Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 6 - Một số bài toán về Đồng Dư

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ĐỒNG DƯ TRONG MTCT THCS
---------------------------------------------------
Phần I: KIẾN THỨC CẦN NẮM
 I.Định nghĩa:
 Nếu hai số nguyên a và b khi chia cho m (m ¹ 0) mà có cùng số dư thì ta nói a đồng dư với b theo môđun m, kí hiệu là a º b (mod m).
Nh­ vËy: a º b (mod m) a b chia hÕt cho m.
HÖ thøc cã d¹ng: a º b (mod m) gäi lµ mét ®ång d­ thøc, a gäi lµ vÕ tr¸i cña ®ång d­ thøc, b gäi lµ vÕ ph¶i cßn m gäi lµ m«®un.
II. Mét sè tÝnh chÊt: KÝ hiÖu a; b; c; d; m lµ c¸c sè nguyªn d­¬ng, ta lu«n cã:
a) TÝnh chÊt 1:
a º a (mod m);
a º b (mod m) Û b º a (mod m);
a º b (mod m) vµ b º c (mod m) th× a º c(mod m).
b) TÝnh chÊt: NÕu a º b (mod m) vµ c º d (mod m) th×:
a + c º b + d (mod m);
a c º b d (mod m);
ac º bd (mod m);
NÕu p lµ mét ­íc chung cña a; b; m th×: º (mod ).	
c) TÝnh chÊt 3: NÕu a º b (mod m) th× ac º bc (mod mc).
d) TÝnh chÊt 4: NÕu a º b (mod m) thì a k ≡ b k (mod m), kÎN .
III. Mét sè kiÕn thøc liªn quan:
 1) Nếu a ≡ b (mod m) và 0 ≤ b < m thì b còn gọi là số dư của phép chia a cho m.
 2) Ngược lại nếu a chia cho m dư b,thì ta viết: 
3) Trong n sè nguyªn liªn tiÕp (n ³ 1) cã mét vµ chØ mét sè chia hÕt cho n.
4) T×m m ch÷ sè tËn cïng cña sè A lµ t×m sè d­ khi chia A cho 10m: 
- Muốn tìm chữ số tận cùng của số tựu nhiên A, ta tìm số dư của phép chia A cho 10 
- Muốn tìm hai chữ số tận cùng của số tựu nhiên A, ta tìm số dư của phép chia A cho 100 .
- Muốn tìm ba chữ số tận cùng của số tựu nhiên A, ta tìm số dư của phép chia A cho 1000 .
5)Một số tính chất:
Tính chất 1: Một số tự nhiên có chữ số tận cùng là 0;1; 5; 6 khi lũy thừa lên nó cũng có chữ số tận cùng tương ứng là 0 ; 1; 5 ; 6.
Tính chất 2: Các số có chữ số tận cùng là 4 ; 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi.
Tính chất 3: Các số có chữ số tận cùng là 3 ; 7 ; 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n N) thì chữ số tận cùng là 1.
Tính chất 4: Các số có chữ số tận cùng là 2 ; 4 ; 6 ; 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n N) thì chữ số tận cùng là 6.
Tính chất 5: Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1 (n N) thì chữ số tận cùng vẫn không đổi.
Tính chất 6: 
+ Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 (n N) sẽ có chữ số tận cùng là 7; số có tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 (n N) sẽ có chữ số tận cùng là 3. 
+ Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 (n N) sẽ có chữ số tận cùng là 8; số có tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 (n N) sẽ có chữ số tận cùng là 2. 
+ Các số có chữ số tận cùng là 0 ;1 ;4 ;5 ;6 ;9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 (n N) thì chữ số tận cùng không thay đổi.
Tính chất 7: Một số nguyên tố lớn hơn 5 chỉ có thể có tận cùng bởi các chữ số 1; 3 ; 7 ; 9.
Tính chất 8: 10n khi chia cho 6 luôn được số dư là 4 với mọi số nguyên dương n . Tức là :, với mọi n .
Tính chất 9: Cho a, b là các số nguyên.Khi đó, nếu n lẻ thì an + bn chia hết cho tổng a + b.
Tính chất 10: Víi mäi số nguyên a, b (a ¹ b) vµ nÎN, thì an – bn chia hết cho hiệu a – b. . 
 6) Định lí nhỏ Fermat:Với p là số nguyên tố, a là một số nguyên thì: . ..
 + Từ định lí ta có: .
 + Hệ quả: Với p là số nguyên tố, a là một số nguyên sao cho (a, p) = 1 thì: 
 ap - 1 º 1(mod p) .
Phần II: MỘT SỐ DẠNG TOÁN
 I.Dạng 1 :Tìm số dư trong một phép chia.
Phương pháp: Muốn tím số dư trong phép chia số A cho m, ta cần tìm được số r sao cho .
1.Tìm số dư của phép chia an cho m:
 Ví dụ 1: Tìm số dư của phép chia 123430 cho 2014.
Giải:
12343 chia 2014 dư 778, ta viết: (1)
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 
Hay 
Vì 0 < 1388 < 2014 nên r = 1388 là số dư của phép chia 123430 cho 2014. 
Ví dụ 2: Tìm số dư của phép chia 2014200 cho 2016.
Giải:
Từ (1) và (2) suy ra: 
 	 Vậy số dư của phép chia 2014200 cho 2016 là r = 256.
Ví dụ 3: Tìm số dư của phép chia 12342014 cho 2014.
Giải:
Từ (1), (2), (3), (4) suy ra:
Vậy số dư của phép chia 12342014 cho 2014 là r = 894.
2.Tìm số dư của phép chia tổng an + bk cho m:
Phương pháp : Tìm số dư của A + B cho m: 
+ Tìm số dư r1 của phép chia A cho m.
+ Tìm số dư r2 của phép chia B cho m.
+ Tìm số dư r của phép chia r1 + r 2 cho m.
+ r là số dư của phép chia tổng A + B cho m.
Giải thích :
+ Khi A chia cho m dư r1, ta viết: A = mk1 + r1, k1 N.
+ Khi B chia cho m dư r2, ta viết: B = mk2 + r2, k2 N.
+ Khi đó : A + B = m(k1 + k2) + ( r1 + r2).
Vậy số dư của phép chia A + B cho m chính là số dư của phép chia tổng r1 + r2 cho m.
 --------------------------------------------------------------
 Ví dụ 1: Tìm số dư của phép chia 1225 + 2152 cho 2014.
Giải:
Tìm được: 
Suy ra: 
Vậy số dư của phép chia 1225 + 2152 cho 2014 là r = 1613.
 Ví dụ 2: Tìm số dư của phép chia 20132013 + 20142014 cho 2023.
Giải:
Tìm được: 
 	Suy ra: 
 	Vậy số dư của phép chia 20132013 + 20142014 cho 2023 là r = 248.
3.Tìm số dư của phép chia hiệu an - bk (an > bk) cho m:
Phương pháp: Tìm số dư của A - B cho m (A > B): 
+ Tìm số dư r1 của phép chia A cho m.
+ Tìm số dư r2 của phép chia B cho m.
+ Tìm số dư r của phép chia r1 - r 2 cho m:
Nếu r1 > r2 thì số dư cần tìm là r = r1 - r 2.
Nếu r1 < r2 thì số dư cần tìm là r = ( r1 - r 2 ) + m.
Nếu r1 = r2, thì hiệu A – B chia hết cho m.Tức là r = 0.
Giải thích:
 + Khi A chia cho m dư r1, ta viết: A = mk1 + r1, k1 N.
 + Khi B chia cho m dư r2, ta viết: B = mk2 + r2, k2 N.
 + Khi đó: A - B = m(k1 - k2) + (r1 - r2).
Vậy số dư của phép chia A - B cho m cũng chính là số dư của phép chia hiệu r1 - r2 cho m.
---------------------------------------------------
 Ví dụ 1: Tìm số dư của phép chia 1924 - 1512 cho 2004.
Giải:
1924 > 1512
Tìm được: 
Suy ra: 
Vậy số dư của phép chia cho 2004 là r = 988.
 Ví dụ 2: Tìm số dư của phép chia 850 740 cho 9.
Giải:
850 > 740 
Tìm được: 
Suy ra: 
Vậy r = 3. 
Ví dụ 3: Tìm số dư của phép chia 20142014 20132013 cho 2023.
Giải:
20142014 > 20132013
Tìm được: 
 	 . Vậy r = 610.
4.Tìm số dư của phép chia tích an.bk cho m:
Phương pháp: Tìm số dư của A.B cho m: 
+ Tìm số dư r1 của phép chia A cho m.
+ Tìm số dư r2 của phép chia B cho m.
+ Tìm số dư r của phép chia r1.r2 cho m.
+ r là số dư của phép chia tích A.B cho m.
Giải thích :
 + Khi A chia cho m dư r1, ta viết: A = mk1 + r1, k1 N.
 + Khi B chia cho m dư r2, ta viết: B = mk2 + r2, k2 N.
 + Khi đó: A.B = (mk1 + r1).( mk2 + r2)
 = mk + r1.r2, k N.
Vậy số dư của phép chia A.B cho m cũng chính là số dư của phép chia tích 
r1 . r2 cho m.
 --------------------------------------------------------------
 Ví dụ 1: Tìm số dư của phép chia 1520.2318 cho 2011.
Giải:
Tìm được : 
	Suy ra: 
	Vậy r = 883.
 Ví dụ 2: Tìm số dư của phép chia 20132013.20142014 cho 2023.
Giải:
Tìm được: 
Suy ra: 
Vậy r = 1248.
5.Dạng khác:
Ví dụ 1:Tìm số dư của phép chia A =cho 7. 
 Giải:
Vì 7 là số nguyên tố và ( 10,7) = 1 nên:
 (hệ quả của đl Fermat)
.
, với mọi n (tính chất) 
nên 10n = 6k + 4, k 
Khi đó 
Áp dụng với n = 1, 2, 3, ., 10 ta được: 
Suy ra:.
Vậy r = 5.
Ví dụ 2: Tìm số dư của phép chia A = 117 + 217 + 317 + + 201417 cho 17.
 Giải:
Vì 17 là số nguyên tố nên với mọi số nguyên a (định lí Ferma), do đó:
Suy ra: 
Vậy số dư của phép chia A = 117 + 217 + 317 + + 201417 cho 17 là r = 2.
II.Dạng 2:Tìm chữ số hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm..., của một số tự nhiên dưới dạng lũy thừa: 
Nhận xét: 
+ Chữ số tận cùng của một số tự nhiên n, là số dư của phép chia n cho 10.
+ Số tạo bởi hai chữ số tận cùng của một số tự nhiên n, là số dư của phép chia n cho 100.
+ Số tạo bởi ba chữ số tận cùng của một số tự nhiên n , là số dư của phép chia n cho 1000.
...
Dựa vào nhận xét trên ta có thể tìm được chữ số hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm..., của số tự nhiên n.
 Ví dụ 1:Tìm chữ số tận cùng của 45672014 .
Giải:
Ta cần tìm số dư của phép chia 45672014 cho 10.
Cách 1: (đồng dư)
Tìm được:
Vậy chữ số tận cùng của 45672014 là chữ số 9.
Cách 2 : 
Vậy chữ số tận cùng của 45672014 là chữ số 9.
 Ví dụ 2:Tìm chữ số hàng đơn vị của 1242014 .
Giải:
Ta cần tìm số dư của phép chia 1242014 cho 10.
 Cách 1: (đồng dư) 
Tìm được: 
 Vậy chữ số hàng đơn vị của 1242014 là chữ số 6.
Cách 2: 
Vì 15376 có chữ số tận cùng là chữ số 6 nên 153761007 cũng có tận cùng là chữ số 6.
Vậy chữ số hàng đơn vị của 1242014 là chữ số 6.
 Ví dụ 3: Tìm chữ số hàng đơn vị của 125234.67900 .
Giải:
Ta cần tìm số dư của phép chia 125234.67900 cho 10.
Cách 1: (đồng dư ) 
Tìm được: 
 5.1 =5 < 10 
 Vậy chữ số hàng đơn vị của 125234.67900 là chữ số 5.
Cách 2: 
 125 có tận cùng là chữ số 5 nên 125234 cũng có tận cùng là chữ số 5.
, vì 20151121 có chữ số tận cùng là 1 nên . ..(20151121)225 cũng có chữ số tận cùng là 1.
 5.1 =5 < 10 
Vậy chữ số hàng đơn vị của 125234.67900 là chữ số 5.
 Ví dụ 4:Tìm chữ số hàng đơn vị của 1242014 + 45672014 .
Giải:
1242014 có chữ số tận cùng là 6 (xem ví dụ 11)
45672014 có chữ số tận cùng là 9 (xem ví dụ 10)
9 + 6 = 15
Vậy chữ số hàng đợn vị của 1242014 + 45672014 là chữ số 5.
 Ví dụ 5: Tìm chữ số hàng đơn vị của 3322112014 78100 . 
Giải:
 3322112014 > 78100 nên 3322112014 78100 là một số tự nhiên .
 3322112014 có chữ số tận cùng là 1.
 Tính được , nên 78100 có chữ số tận cùng là 6.
 (1 – 6 ) + 10 = 5 
 Vậy chữ số hàng đợn vị của 3322112014 78100 là chữ số 5.
Ví dụ 6: Tìm chữ số tận cùng của B = 20144 + 20148 + 201412 + +20142016.
Giải:
Nhận xét: 
+ Các số có chữ số tận cùng là 4 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n N) thì chữ số tận cùng là 6.
+ Các số 4 ; 8 ; 12 ; .; 2016 đều có dạng 4n .
luôn có chữ số tận cùng là 6, với mọi số nN*. Tức là:
 201412 
20142016 
Tổng trên có ( 2016 – 4):4 + 1 = 504 số hạng, mỗi số hàng đều có tận cùng là 6.
504.6 = 3024 
 Vậy chữ số tận cùng của B là 4.
 Ví dụ 7:Tìm chữ số hàng chục của 1234123 .
Giải:
Ta cần tìm số dư của phép chia 1234123 cho 100.
Tìm được: 
Như vậy 1234123 chia 100 dư 4, do đó chữ số hàng chục là chữ số 0. 
Ví dụ 8:Tìm hai chữ số tận cùng của số 21999 + 22000 + 22001. 
Ta có: 21999 + 22000 + 22001 = 21999.(1+ 2+ 22) = 7.21999. 
Ta cần tìm số dư của phép chia 7.21999 cho 100.
 Cách 1: (Đồng dư) 
Tìm được:
Vậy hai chữ số tận cùng của số 21999 + 22000 + 22001 là 16. 
 Cách 2: 
 Vậy hai chữ số tận cùng của số 21999 + 22000 + 22001 là 16.
Ví dụ 9:Tìm chữ số hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị của 314540.
Giải:
Ta cần tìm số dư của phép chia 314540 cho 1000.
Tìm được: 
Số dư của phép chia 314540 cho 1000 là 776.
Vậy chữ số hàng trăm là 7; chữ số hàng chục là 7; chữ số hàng đơn vị là 6.
III.Dạng 3: Chứng minh tính chia hết.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng: A = 20152015 + 3.20112011 + 20182015 chia hết cho 10.
Giải:
2015 có tận cùng là chữ số 5 nên 20152015 cũng có tận cùng là chữ số 5, tức là:
2011 có tận cùng là chữ số 1 nên 20112011 cũng có tận cùng là chữ số 1, tức là:
2018 có tận cùng là chữ số 8 và 2015 = 4n + 3 (n N), nên 20182015 có tận cùng là chữ số 2 (theo tính chất 6), tức là:
 Từ (1), (2), (3) suy ra: 
20152015 + 3.20112011 + 20182015 
 Vậy A = 20152015 + 3.20112011 + 20182015 chia hết cho 10.
Ví dụ 2:Tổng 1234123 + 2011123 có chia hết cho 5 không? 
Giải:
2011 có chữ số tận cùng là 1 nên 2011123 cũng có chữ số tận cùng là 1.
Tính được: , nên 1234123 có chữ số tận cùng là 4.
 Suy ra: 1234123 + 2011123 có chữ số tận cùng là 5.
 Vậy 1234123 + 2011123 chia hết cho 5.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì số B = 42n + 1 + 3n + 2 luôn chia . hết cho 13.
Giải:
Ta có: 
Từ (1) và (2) suy ra: + 3n .
Vậy + 3n luôn chia hết cho 13 với mọi số tự nhiên n.
Ví dụ 4:Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì số A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19. 
Giải:
Ta có: A = 7.25n + 12.6n 
25 ≡ 6 (mod 19)25n ≡ 6n(mod 19)
7.25n ≡ 7.6n(mod 19) 
7.25n + 12.6n ≡ 7.6n +12.6n (mod 19) 
7.25n + 12.6n ≡ 19.6n(mod 19) ) ≡ 0(mod 19)
Điều này chứng tỏ A chia hết cho 19.
Ví dụ 5: Chứng minh rằng các số A = 61000 - 1 và B = 61001 + 1 đều là bội số của 7.
Giải:
 Vậy A là bội của 7.
 Vậy B là bội của 7.
Ví dụ 6: Chứng minh rằng 22002 - 4 chia hết cho 31.
Giải:
Ta có: 25 ≡ 1 (mod 31) 
 (25)400 ≡ 1400 (mod 31) 
 (25)400.22 ≡ 1.22 (mod 31)
 22002 ≡ 4 (mod 31) 
Suy ra 22002 - 4 chia hết cho 31.
Ví dụ 7: Chứng minh rằng 22225555 + 55552222 chia hết cho 7.
Giải:
Từ (1) và (2) ta được:
 (3)
Ta lại có an + bn chia hết cho a + b nếu n lẻ ( tính chất ) .
Mà 1111 là số lẻ nên (4)
Từ ( 3) và ( 4) suy ra 22225555 + 55552222 chia hết cho 7.
Ví dụ 8: Chứng minh rằng 20135 + 20155 + 20325 chia hết cho 30.
Giải:
 Cách 1: (Áp dụng định Ferma với p là số nguyên tố, a là số nguyên
 • (vì 2 là số nguyên tố ) 
 • (vì 3 là số nguyên tố ) 
 • (vì 5 là số nguyên tố ) 
 (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra:
 (2 ; 3 ; 5 đôi một nguyên tố cùng nhau) 
 (4)
Tương tự :	 (5)
 (6)
Từ đó suy ra: 20135 + 20155 + 20325 
Vậy 20135 + 20155 + 20325 chia hết cho 30.
 Cách 2: Tìm được: 
Vậy 20135 + 20155 + 20325 chia hết cho 30.
Ta có bài toán tổng quát: Với 3 số tự nhiên a, b, c, nếu a + b + c chia hết cho 30 thì a5 + b5 + c5 cũng cia hết cho 30.
Ví dụ 9: Chứng minh rằng 11331 + 21331 + 31331+ + 13311331 chia hết cho 11.
 Giải:
Ta có: , với mọi số nguyên a (định lí Ferma)
Áp dụng kết quả trên ta được: 
Vậy 11331 + 21331 + 31331+ + 13311331 chia hết cho 11.
-----------------------------------------------------------------------------