30 Bài toán về dãy các số viết theo quy luật (bồi dưỡng học sinh giỏi toán )

HD GIẢI 30 BÀI TOÁN VỀ DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
(Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán )
Tài liệu này hệ thống 9 loại dãy số viết có quy luật, từ đó ra thành 30 bài toán để 
HSG có thể rèn luyện, với mỗi dạng có công thúc tổng quát dễ áp dụng. 
ØBài 1: Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau: 
a) 3, 8, 15, 24, 35, ... 
b) 3, 24, 63, 120, 195, ... 
c) 1, 3, 6, 10, 15, ... 
d) 2, 5, 10, 17, 26, ... 
e) 6, 14, 24, 36, 50, ... 
f) 4, 28, 70, 130, 208, ... 
g) 2, 5, 9, 14, 20, ... 
h) 3, 6, 10, 15, 21, ... 
i) 2, 8, 20, 40, 70, ... 
 Hướng dẫn:
a) n(n+2) 
b) (3n-2)3n 
c) n(n + 1):2
d) 1+n2
e) n(n+5) 
f) (3n-2)(3n+1) 
g) n.(n + 3):2
h) n.[( n+1)( n + 2) ] :2 
i) n.[( n+1)( n + 2) ] : 3
ØBài 2: Tính giá trị của A, biết: 
a) A = 1+2+3+ +(n-1)+n 
b) A = 1.2+2.3+3.4+...+99.100 
Hướng dẫn:
a) Tổng các giá trị của dãy số tự nhiên từ 1 đến n 
 thay giá trị n vào => tính được A
1
A = 1+2+3+ +(n-1)+n = n (n+1):2 [*1]
b) Nhân 2 vế với 3, trong đó từ số hạng thứ 2 thay vì nhân 3 ta nhân (4-1)=3
3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+...+99.100.(101-98) 
3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+...+99.100.101-98.99.100 
3A = 99.100.101 
A = 333300 
Tổng quát: Dãy số b) với số cuối cùng là n thì:
ØBài 3: Tính giá trị của A, biết: 
A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101 
Hướng dẫn: thay thừa số 3, 4, 5, 6.....101 bắng (2+1), (3+1), (4+1).....(100 +1)
 Ta có
A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+...+99(100+1) 
A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+...+99.100+99 
A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+(1+2+3+...+99) 
A = 333300 + 4950 = 338250 
 Dãy đầu áp dụng công thức [*2] , Dãy sau công thức [*1]
Tổng quát: 
A = 0.1 + 1.3+2.4+3.5+...+(n-1)(n+1) Lưu ý số hạng đầu =0 với n=1
A= (n-1)n(n+1):3 + n(n-1):2 
ØBài 4: Tính: 
 A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102 = ?
Hướng dẫn: thay thừa số 4, 5, 6.....102 bắng (2+2), (3+2), (4+2).....(100 +2)
ta có :
A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+...+99(100+2) 
A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+...+99.100+99.2 
A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+2(1+2+3+...+99) 
A = 333300 + 9900 = 343200 
 Dãy đầu áp dụng công thức [*2] , Dãy sau công thức [*1]
ØBài 5: Tính: 
A = 4+12+24+40+...+19404+19800 
2
A = 1.2 + 2.3 + 3.4 +. + (n – 1) n = ⅓.n. (n – 1 ).(n + 1) [*2]
A = 1.3+2.4+3.5+...+(n-1)(n+1) =n/6 [ (n-1) .(2n+1) ] [*3]
EHướng dẫn: Chia 2 vế cho 2 ta có
 ½.A = 1.2+2.3+3.4+4.5+...+98.99+99.100 
 Áp dụng công thức [*2] t ính ra A= 666600 
 Bài 6: Tính: 
 A = 1+ 3 + 6 +10 +...+4851+4950 = ?
EHướng dẫn: Nhân 2 vế với 2 và biến đổi để vế phải là dạng [*2]; ta có
2A = 1.2+2.3+3.4+...+99.100 = 333300
 => A= 333300:2 = 166650 
Bài 7: Tính: 
 A = 6+16+30+48+...+19600+19998 =?
EHướng dẫn: Chi 2 vế cho 2 và biến đổi để vế phải là dạng [*3]; ta có
½ A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101 
 => A = 338250 x 2 = 676500 
Bài 8:Tính: 
 A = 2+5+9+14+...+4949+5049 =?
EHướng dẫn: Nhân 2 vế với 2 ta đưa về dạng Bài 4 (ở trên)
2A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102 
A = 343200:2 = 171600 
Bài 9: Tính: 
 A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100 = ?
EHướng dẫn: Nhân 2 vế với 4 và biến đổi ta có
4A = 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+...+98.99.100.(101-97) 
4A = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+...+98.99.100.101-97.98.99.100 
4A = 98.99.100.101 
 => A = 2449755 
Tổng quát: 
Bài 10: Tính tổng các bình phương của 100 số tự nhiê n đầu tiên
 A = 12 +22 +32+...+992 +1002 
EHướng dẫn:
3
A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+(n-2)(n-1)n = ¼ .(n-2)(n-1)n(n+1) [*4]
A = 1+2(1+1)+3(2+1)+...+99(98+1)+100(99+1) 
A = 1+1.2+2+2.3+3+...+98.99+99+99.100+100 
A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+(1+2+3+...+99+100) 
A = 333300 + 5050 = 338050 
Tổng quát:
A = (n-1) n (n+1):3 + n(n +1):2 
Bài 11: Tính tổng các bình phương của 50 số chẵn đầu tiên ( 2,4,6,8.....98,100): 
 A = 22 +42 +62 +...+982 +1002 = ?
EHướng dẫn: Tách 22 làm thừa số chung rồi áp dụng công thức [*5]
 A = 22 .(12 +22 +32 +...+492 + 502 ) 
Bài 12: Tính tổng các bình phương của 50 số lẻ đầu tiên
 A = 12 +32 + 52 +...+972 +992 = ?
EHướng dẫn: Lấy tổng các bình phương của 100 số tự nhiên đầu tiên trừ tổng 
các bình phương của 50 số chẵn đầu tiên
 A = (12 +22 +32+...+992 +1002 ) – 22 .(12 +22 +32 +...+492 + 502 ) 
Bài 13: Tính: 
A = 12 – 2 2 +32 – 42 +...+ 992 – 1002
EHướng dẫn: Lấy tổng các bình phương của 100 số tự nhiên đầu tiên trừ 2 lân 
tổng các bình phương của 100 số chẵn đầu tiên
 A = (12 +22 +32+...+992 +1002 ) – 2 .(12 +22 +32 +...+992 + 1002 ) 
Bài 14:Tính: 
 A = 1.22 +2.32 +3.42 +...+98.992 = ?
EHướng dẫn:
A = 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+...+98.99(100-1) 
A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+...+98.99.100-98.99 
4
 A = 12 +22 +32+...+992 +1002 = n(n+1)(2n+1):6 [*5]
A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+...+98.99) 
ØBài 15:Tính: 
 A = 1.3+3.5+5.7+...+97.99+99.101 =?
EHướng dẫn: Đổi thừa thừa sô thứ 2 của các số hạng thành tổng
 (1+2), (3+2); (5+2) 99 +2)
 A = 1(1+2)+3(3+2)+5(5+2)+...+97(97+2)+99(99+2) 
 A = (12 +32+52+...+972+992)+2(1+3+5+...+97+99) 
ØBài 16: Tính: 
A = 2.4+4.6+6.8+...+98.100+100.102 
EHướng dẫn:
A = 2(2+2)+4(4+2)+6(6+2)+...+98(98+2)+100(100+2) 
A = (22 +42 +62+...+ 982 +1002 )+4(1+2+3+...+49+50) 
ØBài 17: Tính: 
A = 13+23+33+...+993+1003
EHướng dẫn:
A = 12(1+0)+22(1+1)+32(2+1)+...+992(98+1)+1002(99+1) 
A = (1.22+2.32+3.42+...+98.992+99.1002)+(12+22+32+...+992+1002) 
A = [1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+...+98.99(100-1)] +(12+22+32+...+992+1002) 
A = (1.2.3 – 1.2+2.3.4 – 2.3+3.4.5 – 3.4+...+98.99.100 – 98 .99)
 + (12 + 22 + 32+...+992+1002) 
A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100) – (1.2+2.3+3.4+...+98.99) 
(12+22+32+...+992+1002) 
ØBài 18:Tính: 
A = 23+43+63+...+983+1003
EHướng dẫn:
ØBài 19:Tính: 
A = 13+33+53+...+973+993 
EHướng dẫn: Lấy dãy số của bài 17 trừ dãy của bài 18
ØBài 20: Tính: 
A = 13 –23+33–43 +...+993–1003 
Hướng dẫn:
ØBài 21 : Tính tổng: 
5
2 + 4 – 6 – 8 + 10 + 12 – 14 – 16 + 18 + 20 – 22 – 24 - 2008 
ØBài 22: Cho A = 1 – 2 + 3 – 4 +....... 99 – 100
a) Tính A. 
b) A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ? 
c) A có bao nhiêu ước tự nhiên. Bao nhiêu ước nguyên ? 
ØBài 23:Cho A= 1– 7 + 13 – 19 + 25 – 31 +....
a) Biết A = 181. Hỏi A có bao nhiêu số hạng ? 
b) Biết A có n số hạng. Tính giá trị của A theo n ? 
ØBài 24:Cho A= 1– 7 + 13 – 19 + 25 – 31 +....
a) Biết A có 40 số hạng. Tính giá trị của A. 
b) Tìm số hạng thứ 2004 của A. 
ØBài 25:Tìm giá trị của x trong dãy tính sau: 
 (x+2)+(x+12)+(x+42)+(x+47) = 655
ØBài 26: 
a) Tìm x biết : x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + + (x+2009) = 2009.2010
b) Tính M = 1.2+2.3+3.4+ + 2009. 2010 
ØBài 27:Tính tổng: 
 S= 9.1 + 99.101 + 999.1001+.....99999.100001 =?
ØBài 28: Cho A= 3 + 32 + 33 + 34 +.....3100
Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A + 3 = 3n
ØBài 29: Cho M = 3 + 32 + 33 + 34 +.....3100
Hỏi :
a. M có chia hết cho 4, cho 12 không ? vì sao? 
b.Tìm số tự nhiên n biết rằng 2M+3 = 3n
.
ØBài 30: Cho biểu thức: M = 1 +3 + 32+ 33+ + 3118+ 3119
a) Thu gọn biểu thức M. 
b) Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao?
_____________________________________________________________-
Sưu tầm và chỉnh lí bổ sung : Phạm Huy Hoạt 10 – 2012
(Nguồn tham khảo chính : www.doimoigiaoduc.com)
6
2 + 4 – 6 – 8 + 10 + 12 – 14 – 16 + 18 + 20 – 22 – 24 - 2008 
ØBài 22: Cho A = 1 – 2 + 3 – 4 +....... 99 – 100
a) Tính A. 
b) A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ? 
c) A có bao nhiêu ước tự nhiên. Bao nhiêu ước nguyên ? 
ØBài 23:Cho A= 1– 7 + 13 – 19 + 25 – 31 +....
a) Biết A = 181. Hỏi A có bao nhiêu số hạng ? 
b) Biết A có n số hạng. Tính giá trị của A theo n ? 
ØBài 24:Cho A= 1– 7 + 13 – 19 + 25 – 31 +....
a) Biết A có 40 số hạng. Tính giá trị của A. 
b) Tìm số hạng thứ 2004 của A. 
ØBài 25:Tìm giá trị của x trong dãy tính sau: 
 (x+2)+(x+12)+(x+42)+(x+47) = 655
ØBài 26: 
a) Tìm x biết : x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + + (x+2009) = 2009.2010
b) Tính M = 1.2+2.3+3.4+ + 2009. 2010 
ØBài 27:Tính tổng: 
 S= 9.1 + 99.101 + 999.1001+.....99999.100001 =?
ØBài 28: Cho A= 3 + 32 + 33 + 34 +.....3100
Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A + 3 = 3n
ØBài 29: Cho M = 3 + 32 + 33 + 34 +.....3100
Hỏi :
a. M có chia hết cho 4, cho 12 không ? vì sao? 
b.Tìm số tự nhiên n biết rằng 2M+3 = 3n
.
ØBài 30: Cho biểu thức: M = 1 +3 + 32+ 33+ + 3118+ 3119
a) Thu gọn biểu thức M. 
b) Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao?
_____________________________________________________________-
Sưu tầm và chỉnh lí bổ sung : Phạm Huy Hoạt 10 – 2012
(Nguồn tham khảo chính : www.doimoigiaoduc.com)
6