4 + 4.8 + 6.12 + + (k - 1).(2k – 2)
	 = 2.2.2 + 4.4.2 + 6.6.2 + + (k – 1).(k – 1).2
	 = 2.[12 + 32 + 52 + .+ (k – 1)2]
	 = 2.[22 + 42 + 62 + .+ (2n)2]
	 = 2.S
S = mà theo DẠNG 5 thì tổng 
S = 
Áp dụng tính: P = 12 + 22 + 32 + .+ n2
	Xét: S = 22 + 42 + 62 + + (2n)2 
	=> 12 + 22 + 32 + .+ n2 => P = 	
II/ BÀI TẬP VẬN DỤNG.
Bài 1: Tính tổng M = 22 + 42 + 62 + + 1002
Bài 2: Tính tổng N = 62 + 82 + 102 + + 1022
Bài 3: Tính tổng H = 122 + 142 + .+ 20102
Bài 4: Tính tổng P = 12 + 22 + 32 + + 1002
Bài 5: Tính tổng Q = 12 + 22 + 32 + + 1012
Bài 6: Tính tổng A = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + + 10000.
Bài 7: Tính tổng K = - 12 + 22 – 32 + 42 – 52 + .- 192 + 202
Bài 8: Biết rằng 12 + 22 + 32 + + 102 = 385, Tính tổng S = 22 + 42 + 62 + + 202
DẠNG 8: TỔNG CÓ DẠNG: S = a1.a2 + a2.a3 + a3.a4 + a4.a5 + .+ an-1. an	(1)
I/ PHƯƠNG PHÁP.
	* Với a2 – a1 = a3 – a2 = .= an - an-1 = 2
	S = a1.(a1 + 2) + a2. (a2 + 2) + a3. (a3 + 2) + a4. (a4 + 2) + .+ an-1. (an - 1 + 2)
	 = 
	 = S1 + k. S2
	Trong đó tổng S1 = được tính theo DẠNG 6 và DẠNG 7.
	 S2 = được tính theo DẠNG 1.
	* Với a2 – a1 = a3 – a2 = .= an - an-1 = k > 2
	Nhân cả hai vế với 3k , rồi tách 3k ở mỗi số hạng để tạo thành các số hạng mới tự triệt tiêu.
II/ BÀI TẬP VẬN DỤNG.
Bài 1: Tính tổng M = 1.3 + 3.5 + 5.7 + .+ 49.51
Bài 2: Tính tổng N = 2.4 + 4.6 + 6.8 + ..+ 100.102
Bài 3: Tính tổng P = 1.4 + 4.7 + 7.10 + .+ 49.52
Hướng dẫn
	Vì khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng bằng 3 
Nhân cả hai vế với 9 ta có: 
9P = 1.4.9 + 4.7.9 + 7.10.9 + .+ 46.49.9 + 49.52.9
 = 1.4.(7 + 2) + 4.7.(10 – 1) + 7.10.(13 – 4) + + 46.49.(52 – 43) + 49.52.(55 – 46)
 = 1.4.2 + 49.52.55
 = 140148
P = 15572
Bài 4: Tính tổng S = 2.6 + 6.10 + 10.14 + 14.18 + .+42.46 + 50.54
 DẠNG 9: TỔNG CÓ DẠNG: S = 1.a2.a3 + a2.a3 .a4 + a3.a4 .a5 + a4.a5.a6 + .+ an-2 .an-1. an
 Với a2 – 1 = a3 – a2 = a4 – a3 = .= an - an-1 = k
I/ PHƯƠNG PHÁP.
	Nhân hai vế với 4k, rồi tách 4k ở mỗi số hạng trong tổng để số hạng trước và số hạng sau tạo thành những số tự triệt tiêu nhau.
	4k.S = 1.a2.a3.4k + a2.a3 .a4.4k + a3.a4 .a5.4k + a4.a5.a6.4k + .+ an-2 .an-1. an.4k
	 = an-2 .an-1. an.(an + k)
II/ BÀI TẬP VẬN DỤNG.
Bài 1: Tính tổng S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ..+ 16.17.18 + 17.18.19
Hướng dẫn
	Khoảng cách giữa các thừa số bằng 1 => Nhân hai vế với 4 ta được.
	4S = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + 3.4.5.4 + ..+ 16.17.18.4 + 17.18.19.4
	 = 1.2.3.4 + 2.3.4.(5 – 1) + 3.4.5.(6 – 2) + + 16.17.18.(19 – 15) + 17.18.19.(20 – 16)
	 = 17.18.19.20 = 116280
Bài 2: Tính tổng S = 1.3.5 + 3.5.7 + 5.7.9 + + 95.97.99
	Gợi ý: Nhân hai vế với 8
Bài 3: Tính tổng A = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + + 18.19.20.21 + 19.20.21.22
	Gợi ý: Nhân hai vế với 5
DẠNG 10: TỔNG CÓ DẠNG: S = 1 + 23 + 33 + 43 + + n3
I/ PHƯƠNG PHÁP.
	Áp dụng tổng: B = 1.2.3 + 2.3.4 + + (n - 1)n(n + 1)
	Trong mỗi số hạng, tách thừa số đầu và thừa số sau theo tổng và hiệu của thừa số giữa với 1. Ta có:
	B = (2 - 1).2.(2 + 1) + (3 - 1).3.(3 + 1) + + (n - 1)n(n + 1) 
 = (23 - 2) + (33 - 3) + + (n3 - n)
 = (23 + 33 + + n3) - (2 + 3 + + n)
 = (1 + 23 + 33 + + n3) - (1 + 2 + 3 + + n)
	=> S = B + (1 + 2 + 3 + + n)
	Trong đó: Theo DẠNG 10 thì: B = 
	 Theo DẠNG 1 thì: 1 + 2 + 3 + + n = 
	Vậy S = + 
	Hay S = 1 + 23 + 33 + 43 + + n3 = (1 + 2 + 3 + + n)2 = 
II/ BÀI TẬP VẬN DỤNG.
Bài 1: Tính tổng S = 13 + 23 + 33 + + 1003
Bài 2: Tính tổng S = 13 + 23 + 33 + + 513