Giáo án dạy thêm môn Toán Lớp 6 - Chương trình cả năm (Bản hay)

Giáo án dạy thêm môn Toán lớp 6 - Download.com.vn
1
Ngày soạn: .
Ngày dạy: ...
Chủ đề 1:
TẬP HỢP
A) MỤC TIÊU
- Rèn HS kỉ năng viết tập hợp, viết tập hợp con của một tập hợp cho trước, sử dụng đúng,
chính xác các kí hiệu , , , ,    .
- Sự khác nhau giữa tập hợp *,N N
- Biết tìm số phần tử của một tập hợp được viết dưới dạng dãy số cóquy luật.
- Vận dụng kiến thức toán học vào một số bài toán thực tế.
B) NỘI DUNG
I. Ôn tập lý thuyết.
Câu 1: Hãy cho một số VD về tập hợp thường gặp trong đời sống hàng ngày và một số VD
về tập hợp thường gặp trong toán học?
Câu 2: Hãy nêu cách viết, các ký hiệu thường gặp trong tập hợp.
Câu 3: Một tập hợp có thể có bao nhiêu phần tử?
Câu 4: Có gì khác nhau giữa tập hợp N và *N ?
II. Bài tập
Dạng 1: Rèn kĩ năng viết tập hợp, viết tập hợp con, sử dụng kí hiệu
Bài 1: Cho tập hợp A là các chữ cái trong cụm từ “Thành phố Hồ Chí Minh”
a. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp A.
b. Điền kí hiệu thích hợp vào ô vuông
a) A ; c) A ;c) A
Hướng dẫn
a/ A = {a, c, h, I, m, n, ô, p, t}
b/ b A c A h A 
Giáo án dạy thêm môn Toán lớp 6 - Download.com.vn
2
Lưu ý HS: Bài toán trên không phân biệt chữ in hoa và chữ in thường trong cụm từ đã cho.
Bài 2: Cho tập hợp các chữ cái X = {A, C, O}
a/ Tìm chụm chữ tạo thành từ các chữ của tập hợp X.
b/ Viết tập hợp X bằng cách chỉ ra các tính chất đặc trưng cho các phần tử của X.
Hướng dẫn
a/ Chẳng hạn cụm từ “CA CAO” hoặc “CÓ CÁ”
b/ X = {x: x-chữ cái trong cụm chữ “CA CAO”}
Bài 3: Chao các tập hợp
A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} ; B = {1; 3; 5; 7; 9}
a/ Viết tập hợp C các phần tử thuộc A và không thuộc B.
b/ Viết tập hợp D các phần tử thuộc B và không thuộc A.
c/ Viết tập hợp E các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B.
d/ Viết tập hợp F các phần tử hoặc thuộc A hoặc thuộc B.
Hướng dẫn:
a/ C = {2; 4; 6}
b/ D = {5; 9}
c/ E = {1; 3; 5}
d/ F = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
Bài 4: Cho tập hợp A = {1; 2; a; b}
a/ Hãy chỉ rõ các tập hợp con của A có 1 phần tử.
b/ Hãy chỉ rõ các tập hợp con của A có 2 phần tử.
c/ Tập hợp B = {a, b, c} có phải là tập hợp con của A không?
Hướng dẫn
a/ {1} { 2} { a } { b}
b/ {1; 2} {1; a} {1; b} {2; a} {2; b} { a; b}
c/ Tập hợp B không phải là tập hợp con của tập hợp A bởi vì c B nhưng c A 
Bài 5: Cho tập hợp B = {x, y, z} . Hỏi tập hợp B có tất cả bao nhiêu tập hợp con?
Hướng dẫn
- Tập hợp con của B không có phần từ nào là  .
- Tập hợp con của B có 1phần từ là {x} { y} { z }
Giáo án dạy thêm môn Toán lớp 6 - Download.com.vn
3
- Các tập hợp con của B có hai phần tử là {x, y} { x, z} { y, z }
- Tập hợp con của B có 3 phần tử chính là B = {x, y, z}
Vậy tập hợp A có tất cả 8 tập hợp con.
Ghi chú. Một tập hợp A bất kỳ luôn có hai tập hợp con đặc biệt. Đó là tập hợp rỗng  và
chính tập hợp A. Ta quy ước  là tập hợp con của mỗi tập hợp.
Bài 6: Cho A = {1; 3; a; b} ; B = {3; b}
Điền các kí hiệu , ,  thích hợp vào ô vuông
1 ý A ; 3 ý A ; 3 ý B ; B ý A
Bài 7: Cho các tập hợp
 / 9 99A x N x ; * / 100B x N x 
Hãy điền dấu  hay vào các ô dưới đây
N ý N* ; A ý B
Dạng 2: Các bài tập về xác định số phần tử của một tập hợp
Bài 1: Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số. Hỏi tập hợp A có bao nhiêu phần tử?
Hướng dẫn:
Tập hợp A có (999 – 100) + 1 = 900 phần tử.
Bài 2: Hãy tính số phần tử của các tập hợp sau:
a/ Tập hợp A các số tự nhiên lẻ có 3 chữ số.
b/ Tập hợp B các số 2, 5, 8, 11, , 296.
c/ Tập hợp C các số 7, 11, 15, 19, , 283.
Hướng dẫn
a/ Tập hợp A có (999 – 101):2 +1 = 450 phần tử.
b/ Tập hợp B có (296 – 2 ): 3 + 1 = 99 phần tử.
c/ Tập hợp C có (283 – 7 ):4 + 1 = 70 phần tử.
Cho HS phát biểu tổng quát:
- Tập hợp các số chẵn từ số chẵn a đến số chẵn b có (b – a) : 2 + 1 phần tử.
- Tập hợp các số lẻ từ số lẻ m đến số lẻ n có (n – m) : 2 + 1 phần tử.
- Tập hợp các số từ số c đến số d là dãy số các đều, khoảng cách giữa hai số liên tiếp của dãy
là 3 có (d – c ): 3 + 1 phần tử.
Giáo án dạy thêm môn Toán lớp 6 - Download.com.vn
4
Bài 3: Cha mua cho em một quyển số tay dày 256 trang. Để tiện theo dõi em đánh số trang
từ 1 đến 256. HỎi em đã phải viết bao nhiêu chữ số để đánh hết cuốn sổ tay?
Hướng dẫn:
- Từ trang 1 đến trang 9, viết 9 số.
- Từ trang 10 đến trang 99 có 90 trang, viết 90 . 2 = 180 chữ số.
- Từ trang 100 đến trang 256 có (256 – 100) + 1 = 157 trang, cần viết 157 . 3 = 471 số.
Vậy em cần viết 9 + 180 + 471 = 660 số.
Bài 4: Các số tự nhiên từ 1000 đến 10000 có bao nhiêu số có đúng 3 chữ số giống nhau.
Hướng dẫn:
- Số 10000 là số duy nhất có 5 chữ số, số này có hơn 3 chữ số giống nhau nên không thoả
mãn yêu cầu của bài toán.
Vậy số cần tìm chỉ có thể có dạng: abbb , babb , bbab , bbba với a b là cá chữ số.
- Xét số dạng abbb , chữ số a có 9 cách chọn ( a 0) có 9 cách chọn để b khác a.
Vậy có 9 . 8 = 71 số có dạng abbb .
Lập luận tương tự ta thấy các dạng còn lại đều có 81 số. Suy ta tất cả các số từ 1000 đến
10000 có đúng 3 chữ số giống nhau gồm 81.4 = 324 số.
Giáo án dạy thêm môn Toán lớp 6 - Download.com.vn
5
Ngày soạn: .
Ngày dạy: ...
Chủ đề 2:
PHÉP CỘNG VÀ PHÉP NHÂN – PHÉP TRỪ VÀ PHÉP CHIA
A> MỤC TIÊU
- Ôn tập lại các tính chất của phép cộng và phép nhân, phép trừ và phép chia.
- Rèn luyện kỹ năng vận dụng các tính chất trên vào các bài tập tính nhẩm, tính nhanh và
giải toán một cách hợp lý.
- Vận dụng việc tìm số phần tử của một tập hợp đã được học trước vào một số bài toán.
- Hướng dẫn HS cách sử dụng máy tính bỏ túi.
- Giới thiệu HS về ma phương.
B> NỘI DUNG
I. Ôn tập lý thuyết.
Câu 1: Phép cộng và phép nhân có những tính chất cơ bản nào?
Câu 2: Phép trừ và phép chia có những tính chất cơ bản nào?
II. Bài tập
Dạng 1: Các bài toán tính nhanh
Bài 1: Tính tổng sau đây một cách hợp lý nhất.
a/ 67 + 135 + 33
b/ 277 + 113 + 323 + 87
ĐS: a/ 235 b/ 800
Bài 2: Tính nhanh các phép tính sau:
a/ 8 x 17 x 125
b/ 4 x 37 x 25
ĐS: a/ 17000 b/ 3700
Bài 3: Tính nhanh một cách hợp lí:
a/ 997 + 86
b/ 37. 38 + 62. 37
Giáo án dạy thêm môn Toán lớp 6 - Download.com.vn
6
c/ 43. 11; 67. 101; 423. 1001
d/ 67. 99; 998. 34
Hướng dẫn
a/ 997 + (3 + 83) = (997 + 3) + 83 = 1000 + 80 = 1083
Sử dụng tính chất kết hợp của phép cộng.
Nhận xét: 997 + 86 = (997 + 3) + (86 -3) = 1000 + 83 = 1083. Ta có thể thêm vào số hạng
này đồng thời bớt đi số hạng kia với cùng một số.
b/ 37. 38 + 62. 37 = 37.(38 + 62) = 37.100 = 3700.
Sử dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.
c/ 43. 11 = 43.(10 + 1) = 43.10 + 43. 1 = 430 + 43 = 4373.
67. 101= 6767
423. 1001 = 423 423
d/ 67. 99 = 67.(100 – 1) = 67.100 – 67 = 6700 – 67 = 6633
998. 34 = 34. (100 – 2) = 34.100 – 34.2 = 3400 – 68 = 33 932
Bái 4: Tính nhanh các phép tính:
a/ 37581 – 9999
b/ 7345 – 1998
c/ 485321 – 99999
d/ 7593 – 1997
Hướng dẫn:
a/ 37581 – 9999 = (37581 + 1 ) – (9999 + 1) = 37582 – 10000 = 89999 (cộng cùng một số
vào số bị trừ và số trừ
b/ 7345 – 1998 = (7345 + 2) – (1998 + 2) = 7347 – 2000 = 5347
c/ ĐS: 385322
d/ ĐS: 5596
Dạng 2: Các bài toán có liên quan đến dãy số, tập hợp
Bài 1: Tính 1 + 2 + 3 + + 1998 + 1999
Hướng dẫn
- Áp dụng theo cách tích tổng của Gauss
- Nhận xét: Tổng trên có 1999 số hạng
Giáo án dạy thêm môn Toán lớp 6 - Download.com.vn
7
Do đó
S = 1 + 2 + 3 + + 1998 + 1999 = (1 + 1999). 1999: 2 = 2000.1999: 2 = 1999000
Bài 2: Tính tổng của:
a/ Tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số.
b/ Tất cả các số lẻ có 3 chữ số.
Hướng dẫn:
a/ S1 = 100 + 101 + + 998 + 999
Tổng trên có (999 – 100) + 1 = 900 số hạng. Do đó
S1= (100+999).900: 2 = 494550
b/ S2 = 101+ 103+ + 997+ 999
Tổng trên có (999 – 101): 2 + 1 = 450 số hạng. Do đó
S2 = (101 + 999). 450 : 2 = 247500
Bài 3: Tính tổng
a/ Tất cả các số: 2, 5, 8, 11, , 296
b/ Tất cả các số: 7, 11, 15, 19, , 283
ĐS: a/ 14751
b/ 10150
Các giải tương tự như trên. Cần xác định số các số hạng trong dãy sô trên, đó là những dãy
số cách đều.
Bài 4: Cho dãy số:
a/ 1, 4, 7, 10, 13, 19.
b/ 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29.
c/ 1, 5, 9, 13, 17, 21, 
Hãy tìm công thức biểu diễn các dãy số trên.
ĐS:
a/ ak = 3k + 1 với k = 0, 1, 2, , 6
b/ bk = 3k + 2 với k = 0, 1, 2, , 9
c/ ck = 4k + 1 với k = 0, 1, 2, hoặc ck = 4k + 1 với k N
Ghi chú: Các số tự nhiên lẻ là những số không chia hết cho 2, công thức biểu diễn là 2 1k ,
k N
Giáo án dạy thêm môn Toán lớp 6 - Download.com.vn
8
Các số tự nhiên chẵn là những số chia hết cho 2, công thức biểu diễn là 2k , k N
Dạng 3: Ma phương
Cho bảng số sau:
Các số đặt trong hình vuông có tính chất rất đặc biệt. đó là tổng các số theo hàng, cột hay
đường chéo đều bằng nhau. Một bảng ba dòng ba cột có tính chất như vậy gọi là ma phương
cấp 3 (hình vuông kỳ diệu)
Bài 1: Điền vào các ô còn lại để được một ma phương cấp 3 có tổng các số theo hàng, theo
cột bằng 42.
Hướng dẫn:
Bài 2: Điền các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 vào bảng có 3 dòng 3 cột để được một ma phương
cấp 3?
Hướng dẫn: Ta vẽ hình 3 x 3 = 9 và đặt thêm 4o ô phụ vào giữa các cạnh hình vuông và ghi
lại lần lượt các số vào các ô như hình bên trái. Sau đó chuyển mỗi số ở ô phụ vào hình
vuông qua tâm hình vuông như hình bên phải.
8 9 24
36 12 4
9 19 5
7 11 15
17 3 10
15 10
12
15 10 17
16 14 12
11 18 13
1
4 2
7 5 3
8 6
9
4 9 2
3 5 7
8 1 6
Giáo án dạy thêm môn Toán lớp 6 - Download.com.vn
9
Bài 3: Cho bảng sau
Ta có một ma phương cấp 3 đối với phép nhân. Hãy điền tiếp vào các ô trống còn lại để có
ma phương?
ĐS: a = 16, b = 20, c = 4, d = 8, e = 25
6 16 18
10 a 50
100 b c
d e 40
Giáo án dạy thêm môn Toán lớp 6 - Download.com.vn
10
Ngày soạn: .
Ngày dạy: ...
Chủ đề 3:
LUỸ THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN
A> MỤC TIÊU
- Ôn lại các kiến thức cơ bản về luỹ thừa với số mũ tự nhiên như: Lũy thừa bậc n của số a,
nhân, chia hai luỹ thừa cùng có số, 
- Rèn luyện tính chính xác khi vận dụng các quy tắc nhân, chia hai luỹ thừa cùng cơ số
- Tính bình phương, lập phương của một số. Giới thiệu về ghi số cho máy tính (hệ nhị phân).
- Biết thứ tự thực hiện các phép tính, ước lượng kết quả phép tính.
B> NỘI DUNG
I. Ôn tập lý thuyết.
1. Lũy thừa bậc n của số a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a
 . ...na a a a ( n 0). a gọi là cơ số, no gọi là số mũ.
2. Nhân hai luỹ thừa cùng cơ số .m n m na a a 
3. Chia hai luỹ thừa cùng cơ số :m n m na a a ( a 0, m n)
Quy ước a0 = 1 ( a 0)
4. Luỹ thừa của luỹ thừa nm m na a  
5. Luỹ thừa một tích . .m m ma b a b 
6. Một số luỹ thừa của 10:
- Một nghìn: 1 000 = 103
- Một vạn: 10 000 = 104
- Một triệu: 1 000 000 = 106
- Một tỉ: 1 000 000 000 = 109
Tổng quát: nếu n là số tự nhiên khác 0 thì: 10n = 100...00
II. Bài tập
n thừa số a
n thừa số 0
Giáo án dạy thêm môn Toán lớp 6 - Download.com.vn
11
Dạng 1: Các bài toán về luỹ thừa
Bài 1: Viết các tích sau đây dưới dạng một luỹ thừa của một số:
a/ A = 82.324
b/ B = 273.94.243
ĐS: a/ A = 82.324 = 26.220 = 226. hoặc A = 413
b/ B = 273.94.243 = 322
Bài 2: Tìm các số mũ n sao cho luỹ thừa 3n thảo mãn điều kiện: 25 < 3n < 250
Hướng dẫn
Ta có: 32 = 9, 33 = 27 > 25, 34 = 41, 35 = 243 250
Vậy với số mũ n = 3,4,5 ta có 25 < 3n < 250
Bài 3: So sách các cặp số sau:
a/ A = 275 và B = 2433
b/ A = 2 300 và B = 3200
Hướng dẫn
a/ Ta có A = 275 = (33)5 = 315 và B = (35)3 = 315
Vậy A = B
b/ A = 2 300 = 33.100 = 8100 và B = 3200 = 32.100 = 9100
Vì 8 < 9 nên 8100 < 9100 và A < B.
Ghi chú: Trong hai luỹ thừa có cùng cơ số, luỹ thừa nào có cơ số lớn hơn thì lớn hơn.
Dạng 2: Bình phương, lập phương
Bài 1: Cho a là một số tự nhiên thì:
a2 gọi là bình phương của a hay a bình phương
a3 gọi là lập phương của a hay a lập phương
a/ Tìm bình phương của các số: 11, 101, 1001, 10001, 10001, 1000001, , 100...01
b/ Tìm lập phương của các số: 11, 101, 1001, 10001, 10001, 1000001, , 100...01
Hướng dẫn
Tổng quát 100...01 2 = 100 0200 01
100...01 3 = 100 0300 0300 01
k số 0
k số 0
k số 0 k số 0 k số 0
k số 0 k số 0 k số 0 k số 0
Giáo án dạy thêm môn Toán lớp 6 - Download.com.vn
12
- Cho HS dùng máy tính để kiểm tra lại.
Bài 2: Tính và so sánh
a/ A = (3 + 5)2 và B = 32 + 52
b/ C = (3 + 5)3 và D = 33 + 53
ĐS: a/ A > B ; b/ C > D
Lưu ý HS tránh sai lằm khi viết (a + b)2 = a2 + b2 hoặc (a + b)3 = a3 + b3
Dạng 3: Ghi số cho máy tính - hệ nhị phân
- Nhắc lại về hệ ghi số thập phân
VD: 1998 = 1.103 + 9.102 +9.10 + 8
4 3 2.10 .10 .10 .10abcde a b c d e trong đó a, b, c, d, e là một trong các số 0, 1, 2, , 9
vớ a khác 0.
- Để ghi các sô dùng cho máy điện toán người ta dùng hệ ghi số nhị phân. Trong hệ nhị phân
số (2)abcde có giá trị như sau: 4 3 2(2) .2 .2 .2 .2abcde a b c d e 
Bài 1: Các số được ghi theo hệ nhị phân dưới đây bằng số nào trong hệ thập phân?
a/ (2)1011101A b/ (2)101000101B 
ĐS: A = 93 B = 325
Bài 2: Viết các số trong hệ thập phân dưới đây dưới dạng số ghi trong hệ nhị phân:
a/ 20 b/ 50 c/ 1335
ĐS: 20 = (2)10100 50 = (2)110010 1355 = (2)10100110111
GV hướng dẫn cho HS 2 cách ghi: theo lý thuyết và theo thực hành.
Bài 3: Tìm tổng các số ghi theo hệ nhị phân:
a/ 11111(2) + 1111(2)
b/ 10111(2) + 10011(2)
Hướng dẫn
a/ Ta dùng bảng cộng cho các số theo hệ nhị phân
+ 0 1
0 0 1
1 1 10
Giáo án dạy thêm môn Toán lớp 6 - Download.com.vn
13
Đặt phép tính như làm tính cộng các số theo hệ thập phân
b/ Làm tương tự như câu a ta có kết quả 101010(2)
Dạng 4: Thứ tự thực hiện các phép tính - ước lượng các phép tính
- Yêu cầu HS nhắc lại thứ tự thực hiện các phép tính đã học.
- Để ước lượng các phép tính, người ta thường ước lượng các thành phần của phép tính
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức:
A = 2002.20012001 – 2001.20022002
Hướng dẫn
A = 2002.(20010000 + 2001) – 2001.(20020000 + 2002)
= 2002.(2001.104 + 2001) – 2001.(2002.104 + 2001)
= 2002.2001.104 + 2002.2001 – 2001.2002.104 – 2001.2002
= 0
Bài 2: Thực hiện phép tính
a/ A = (456.11 + 912).37 : 13: 74
b/ B = [(315 + 372).3 + (372 + 315).7] : (26.13 + 74.14)
ĐS: A = 228 B = 5
Bài 3: Tính giá trị của biểu thức
a/ 12:{390: [500 – (125 + 35.7)]}
b/ 12000 –(1500.2 + 1800.3 + 1800.2:3)
ĐS: a/ 4 b/ 2400
Dạng 5: Tìm x
Tìm x, biết:
a/ 541 + (218 – x) = 735 (ĐS: x = 24)
b/ 96 – 3(x + 1) = 42 (ĐS: x = 17)
c/ ( x – 47) – 115 = 0 (ĐS: x = 162)
d/ (x – 36):18 = 12 (ĐS: x = 252)
e/ 2x = 16 (ĐS: x = 4)
1 1 1 1 1(2)
+ 1 1 1 1(2)
1 0 1 1 1 0(2)
Giáo án dạy thêm môn Toán lớp 6 - Download.com.vn
14
f) x50 = x (ĐS: x 0;1 )
Giáo án dạy thêm môn Toán lớp 6 - Download.com.vn
15
Ngày soạn: .
Ngày dạy: ...
Chủ đề 4:
DẤU HIỆU CHIA HẾT
A> MỤC TIÊU
- HS được củng cố khắc sâu các kiến thức về dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5 và 9.
- Vận dụng thành thạo các dấu hiệu chia hết để nhanh chóng nhận ra một số, một tổng hay
một hiệu có chia hết cho 2, 3, 5, 9.
B> NỘI DUNG
I. Ôn tập lý thuyết.
Câu 1: Nêu dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5.
Câu 2: Nêu dấu hiệu chia hết cho 3, cho 9.
Câu 3: Những số như thế nào thì chia hết cho 2 và 3? Cho VD 2 số như vậy.
Câu 4: Những số như thế nào thì chia hết cho 2, 3 và 5? Cho VD 2 số như vậy.
Câu 5: Những số như thế nào thì chia hết cho cả 2, 3, 5 và 9? Cho VD?
II. Bài tập
Dạng 1:
Bài 1: Cho số 200A , thay dấu * bởi chữ số nào để:
a/ A chia hết cho 2
b/ A chia hết cho 5
c/ A chia hết cho 2 và cho 5
Hướng dẫn
a/ A  2 thì * { 0, 2, 4, 6, 8}
b/ A  5 thì * { 0, 5}
c/ A  2 và A  5 thì * { 0}
Bài 2: Cho số 20 5B , thay dấu * bởi chữ số nào để:
a/ B chia hết cho 2
b/ B chia hết cho 5
Giáo án dạy thêm môn Toán lớp 6 - Download.com.vn
16
c/ B chia hết cho 2 và cho 5
Hướng dẫn
a/ Vì chữ số tận cùng của B là 5 khác 0, 2, 4, 6, 8 nên không có giá trị nào của * để B2
b/ Vì chữ số tận cùng của B là 5 nên B5 khi * {0, 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9}
c/ Không có giá trị nào của * để B2 và B5
Bài 3: Thay mỗi chữ bằng một số để:
a/ 972 + 200a chia hết cho 9.
b/ 3036 + 52 2a a chia hết cho 3
Hướng dẫn
a/ Do 972  9 nên (972 + 200a ) 9 khi 200a  9. Ta có 2+0+0+a = 2+a, (2+a)9 khi a = 7.
b/ Do 3036  3 nên 3036 + 52 2a a  3 khi 52 2a a  3. Ta có 5+2+a+2+a = 9+2a, (9+2a)3 khi
2a3 a = 3; 6; 9
Bài 4: Điền vào dẫu * một chữ số để được một số chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9
a/ 2002*
b/ *9984
Hướng dẫn
a/ Theo đề bài ta có (2+0+0+2+*) 3 nhưng (2+0+0+2+*) = (4+*) không chia hết 9
suy ra 4 + * = 6 hoặc 4 + * = 12 nên * = 2 hoặc * = 8.
Rõ ràng 20022, 20028 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9.
b/ Tương tự * = 3 hoặc * = 9.
Bài 5: Tìm số dư khi chia mỗi số sau cho 9, cho 3
8260, 1725, 7364, 1015
Hướng dẫn
Ta có
.1000 .100 .10
999 99 9
(999 99 9 ) ( )
abcd a b c d
a a b b c c d
a b c a b c d
(999 99 9 ) 9a b c  nên 9abcd  khi ( ) 9a b c d 
Do đó 8260 có 8 + 2 + 6 + 0 = 16, 16 chia 9 dư 7. Vậy 8260 chia 9 dư 7.
Tương tự ta có:
Giáo án dạy thêm môn Toán lớp 6 - Download.com.vn
17
1725 chia cho 9 dư 6
7364 chia cho 9 dư 2
105 chia cho 9 dư 1
Ta cũng được
8260 chia cho 3 dư 1
1725 chia cho 3 dư 0
7364 chia cho 3 dư 2
105 chia cho 3 dư 1
Bài 6: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất đồng thời chia hết cho 2, 3, 5, 9, 11, 25
116. Chứng tỏ rằng:
a/ 109 + 2 chia hết cho 3.
b/ 1010 – 1 chia hết cho 9
Hướng dẫn
a/ 109 + 2 = 1 000 000 000 + 2 = 1 000 000 002  3 vì có tổng các chữ số chia hết cho 3.
Dạng 2:
Bài 1: Viết tập hợp các số x chia hết cho 2, thoả mãn:
a/ 52 < x < 60
b/ 105 x < 115
c/ 256 < x 264
d/ 312 x 320
Hướng dẫn
a/ 54,55,58x 
b/ 106,108,110,112,114x 
c/ 258,260,262,264x 
d/ 312,314,316,318,320x 
Bài 2: Viết tập hợp các số x chia hết cho 5, thoả mãn:
a/ 124 < x < 145
b/ 225 x < 245
c/ 450 < x 480
Giáo án dạy thêm môn Toán lớp 6 - Download.com.vn
18
d/ 510 x 545
Hướng dẫn
a/ 125,130,135,140x 
b/ 225,230,235,240x 
c/ 455,460,465,470,475,480x 
d/ 510,515,520,525,530,535,540,545x 
Bài 3: a/ Viết tập hợp các số x chia hết cho 3 thoả mãn: 250 x 260
b/ Viết tập hợp các số x chia hết cho 9 thoả mãn: 185 x 225
Hướng dẫn
a/ Ta có tập hợp các số: 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260
Trong các số này tập hợp các số chia hết cho 3 là {252, 255, 258}
b/ Số đầu tiên (nhỏ nhất) lớn hơn 185 chia hết cho 9 là 189; 189 +9 = 198 ta viết tiếp số thứ
hai và tiếp tục đến 225 thì dừng lại có x {189, 198, 207, 216, 225}
Bài 4: Tìm các số tự nhiên x sao cho:
a/ (5)x B và 20 30x 
b/ 13x và 13 78x 
c/ x Ư(12) và 3 12x 
d/ 35 x và 35x 
Hướng dẫn
a/ B(5) = {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, }
Theo đề bài (5)x B và 20 30x nên 20,25,30x 
b/ 13x thì (13)x B mà 13 78x nên 26,39,52,65,78x 
c/ Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}, x Ư(12) và 3 12x nên 3,4,6,12x 
d/ 35 x nên x Ư(35) = {1; 5; 7; 35} và 35x nên 1;5;7x 
Dạng 3:
Bài 1: Một năm được viết là A abcc . Tìm A chia hết cho 5 và a, b, c 1,5,9
Hướng dẫn
Giáo án dạy thêm môn Toán lớp 6 - Download.com.vn
19
A  5 nên chữ số tận cùng của A phải là 0 hoặc 5, nhưng 0 1,5,9 , nên c = 5
Bài 2: a/ CMR Nếu tổng hai số tự nhiên không chia hết cho 2 thì tích của chúng chia hết
cho 2.
b/ Nếu a; b N thì ab(a + b) có chia hết cho 2 không?
Hướng dẫn
a/ (a + b) không chia hết cho 2; a, b N. Do đó trong hai số a và b phải có một số lẻ. (Nết a,
b đều lẻ thì a + b là số chẵn chia hết cho 2. Nết a, b đề là số chẵn thì hiển nhiên a+b2). Từ
đó suy ra a.b chia hết cho 2.
b/ - Nếu a và b cùng chẵn thì ab(a+b)2
- Nếu a chẵn, b lẻ (hoặc a lẻ, b chẵn) thì ab(a+b)2
- Nếu a và b cùng lẻ thì (a+b)chẵn nên (a+b)2, suy ra ab(a+b)2
Vậy nếu a, b N thì ab(a+b)2
Bài 3: Chứng tỏ rằng:
a/ 6100 – 1 chia hết cho 5.
b/ 2120 – 1110 chia hết cho 2 và 5
Hướng dẫn
a/ 6100 có chữ số hàng đơn vị là 6 (VD 61 = 6, 62 = 36, 63 = 216, 64= 1296, )
suy ra 6100 – 1 có chữu số hàng đơn vị là 5. Vậy 6100 – 1 chia hết cho 5.
b/ Vì 1n = 1 ( n N ) nên 2120 và 1110 là các số tự nhiên có chữ số hàng đơn vị là 1, suy ra
2120 – 1110 là số tự nhiên có chữ số hàng đơn vị là 0. Vậy 2120 – 1110 chia hết cho 2 và 5
Bài 4: a/ Chứng minh rằng số aaa chia hết cho 3.
b/ Tìm những giá trị của a để số aaa chia hết cho 9
Hướng dẫn
a/ aaa có a + a + a = 3a chia hết cho 3. Vậy aaa chia hết cho 3.
b/ aaa chia hết cho 9 khi 3a (a = 1,2,3, ,9) chia hết cho 9 khi a = 3 hoặc a = 9.
Giáo án dạy thêm môn Toán lớp 6 - Download.com.vn
20
Ngày soạn: .
Ngày dạy: ...
Chủ đề 5:
ƯỚC VÀ BỘI
SỐ NGUYÊN TỐ - HỢP SỐ
A> MỤC TIÊU
- HS biết kiểm tra một số có hay không là ước hoặc bội của một số cho trước, biết cách tìm
ước và bội của một số cho trước .
- Biết nhận ra một số là số nguyên tố hay hợp số.
- Biết vận dụng hợp lý các kiến thức về chia hết đã học để nhận biết hợp số.
B> NỘI DUNG
I. Ôn tập lý thuyết.
Câu 1: Thế nào là ước, là bội của một số?
Câu 2: Nêu cách tìm ước và bội của một số?
Câu 3: Định nghĩa số nguyên tố, hợp số?
Câu 4: Hãy kể 20 số nguyên tố đầu tiên?
II. Bài tập
Dạng 1:
Bài 1: Tìm các ước của 4, 6, 9, 13, 1
Bài 2: Tìm các bội của 1, 7, 9, 13
Bài 3: Chứng tỏ rằng:
a/ Giá trị của biểu thức A = 5 + 52 + 53 + + 58 là bội của 30.
b/ Giá trị của biểu thức B = 3 + 33 + 35 + 37 + + 329 là bội của 273
Hướng dẫn
a/ A = 5 + 52 + 53 + + 58 = (5 + 52) + (53 + 54) + (55 + 56) + (57 + 58)
= (5 + 52) + 52.(5 + 52) + 54(5 + 52) + 56(5 + 52)
= 30 + 30.52 + 30.54 + 30.56 = 30 (1+ 52 + 54 + 56)  3
b/ Biến đổi ta được B = 273.(1 + 36 + + 324 ) 273
Giáo án dạy thêm môn Toán lớp 6 - Download.com.vn
21
Bài 4: Biết số tự nhiên aaa chỉ có 3 ước khác 1. tìm số đó.
Hướng dẫn
aaa = 111.a = 3.37.a chỉ có 3 ước số khác 1 là 3; 37; 3.37 khia a = 1.
Vậy số phải tìm là 111
(Nết a 2 thì 3.37.a có nhiều hơn 3 ước số khác 1).
Dạng 2:
Bài 1: Tổng (hiệu) sau là số nguyên tố hay hợp số:
a/ 3150 + 2125
b/ 5163 + 2532
c/ 19. 21. 23 + 21. 25 .27
d/ 15. 19. 37 – 225
Hướng dẫn
a/ Tổng lớn hơn 5 và chia hết cho 5, nên tổng là hợp số.
b/ Hiệu lớn hơn 3 và chia hết cho 3, nên hiệu là hợp số.
c/ Tổng lớn hơn 21 và chia hết cho 21 nên tổng là hợp số.
d/ Hiệu lớn hơn 15 và chia hết cho 15 nên hiệu là hợp số.
Bài 2: Chứng tỏ rằng các số sau đây là hợp số:
a/ 297; 39743; 987624
b/ 111 1 có 2001 chữ số 1 hoặc 2007 chữ số 1
c/ 8765 397 639 763
Hướng dẫn
a/ Các số trên đều chia hết cho 11
Dùng dấu hiệu chia hết cho 11 đê nhận biết: Nếu một số tự nhiên có tổng các chữ số đứng ở
vị trí hàng chẵn bằng tổng các chữ số ở hàng lẻ ( số thứ tự được tính từ trái qua phải, số đầu
tiên là số lẻ) thì số đó chia hết cho 11. Chẳng hạn 561, 2574, 
b/ Nếu số đó có 2001 chữ số 1 thì tổng các chữ số của nó bằng 2001 chia hết cho 3. Vậy số
đó chia hết cho 3. Tương tự nếu số đó có 2007 chữ số 1 thì số đó cũng chia hết cho 9.
c/ 8765 397 639 763 = 87654.100001 là hợp số.
Bài 3: Chứng minh rằng các tổng sau đây là hợp số
Giáo án dạy thêm môn Toán lớp 6 - Download.com.vn
22
a/ 7abcabc 
b/ 22abcabc 
c/ 39abcabc 
Hướng dẫn
a/ 7abcabc = a.105 + b.104 + c.103 + a. 102 + b.10 + c + 7
= 100100a + 10010b + 1001c + 7
= 1001(100a + 101b + c) + 7
Vì 1001 7 1001(100a + 101b + c)  7 và 7 7
Do đó 7abcabc  7, vậy 7abcabc là hợp số
b/ 22abcabc = 1001(100a + 101b + c) + 22
1001 11 1001(100a + 101b + c)  11 và 22 11
Suy ra 22abcabc = 1001(100a + 101b + c) + 22 chia hết cho 11 và 22abcabc >11 nên
22abcabc là hợp số
c/ Tương tự 39abcabc chia hết cho 13 và 39abcabc >13 nên 39abcabc là hợp số
Bài 4: a/ Tìm số tự nhiên k để số 23.k là số nguyên tố
b/ Tại sao 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất?
Hướng dẫn
a/ Với k = 0 thì 23.k = 0 không là số nguyên tố
với k = 1 thì 23.k = 23 là số nguyên tố.
Với k>1 thì 23.k  23 và 23.k > 23 nên 23.k là hợp số.
b/ 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất, vì nếu có một số chẵn lớn hơn 2 thì số đó chia hết cho 2,
nên ước số của nó ngoài 1 và chính nó còn có ước là 2 nên số này là hợp số.
Bài 5: Tìm một số nguyên tố, biết rằng số liền sau của nó cũng là một số nguyên tố
Hướng dẫn
Ta biết hai số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có một số chẵn và một số lẻ, muốn cả hai là số
nguyên tố thì phải có một số nguyên tố chẵn là số 2. Vậy số nguyên tố phải tìm là 2.
Dạng 3: Dấu hiệu để nhận biết một số nguyên tố
Ta có thể dùng dấu hiệu sau để nhận biết một số nào đó có là số nguyên tố hay không:
“ Số tự nhiên a không chia hết cho mọi số nguyên tố p mà p2 < a thì a là số nguyên tố.
Giáo án dạy thêm môn Toán lớp 6 - Download.com.vn
23
VD1: Ta đã biết 29 là số nguyên tố.
Ta ó thể nhận biết theo dấu hiệu trên như sau:
- Tìm các số nguyên tố p mà p2 < 29: đó là các số nguyên tố 2, 3, 5 (72 = 49 19 nên ta dừng
lại ở số nguyên tố 5).
- Thử các phép chia 29 cho các số nguyên tố trên. Rõ ràng 29 không chia hết cho số nguyên
tố nào trong các số 2, 3, 5. Vậy 29 là số nguyên tố.
VD2: Hãy xét xem các số tự nhiên từ 1991 đến 2005 số nào là số nguyên tố?
Hướng dẫn
- Trước hết ta loại bỏ các số chẵn: 1992, 1994, 1996, , 2004
- Loại bỏ tiếp các số chia hết cho 3: 1995, 2001
- Ta còn phải xét các số 1991, 1993, 1997, 1999, 2003 ố nguyên tố p mà p2 < 2005 là 11, 13,
17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43.
- Số 1991 chia hết cho 11 nên ta loại.
- Các số còn lại 1993, 1997, 1999, 2003 đều không chia hết cho các số nguyên tố tên.
Vậy từ 1991 đến 2005 chỉ có 4 số nguyên tố là 1993, 1997, 1999, 2003
Giáo án dạy thêm môn Toán lớp 6 - Download.com.vn
24
Ngày soạn: .
Ngày dạy: ...
Chủ đề 6:
PHÂN TÍCH MỘT SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ
A> MỤC TIÊU
- HS biết phân tích một số ra thừa số nguyên tố.
- Dựa vào việc phân tích ra thừa số nguyên tố, HS tìm được tập hợp của các ước của số cho
trước
- Giới thiệu cho HS biết số hoàn chỉnh.
- Thông qua phân tích ra thừa số nguyên tổ để nhận biết một số có bao nhiêu ước, ứng dụng
để giải một vài bài toán thực tế đơn giản.
B> NỘI DUNG
I. Ôn tập lý thuyết.
Câu 1: Thế nào là phân tích một số ra thừa số nguyên tố?
Câu 2: Hãy phân tích số 250 ra thừa số nguyên tố bằng 2 cách.
II. Bài tập
Bài 1: Phân tích các số 120, 900, 100000 ra thừa số nguyên tố
ĐS: 120 = 23. 3. 5
900 = 22. 32. 52
100000 = 105 = 22.55
Bài 2. Một số tự nhiên gọi là số hoàn chỉnh nếu tổng tất cả các ước của nó gấp hai lần số đó.
Hãy nêu ra một vài số hoàn chỉnh.
VD 6 là số hoàn chỉnh vì Ư(6) = {1; 2; 3; 6} và 1 + 2 + 3 + 6 = 12
Tương tự 48, 496 là số hoàn chỉnh.
Bài 3: Học sinh lớp 6A được nhận phần thưởng của nhà trường và mỗi em được nhận phần
thưởng như nhau. Cô hiệu trưởng đã chia hết 129 quyển vở và 215 bút chì màu. Hỏi số học
sinh lớp 6A là bao nhiêu?
Hướng dẫn
Giáo án dạy thêm môn Toán lớp 6 - Download.com.vn
25
Nếu gọi x là số HS của lớp 6A thì ta có:
129x và 215x
Hay nói cách khác x là ước của 129 và ước của 215
Ta có 129 = 3. 43; 215 = 5. 43
Ư(129) = {1; 3; 43; 129}
Ư(215) = {1; 5; 43; 215}
Vậy x {1; 43}. Nhưng x không thể bằng 1. Vậy x = 43.
MỘT SỐ CÓ BAO NHIÊU ƯỚC?
VD: - Ta có Ư(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}. Số 20 có tất cả 6 ước.
- Phân tích số 20 ra thừa số nguyên tố, ta được 20 = 22. 5
So sánh tích của (2 + 1). (1 + 1) với 6. Từ đó rút ra nhận xét gì?
Bài 1: a/ Số tự nhiên khi phân tích ra thừa số nguyên tố có dạng 22 . 33. Hỏi số đó có bao
nhiêu ước?
b/ A = p1k. p2l. p3m có bao nhiêu ước?
Hướng dẫn
a/ Số đó có (2+1).(3+1) = 3. 4 = 12 (ước).
b/ A = p1k. p2l. p3m có (k + 1).(l + 1).(m + 1) ước
Ghi nhớ: Người ta chứng minh được rằng: “Số các ước của một số tự nhiên a bằng một
tích mà các thừa số là các số mũ của các thừa số nguyên tố của a cộng thêm 1”
a = pkqm rn
Số phần tử của Ư(a) = (k+1)(m+1) (n+1)
Bài 2: Hãy tìm số phần tử của Ư(252):
ĐS: 18 phần tử.
Giáo án dạy thêm môn Toán lớp 6 - Download.com.vn
26
Ngày soạn: .
Ngày dạy: ...
Chủ đề 7:
ƯỚC CHUNG VÀ BỘI CHUNG
ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT - BỘI CUNG NHỎ NHẤT
Thời gian thực hiện: 4 tiết.
A> MỤC TIÊU
- Rèn kỷ năng tìm ước chung và bội chung: Tìm giao của hai tập hợp.
- Biết tìm ƯCLN, BCNN của hai hay nhiều số bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên
tố.
- Biết vận dụng ƯC, ƯCLN, BC, BCNN vào các bài toán thực tế đơn giản.
B> NỘI DUNG
I. Ôn tập lý thuyết.
Câu 1: Ước chung của hai hay nhiều số là gi? x ƯC(a; b) khi nào?
Câu 2: Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là gi?
Câu 3: Nêu các bước tìm UCLL
Câu 4: Nêu các bước tìm BCNN
II. Bài tập
Dạng 1:
Bài 1: Viết các tập hợp
a/ Ư(6), Ư(12), Ư(42) và ƯC(6, 12, 42)
b/ B(6), B(12), B(42) và BC(6, 12, 42)
ĐS:
a/ Ư(6) = 1;2;3;6
Ư(12) = 1;2;3;4;6;12
Ư(42) = 1;2;3;6;7;14;21;42
Giáo án dạy thêm môn Toán lớp 6 - Download.com.vn
27
ƯC(6, 12, 42) = 1;2;3;6
b/ B(6) = 0;6;12;18;24;...;84;90;...;168;...
B(12) = 0;12;24;36;...;84;90;...;168;...
B(42) = 0;42;84;126;168;...
BC = 84;168;252;...
Bài 2: Tìm ƯCLL của
a/ 12, 80 và 56
b/ 144, 120 và 135
c/ 150 và 50
d/ 1800 và 90
Hướng dẫn
a/ 12 = 22.3 80 = 24. 5 56 = 33.7
Vậy ƯCLN(12, 80, 56) = 22 = 4.
b/ 144 = 24. 32 120 = 23. 3. 5 135 = 33. 5
Vậy ƯCLN (144, 120, 135) = 3.
c/ ƯCLN(150,50) = 50 vì 150 chia hết cho 50.
d/ ƯCLN(1800,90) = 90 vì 1800 chia hết cho 90.
Bài 3: Tìm
a/ BCNN (24, 10)
b/ BCNN( 8, 12, 15)
Hướng dẫn
a/ 24 = 23. 3 ; 10 = 2. 5
BCNN (24, 10) = 23. 3. 5 = 120
b/ 8 = 23 ; 12 = 22. 3 ; 15 = 3.5
BCNN( 8, 12, 15) = 23. 3. 5 = 120
Dạng 2: Dùng thuật toán Ơclit để tìm ƯCLL (không cần phân tích chúng ra thừa số
nguyên tố)
1/ GV giới thiệu Ơclit: Ơclit là nhà toán học thời cổ Hy Lạp, tác giả nhiều công trình khoa
học. Ông sống vào thế kỷ thứ III trước CN. Cuốn sách giáo kha hình học của ông từ hơn
Giáo án dạy thêm môn Toán lớp 6 - Download.com.vn
28
2000 nưam về trước bao gồm phần lớn những nội dung môn hình học phổ thông của thế giới
ngày nay.
2/ Giới thiệu thuật toán Ơclit:
Để tìm ƯCLN(a, b) ta thực hiện như sau:
- Chia a cho b có số dư là r
+ Nếu r = 0 thì ƯCLN(a, b) = b. Việc tìm ƯCLN dừng lại.
+ Nếu r > 0, ta chia tiếp b cho r, được số dư r1
- Nếu r1 = 0 thì r1 = ƯCLN(a, b). Dừng lại việc tìm ƯCLN
- Nếu r1 > 0 thì ta thực hiện phép chia r cho r1 và lập lại quá trình như trên. ƯCLN(a, b) là số
dư khác 0 nhỏ nhất trong dãy phép chia nói trên.
VD: Hãy tìm ƯCLN (1575, 343)
Ta có: 1575 = 343. 4 + 203
343 = 203. 1 + 140
203 = 140. 1 + 63
140 = 63. 2 + 14
63 = 14.4 + 7
14 = 7.2 + 0 (chia hết)
Vậy: Hãy tìm ƯCLN (1575, 343) = 7
Trong thực hành người ta đặt phép chia đó như sau:
Suy ra ƯCLN (1575, 343) = 7
1575 343
343 203 4
203 140 1
140 63 1
63 14 2
14 7 4
0 2