Sáng kiến kinh nghiệm: Cách tính tổng các phân số có quy luật

 A - Đặt vấn đề:
1.Nhận thức về đề tài :
	Thực hiện đổi mới nội dung chương trình, sách giáo khoa, phương pháp giảng dạy và trang thiết bị dạy học trong toàn ngành giáo dục. Về phương pháp dạy học phải tích cực hoá các hoạt động học tập của học sinh, rèn luyện khả năng tự học, tự phát hiện và giải quyết vấn đề nhằm hình thành và phát triển ở học sinh tình tư duy tích cực độc lập sáng tạo, về hình thức tổ chức không nên áp đặt một hình thức dạy học cứng nhắc mà phải tôn trọng sự sáng tạo của giáo viên dựa trên sự chỉ đạo có tình nguyên tắc nhưng mềm mại và linh hoạt của các cấp chỉ đạo giáo dục. Luật giáo dục đã ghi “Giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của tứng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học tự rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh”.
Sự phát triển của khoa học công nghệ hiện nay đòi hỏi nguồn lực lao động phải năng động sáng tạo đáp ứng được yêu cầu của nên công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước. Sự thách thức và nguy cơ tụt hậu trên con đường tiến vào thế kỷ XXI bằng sự cạnh tranh trong nền kinh tế tri thức, đòi hỏi phải đổi mới nội dung và phương pháp giáo dục phổ thông nói chung và môn Toán nói riêng để tạo ra những con người lao động sáng tạo linh hoạt đáp ứng sự phát triển kinh tế xã hội.
Như chúng ta đã biết môn toán là môn học rất quan trọng trong nhà trường, toán là nền tảng văn minh của nhân loại, toán học là các chìa khoá của các môn học khác. Chính vì lẽ đó mà các em học sinh phải nắm chắc các kiến thức cơ bản của môn học này .
Một đặc điểm nổi bật của môn toán là xây dựng bằng phương pháp tiên đề, nó được xây dựng hết sức chặt chẽ, đa dạng phong phú, đòi hỏi người học phải có khả năng suy luận, chủ động và sáng tạo thì mới có kết quả tốt trong học tập .
Thầy dạy toán phải làm sao gõ được vào trí thông minh của học sinh, thức tỉnh tất cả các tiềm năng sáng tạo của học sinh. Phát huy tính tư duy học sinh trong quã trình học toán không những là vẫn đề cốt lõi của việc dạy toán mà còn là vẫn đề rất lớn trong việc thực hiện mục tiêu đào tạo thế hệ trẻ vì thế tất cả giáo viên dạy toán phải quan tâm đến vẫn đề này .
 Như chúng ta đã biết trong chương trình giáo dục học sinh bậc THCS bên cạnh việc phải nâng cao chất lượng đại trà là việc phải chú trọng về công tác mũi nhọn bởi ngoài mục tiêu “Nâng cao dân trí , đào tạo nhân lực ” thì không thể coi nhẹ vấn đề: Bồi dưỡng nhân tài phục vụ cho sự nghiệp CNH – HĐH đất nước . Thế hệ học sinh hôm nay sẽ là chủ nhân ngày mai, muốn có đội ngũ cán bộ chủ chốt hay là một con người có ích cho xã hội sau này ngay từ bây giờ chúng ta phải cần quan tâm đến các em, mà việc thiết thực nhất của giáo viên đứng lớp là công tác bồi dưỡng các em để các em có kết quả tốt nhất – Bồi dưỡng học sinh giỏi.
	Môn Toán - là một học chủ công là trường phổ thông có vị trí đặc biệt quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung ấy. Việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi lại càng quan trọng tuy nhiên điều đáng quan tâm ở đây là : Bồi dưỡng những nội dung gì? bồi dưỡng như thế nào ? để học sinh vừa được trang bị thêm kiến thức về toán học vừa có cái chìa khoá để tìm hiểu, khám phá các kiến thức khác có liên quan. Trong phạm vi có hạn bản thân tôi chỉ xin đi sâu vào một trong những nội dung mà bản thân tôi đã áp dụng khi bồi dưỡng học sinh khá giỏi lớp 6 đó là đề tài “Cách tính tổng các phân số có quy luật”.
	2, Cơ sở xác lập đề tài :
	a. Cơ sở lý luận .
	Đề tài được xác lập dựa trên yêu cầu về mục đích giáo dục của trường THCS, dựa vào quy luật nhận thức của người học sinh là đi từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, kiến thức trước phải làm nền móng cho kiến thức sau :
b. Cơ sở thực tiễn:
	Đề tài được nghiên cứu dựa vào cấu trúc của sách giáo khoa toán 6 (chương trình mới được áp dụng từ năm 2002). Đồng thời cũng là xuất phát từ năng lực, trình độ của học sinh trên địa bàn huyện nhà.
 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu:
 Là học sinh lớp 6.
 Phạm vi nghiên cứu:
Bởi lý do và địa bàn cách trở không cho phép, tôi chỉ nghiên cứu các HS lớp 6 trong phạm vi trường THCS Nghĩa Hoàn.
Tài liệu tham khảo
Sách giáo khoa toán 6
Sách bài tập toán 6.
3. Tạp chí “Thế giới trong ta”.
4. Báo hoa học trò
5. Sách bồi dưỡng học sinh khá giỏi Toán 6. 	
B/ Nội dung chính :
Kết quả kiểm định khi chưa đưa ra “Cách tính tổng theo quy luật” Không có HS nào đạt điểm giỏi và khá 	
1/ Những vấn đề chung : 
	Chúng ta đều biết rằng toán học rất đa dạng về kiểu loại và cũng rất phong phú về cách giải. Vì vậy người dạy muốn bồi dưỡng học sinh một cách khoa học thì phải đi theo từng chuyên đề, từng dạng riêng. Các dạng đó phải được sắp xếp có hệ thống, có mối liên hệ với nhau để học sinh có thể vận dụng các dạng đã biết mà khai thác các dạng chưa biết khi bồi dưỡng từng chuyên đề, từng dạng giáo viên cần chỉ ra phương pháp chung mang tính chất tổng quát cho từng dạng, hệ thống bài tập trong mỗi chuyên đề cũng đi từ dễ đến khó mỗi bài , mỗi dạng giáo viên cần giúp học sinh tìm ra nhiều cách giải và chọn ra cách giải hay nhất.
	Với mong muốn giúp học sinh rèn luyện khả năng giải toán cho học sinh khá giỏi tôi đã xây dựng một hệ thống các chuyên đề. ở đây xin đưa ra vấn đề “Cách tính tổng các phân số có quy luật và một số ứng dụng của tổng phân số viết theo quy luật”
	2. Nội dung cụ thể của đề tài : “Cách tính tổng các phân số viết theo quy luật và một số ứng dụng của tổng phân số viết theo quy luật”
	Cơ sở xuất phát của đề tài, ta đi từ bài tập sau :
Bài tập : Thực hiện phép tính:
a) c) 
b) d) 
 Giải : 
a) = c) =
b) = d) = 
 Bây giờ , giả sử có bài tập mà mỗi số hạng của tổng là kết quả của bài tập trên thì thì ta làm như thế nào ? 
GV yêu cầu HS làm bài tập sau
 Bài tập 1 : Tính tổng bằng phương pháp hợp lý nhất : 
	1	1	 1	 1
a.	 A = + + + .. + 
	1.2	 2.3 3.4 49.50
	2	2	 2	 2
b.	 B = + + + .. + 
	3.5	 5.7 7.9 37.39
	 3	3	 3	 3
c.	 C = + + + .. + 
	4.7	 7.10 10.13 73.76
 Giải: 
 Đảo lại của bài tập trên ta có : 
 Ta thay vào A = 
 = 
Ta thấy trong tổng A lúc này: Trừ số hạng đầu và số hạng cuối, ở giữa có từng cặp số hạng đối nhau nên chúng tự khử lẫn nhau.
nên A = ( còn lại số hạng đầu và số hạng cuối )
 A = 
GV cho HS làm tương tự đối với câu b)
Thay vào B ta được B = 
 Qua bài tập 1
 GV cho HS tìm ra quy luật của các số hạng trong tổng các phân số : Ta thấy tử của chúng không thay đổi và đúng bằng hiệu hai thừa số ở mẫu, thừa số cuối ở mẫu trước bằng thừa số đầu ở mẫu sau. 
 Gv cho HS tìm ra quy luật cho cách tính tổng : Để giải loại toán này giáo viên hướng dẫn cho học sinh tính tổng các phân số với các số hạng có dạng :
	Mà 	 ( m N ) (I)
	Để viết mỗi số hạng thành một hiệu của hai phân số. Số trừ của nhóm trước bằng số bị trừ của nhóm sau rối khử liên tiếp, còn lại số bị trừ đầu tiên và số trừ cuối cùng lúc đó phép tính được thực hiện dễ dàng.
 GV khắc sâu cho HS qua việc tìm quy luật ở trên : Bài dạng tính tổng này khi nào thực hiện được (tránh HS máy móc các tổng có quy luật khác quy luật trên )
Yêu cầu HS tự tìm ra giải pháp : để tính tổng theo quy luật thì các phân số có tử bằng nhau và đúng bằng hiệu của 2 thừa số ở mẫu, thừa số cuối ở mẫu trước bằng thừa số trước ở mẫu sau 
	Giáo viên cho học sinh vận dụng trực tiếp công thức trên làm bài tập sau:
	Bài tập 2: Tính tổng sau bằng phương pháp hợp lý nhất
A = 
B = 
Giải:
a. Đối với câu a học sinh dễ dàng vận dụng cách giải, vì tổng trên các số hạng: tử và mẫu được viết theo quy luật: tử đều bằng 4 và bằng hiệu hai số ở mẫu (7 – 3 = 11 – 7 = . = 111 – 107 = 4); thừa số cuối ở mẫu trước bằng thừa số sau của mẫu sau.
A = 
 = 
b.Đối với câu b các số hạng của tổng chưa có quy luật: ta thấy 15 = 3 . 5 ; 35 = 5 . 7 ; 63 = 7.9 ; . Các số hạng có tử là 2, mẫu là tích của hai số có hiệu bằng số ở tử số như vậy thỏa mãn quy luật nên trên công thức:
B = 
 = 
B = 
 =
Từ bài tập 2, phát triển bài toán mới yêu cầu học sinh phải biến đổi qua 1 bước trung gian khi đó mới xuất hiện tổng các phân số có quy luật, ta có bái toán sau:
Nhận xét: Nếu có bài tập mà các mẫu là không phải là tích của hai số có hiệu bằng số ở tử số. Vậy ta có bài tập sau:
Bài tập 3: Tính tổng sau:
A = 
Đối với bài tập 3, học sinh chưa tìm ra quy luật của dãy, giáo viên cho học sinh nhận xét sau: 
Ta thấy tổng đã cho lúc đầu, các số hạng đều có tử là 1 nhưng mẫu số không phải là tích của hai thừa số có hiệu bằng 1: (10 = 2.5; 15 = 3.5; 21 = 3.7; ..) vì vậy ta áp dụng tính chất cơ bản, nhân cả tử và mẫu của mỗi phân số với 2, ta được các mẫu mới lần lượt là: 20, 30, 42, ., 240.
Ta thấy: 20 = 4.5; 30 = 5.6 ; 42 = 6.7 ; .., thỏa mãn yêu cầu có hiệu của 2 thừa số bằng 1. Nhưng tử của mỗi phân số không phải là 1 mà là 2 nên ta phải dùng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng để đặt số 2 ra ngoài dấu ngoặc, cụ thể ta làm như sau:
Giải: 	A = 
	A = 
	A = 2.( )
	A = 2.( 
	A = 2.( ) = 2. = 
Nhận xét : Nếu có bài tập mà mẫu có dạng tích của hai số nhưng có hiệu không bằng số của tử số ta có bài tập sau
Tương tự bài tập 3, giáo viên ra một số bài tập để học sinh khắc sâu về dạng bài tập như trên.
Bài tập 4:
 Tính tổng sau:
a.	A= 
b.	B = 
	32	 32 32	 32
c.	C = + 	+	+ .+
	8.11	 11.14	14.17	 197.200
Giải: 
a. Đối với câu a, các số hạng đều có tử là 7 nhưng mỗi mẫu tích của 2 thừa số có hiệu bằng 1. Vì vậy để có cách giải nhanh theo quy luật, ta đặt số 7 ra ngoài dấu ngoặc
A= 7.()
A = 7. ()
A = 7.( ) = 7. = = 
b. Đối với câu b, các số hạng đều có tử là 6 nhưng các mẫu là những số, ta phân tích được là:
4 = 1.4; 28 = 4.7; 70 = 7.10; . Các mẫu là tích của hai thừa số có hiệu bằng 3. Vậy để có cách giải nhanh nhất phù hợp quy luật trên, ta tách 6 = 2.3 và đặt số 2 ra ngoài dấu ngoặc.
B = 
B = 
B = 2.( )
B = 2. ( )
B = 2. (1 - ) = 2. = 
c. Đối với câu c, ta thấy 32 = 3.3, để tổng có quy luật ta đặt số 3 ra ngoài dấu ngoặc, ta có: 
 3 	 3 	 3	 3
C = 3(	+ + + .+	 )
8.11 11.14 14.17 197.200
 1 	 1 1 1 1	 1	 1 
C = 3 (	 -	 + - - + + ..+	 - )
 8 11 11 14 14 197 200 
 1 	 1 3	 9 
C = 3 (	 -	 ) = 3 . = 
 	 8 200 25 25 
	Từ bài tập tập 4, giáo viên hướng dẫn học sinh tách thừa số ở tử để đặt 1 số ra ngoài dấu ngoặc khi đó trong ngoặc có dạng tổng của các phân số quy luật.
 Nếu có bài tập mà không tách được thừa số ở tử để trong tổng có quy luật trên: Giáo viên yêu cầu học sinh làm bài tập không đặt dấu ra ngoài dấu ngoặc mà sử dụng tính chất cơ bản của phân số để tạo ra các số hạng có tử là hiệu của hai thừa số ở mẫu. Từ bài tập 4, mở rộng bài tập sau đây .
	Bài tập 5 : Tính các tổng sau :
 	 1 	 1 1 	 1	 
a.	 A = + 	 + + .. + 
 	25.27 27.29 29.31 73.75 
 	 15 	 15 15 	 15	 
b. 	 B = + + + .. + 
 	90.94 94.98 98.102 146.150 
 	 10 	 10 10 	 10	 
c. 	 C = + 	 + + .. + 
 	56 140 260 1400 
Giải : 
 a. Nhận xét câu a, các số hạng đều có tử bằng 1 nhưng các mẫu là tích của 2 số có hiệu bằng 2. Như vậy ta áp dụng tính chất cơ bản của phân số nhân cả từ và mẫu số với 2, cụ thể 
 	 2 	 2 2 	 2	 
	 A = + 	 + + + 
 	2.25.27 2.27.29 2.29.31 2.73.75
	Đến đây ta đặt ra ngoài dấu ngoặc để có được cách giải theo quy luật trên.
 	 1	 2 2 	 2	 
	 A = . ( 	 + + + )
 	 2 	25.27	27.29	 73.75 
 	 1	 1 1 1	 
	 A = . ( 	 - ) =
 	 2 25	 75	 75 
	b, Ta thấy ở mẫu có dạng tích của hai số có hiệu bằng 4 nhưng tử là 15 mà 15 không phải là bội của 4. Vì vậy ta nhận cả tử và mẫu với 4. Sau đó đặt ra ngoài dấu ngoặc.
 15 4 4 4	 4	 
 B = .( + + + + )
 	 4 	 90.94	 94.98	 98.102 146.200 
 15 1 1 1
 B = .( - ) = 
 	 4 90 200 60
	c, Nhận xét câu c, các số hạng có tử bằng nhau là 10, nhưng các mẫu không phải là tích của 2 thừa số có hiệu bằng 10. Mặt khác ta thấy các số dạng là những phân số chưa tối giản, áp dụng tính chất cơ bản của phân số. Ta chia cả tử và mẫu cho số 2, ta được như sau.
	5	 5	 5	 5
C =	 + + + +
	28	70	130	 700
	Ta nhận thấy rằng các mẫu: 28 = 4.7; 70 = 7.10; 130 = 10.13; mẫu là một tích hai thừa số có quy luật và hiệu của chúng là 3, nên ta nhân cả tử và mẫu của các hạng với 3 rồi đặt số 5/3 ra ngoài dấu hoặc ta được.
	5	 3	 3	 3	 3
C =	 .( + + + + )
	3	4.7	7.10	 10.13	 25.28
 	5	 1	 1	 5	 
 C =	 .( - ) = 
	3	 4	 728	 14
	Từ các bài tập trên, ta mở rộng các bài toán có dạng tổng quát giúp HS khắc sâu kiến thức cơ bản – dạng toán chứng minh
	Dạng: Chứng minh
	Bài tập 6:
 Cho 
 3	 3 3	 3
S =	 + + + + (nєN)
	1.4	 4.7	 7.10	 n.(n+3)	
	Chứng minh rằng S < 1 
	Giải:
 Ta nhận thấy rằng biểu thức S là một tổng đã có quy luật trên, nên :
	 1	 1 1	 1	1	 1	 	1	 1
S =	 - + - + - + + -
	1	 4	 4 7	 7	 10	 n n+3
	 1	 n+3-1 n+2
	S = 1 - 	= 	 =	 < 1
	 n+3	 n+3 n+3 
 hay S < 1
	Bài tập 7: Chứng minh rằng với mọi n є N, ta luôn có:
	 1	 1	 1	 1	 n+1
	 + + + +	 =
	1.6	6.11	 11.16	 (5n+1) (5n+6)	 5n+6
	Giải:
 Nhận xét : VT ở mẫu có quy luật và hiệu của 2 thừa số ở mẫu đúng bằng 5 nên ta phải biến đổi VT nhân cả tử và mẫu với 5 sau đó đặt ra ngoài dấu ngoặc.
	 1	 5	 5	5 	 1	 
	VT =	 .( + + +	 + 	 )
	 5	1.6	 6.11 11.16 	(5n+1) (5n+6)
	 1 1	 1 	5n+6-1	1	5(n+1)
	VT =	 .( 1- ) = . = 	 .
	 5	 5n+6 5	 5n+6	5	 5n+6
 n+1
	= 	 = VP (đpcm)
	 5n+6
	Nhận xét : Nếu trong một tổng mà một số hạng chưa biết ta làm như thế nào, áp dụng cách tính tổng trên, ta đi đến dạng toán tìm số hạng chưa biết một tổng
	Dạng toán, tìm x : Ta đi đến bài toán sau:
	Bài tập 8: 	Tìm x biết
	 4 4	 4	 4	 -37
	x +	 + + + + =
	 5.9 9.13	13.17	41.45	45
	Giải:
 Để tìm x tức là ta phải đi tính tổng sau :
 mà tổng này đã có quy luật, nên ta có 
	 1 1 1 1 1 1 1 1 -37
	x +	 - + - + - + + - =
	 5 9 9 13 13 17 41 45 45
	 1	1	 -37	 -37	 9	 1
	=> x+ - =	 => x = - +	
	 5	45	 45	 45	 45	 45
 x = -1
	Bài tập 9: Tìm x biết:
	 20 	 20	 20	 20	 3
	a, x -	 -	 -	 -	 -	 =
	 11.13 	13.15	 15.17	 53.55 11
	 1	 1	 1	 2	 2
	b,	 + + + + =
	21 28 36 x(x+1) 9
 Giải:
	 20	 20	 20 20	 3
	a, x-(	 + + 	 + + ) = 
	 11.13 	13.15	 15.17 53.55	 11
	Giải tương tự bài tập 4a, ta có:
	 2	 2	 2	 2	 3
	=>	x – 10.( +	 +	 +	 +	 ) =
	 11.13 13.15 15.17	53.55	 11
	1	1	3	8	3	
	=> x – 10.(	 - ) = => x- = => x=1
	 11 55 11 11 11
	 1	 1	 1	 2	 2
	b,	 + + + + =
	21 28 36 x(x+1) 9
	Nhận xét: Từ số hạng cuối, mẫu là tích của 2 số có hiệu là 1 mà các mẫu trước thì không phải tích của 2 thừa số có hiệu bằng 1. Vì vậy giải tương tự bài tập 3, ta làm được như sau.
	 2	 2	 2	 2	 2
	=>	 + + + + =
	42 56 72 x(x+1) 9
	Tiếp tục giải tương tự bài tập 4a, ta có:
 1	 1	 1	 1	 2
	=> 2.(	 + + + + ) =
	6.7 7.8 8.9 x(x+1) 9
	 1	1	 2	1	 2	 2
	=> 2.( -	 ) =	 =>	 - =
	 6 x+1	 9	3	x+1	 9
	 2	 1	 2	2	1	 2
	=> = - => = = => x+1 = 18 => x =17	x+1	 3 9 x+1 9 18	
* Nhận xét : Từ các bài tập ở trước ta lại thấy
	 1	 1	 3-1 	2
	 -	 =	 =
	 1.2	 2.3	 1.2.3 1.2.3
	 1	 1	 4-2 	2
	 -	 =	 =
	 2.3	 3.4	 2.3.4 2.3.4	
 Các bài tập ở trên mỗi số hạng đều có dạng chung là , mẫu là tích của 2 số. Vậy bây giờ có bài tập tính tổng mà các số hạng có mẫu là tích của 3 số thì ta làm bài tập sau 
	Bài tập 10: Tính tổng sau bằng phương pháp hợp lý
 1	 1	 	 1	
 A =	 + + . +	 
	 1.2.3 2.3.4 	 18.19.20 
 Từ nhận xét ở trên để đi đến bài tập 10, ta suy ra được
	 1	 1	 1	 1
	 = (	 - )
	 1.2.3 2	 1.2 2.3
	 1 1	 1	 1
	 = (	 - ) .....
	 2.3.4 2	 2.3 3.4
Tương tự :
	 1	 1	 1	 1
	 =	 ( -	) (	
	 n(n+1)(n+2)	 2	 n(n+1)	(n+1)(n+2)
	Lấy kết quả ở trên ta cộng từng số hạng, ta được
	 1 1	 1	 1	 1	 1	 1
	A = . ( - + - + + -	 )
	 2 1.2 2.3	2.3	3.4	 18.19 19.20
	 1 1	 1	 1 189	189
	A = . ( - ) = . =
	 2 2 19.20	 2	 380	760
	 Từ nhận xét bài tập 10, ta thấy mỗi số hạng của tổng có dạng là:	 
 Mà mỗi số hạng trên được viết = 
	Nhận xét : Nếu có bài tập mà các mẫu vẫn là tích của 3 số tự nhiên nhưng không liên tiếp, ta làm như thế nào. GV yêu cầu HS làm bài tập sau
	Bài tập 11: Tính các tổng sau:
	 36 36	 36	 36	 
	B = + + + + 
	 1.3.5 3.5.7 5.7.9	 	 25.27.29
	Giải:
 Nhận xét : Ta thấy mẫu của các số hạng đều có dạng b(b+m)(b+2m)
 ( Mà )
 Nên mỗi số hạng của tổng ở bài tập trên có dạng : 
Mà mỗi số hạng trên được viết = 
 Ta tách như sau : 
Ta làm tương tự với các số hang còn lại	
 4 4	 4	 4	 
 B = 9. (	 + + + + 	)
	 1.3.5 3.5.7 5.7.9	 	 25.27.29
 1 1	1	 1	 1	 1	 
B =9. (	 - + - + + - 	)
	 1.3 3.5 3.5	5.7 	 	 25.27 27.29
 1 1	260 260
B = 9. (	 - ) = 9. =
	 3 783 	783	 87
Nhận xét : Đối với bài tập này ta thấy mẫu có dạng b.(b+m).(b+2m) , như vậy tử là hiệu của thừa số thứ 3 với thừa số thứ nhất.Nên mỗi số hạng có dạng , mà (II)
 Tương tự Gv yêu cầu HS làm bài tập sau
Bài tập 12: Tính tổng biểu thức sau;
	1 1	 1	 1
	A = + + + + 
	 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6	 	 n(n+1) (n+2)(n+3) 
	đối với bày này, ta biến đổi ở phân số dạng tổng quát
 1	 	 3	 3 +n- n
	 =	 =
n(n+1) (n+2)(n+3) 3n(n+1) (n+2)(n+3) 3n(n+1) (n+2)(n+3) 
 1	 n+3	 n
 = ( -	 )
3 n(n+1)(n+2)(n+3) n(n+1) (n+2)(n+3)
 1	 1	 1
 = ( -	 )
3 n(n+1)(n+2) (n+1) (n+2)(n+3)
	áp dụng kết quả này vào bài ta được
	 1	 1	 1	 	 1
	 =	 .(	 -	 )
	1.2.3.4	3	1.2.3	2.3.4
	 1	 1	 1	 1
	 =	 .(	 -	 )	
	2.3.4.5	3	2.3.4	 3.4.5
 1	 	 1	 1	 1
	 = ( 	 -	 )	 
n(n+1) (n+2)(n+3) 3 n(n+1)(n+2) (n+1) (n+2)(n+3)
Thay vào A ta được:
 	1	 1	 1
	A =	 .( - -	 )	 
3 1.2.3 (n+1) (n+2)(n+3)
	Sau bài tập này, GV yêu cầu HS tìm công thức theo quy luận như trên: Mẫu là tích 2 thừa số, 3 thừa số.
	Đối với bài tập 12: Mẫu là tích của 4 số, mỗi số hạng có dạng phức tạp 
 3m
	 b(b+m)(b+2m)(b+3m)
	Để giải bài toán trên theo quy luật: Số trừ của nhóm trước bằng số bị trừ của nhóm sau rồi khử tiên tiếp, còn lại số bị trừ đầu tiên và số trừ cuối cùng, tà dùng công thức.
 3m	 1	 1
	=	 - (III)
	b(b+m)(b+2m)(b+3m)	 b(b+m)(b+2m) (b+m)(b+2m)(b+3m)
( mN )
Vận dụng công thức, GV đưa ra yêu cầu HS làm
Bài tập 13: Tính các tổng sau:
	 1	 1	1	 	 1
 a) A =	 +	+	+ .	+
	 1.3.5.7	 3.5.7.9	 5.7.9.11 	 	 31.33.35.37
 18	 18	18	 	 18
b) A =	+	+	 + .	+
 2.5.8.11	 5.8.11.14	 8.11.14.17 	 101.104.107.110
	Từ bài tập 13, GV phát triển các bài toán có tổng mà mỗi số hạng phức tạp hơn, mang tính tổng quát nhưng các phân số mà tử và mẫu của chúng được viết theo quy luật. Mẫu số của mỗi số hạng không phải là tích của thừa số hay 3 thừa số mà mẫu là tích của n thừa số ( vẫn bảo đảm có quy luật).
	Mỗi số hạng có dạng tổng quát ( mẫu là tích của n thừa số).
	 (n-1).m
	 b.(b+m)(b+2m) (b+(n-1)m)
Để tính tổng cho bài có tổng mà mỗi số hạng có dạng trên, thỏa mãn quy luật khử liên tiếp sao cho kết quả cuối cùng còn lại số bị trừ đầu tiên và số trừ cuối cùng. Ta dùng công thức (IV)
(n-1).m	 1	 1	 
	=	 -
b(b+m)(b+2m) [b+(n-1).m] b(b+m)(b+2m).. [b+(n-2)m] (b+m)(b+2m) [b+(n-1).m]
( mN )
	*Chú ý : Để chứng minh các công thức: (I), (II), (III) và (IV) bằng cách làm phép trừ ở vế phải thì bằng vế trái.
C- Kết luận:
	Việc giảng dạy môn toán làm thế nào để biến một bài toán phức tạp thành một bài toán đơn giản hơn mang tính tổng quát, mặt khác còn vận dụng được các bài toán khác trong cùng một dạng là việc làm không hề đơn giản cho mọi đối tượng học sinh, nhất là khi bồi dưỡng cho học sinh khá, giỏi, yêu cầu đòi hỏi sau khi làm xong mỗi dạng toán phải giúp các em tìm ra công thức chung, từ đó phát triển được bài toán từ bài toán ban đầu giúp học sinh nắm chắc kiến thức hơn, biết mở rộng đào sâu kiến thức từ kiến thức đã có. Trong điều kiện đó giáo viên phải hết sức linh hoạt và sáng tạo, mà mẫu chốt của sáng tạo là luôn suy nghĩ về mục tiêu của bộ môn toán.
	Trên đây là một số bài tập mà tôi xây dựng theo chuyên đề nhỏ từ SGK, SBT và một số báo, sách thám khảo của bộ môn toán 6 để bồi dưỡng học sinh khá giỏi. Hệ thống bài tập này đã được áp dụng và đạt hiệu quả. Cụ thể là năm học 2009 – 2010 vừa qua tôi đã áp dụng vào việc bồi dưỡng và phụ đạo Toán 6. Qua thi giải toán qua mạng 5 em có 4 em đậu học sinh giỏi cấp huyện .Theo tôi nó có tính khả thi cao, không khó thực hiện đối với bất kỳ trường nào. Vì vậy tôi đề nghị được áp dụng trên phạm vi rộng.
	Tuy nhiên đề tài mới chỉ là kinh nghiệm riêng của bản thân và mới chỉ được áp dụng trên phạm vi hẹp nên chưa được nhiều người biết đến. Với trí tuệ của tập thể nhiều người, tôi tin chắc rằng chúng ta có nhiề dạng toán khác có tính khả thi cao để bồi dưỡng học sinh. Rất mong nhận được sự đóng góp bổ sung của bạn bè, đồng nghiệp và sự chỉ giáo của hội đồng khoa học.
Tôi xin chân thành cảm ơn./.