Sáng kiến kinh nghiệm: Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán dạng: Tìm số nguyên x để phân thức có giá trị nguyên, trong đó f(x), g(x) là các đa thức có hệ số nguyên - Đỗ Thành Long

Mở Đầu
I/ lý do chọn đề tài:
 Căn cứ vào các nội dung nhiệm vụ của quá trình dạy học: 
 “ Võ trang cho học sinh hệ thống các kiến thức khoa học, phổ thông cơ bản hiện đại, phù hợp với thực tiễn đất nước về tự nhiên, xã hội, tư duy đồng thời rèn luyện cho các em hệ thống những kĩ năng, kĩ xảo tương ứng. 
 Phát triển ở học sinh năng lực hoạt động trí tuệ nhất là năng lực tư duy sáng tạo. 
 Hình thành ở học sinh cơ sở của thế giới quan khoa học lý tưởng cách mạng và những phẩm chất đạo đức của con người mới”.
 - Nghị quyết TW 4 khoá VII xác định “ Phải khuyến khích tự học, phải áp dụng những phương pháp giáo dục hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy, sáng tạo năng lực giải quyết vấn đề”.
 - Điều 24.2 của luật giáo dục nêu rõ: “ Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động , sáng tạo của học sinh phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”.
 Với các nhiệm vụ dạy học và yêu cầu giáo dục thế hệ trẻ hiện nay thì trong mỗi nhà trường phổ thông việc rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh là một vấn đề mà các thầy giáo, cô giáo, cùng phụ huynh quan tâm; Hơn nữa bản thân các em học sinh cũng mong muốn rèn cho mình một khả năng giải toán ngày một tốt hơn để tự mình có thể chiếm lĩnh được tri thức toán học trong kho tàng toán học của nhân loại.
 Từ thực tế giảng dạy của mình, từ thực trạng dạy học và sự nhận thức hiện nay của giáo viên và học sinh tôi thấy: Muốn rèn kĩ năng giải toán cho học sinh thì mỗi thầy giáo, cô giáo phải không ngừng tích luỹ cho mình những phương pháp giảng dạy hiệu quả nhất. Đặc biệt là việc phân loại dạng toán và đối với mỗi loại toán, mỗi dạng toán đó ta phải đưa ra một phương pháp giải cụ thể để học sinh bắt chước giải toán trước khi có kĩ năng giải toán thực sự.
 Vì vậy được sự giúp đỡ, hướng dẫn của GS TSKH Lê Mậu Hải tôi chọn đề tài:
 “ Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán dạng: Tìm số nguyên x để phân thức có giá trị nguyên, trong đó f(x), g(x) là các đa thức có hệ số nguyên” cho học sinh lớp 8 thcs.
 Trong khuôn khổ bài viết tôi xin trình bày một số dạng toán đơn giản có tính khả thi cho học sinh lớp 8, với lượng kiến thức vừa phải để các em học sinh đủ điều kiện tiếp cận và làm nền tảng cho các bài toán phát triển cao hơn sau này.
II/ Nội dung:
1. Các kỹ năng cần thiết, cơ bản cần rèn luyện cho học sinh thông qua môn đại số 8 
Trong chương trình đại số 8, có nhiều mảng kiến thức mà mỗi giáo viên cần nắm vững để hướng dẫn học sinh cho phù hợp với từng đối tượng: Giỏi, khá, trung bình, yếu để từ đó các em rèn luyện thành kỹ năng trong giải toán.
Một số kỹ năng cần đạt được của học sinh trong khi học môn đại số 8 như:
Kỹ năng nhân đa thức với đơn thức, đa thức.
Kỹ năng vận dụng “7 hằng đẳng thức đáng nhớ”.
Kỹ năng ban đầu về chứng minh số chính phương.
Kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử.
Kỹ năng chia đa thức cho đa thức, tìm điều kiện chia hết của đa thức cho đa thức.
Kỹ năng rút gọn phân thức đại số, thực hiện các phép tính với các phân thức đại số.
Kỹ năng tìm giá trị của nguyên của biến để giá trị của phân thức là số nguyên.
Kỹ năng giải các phương trình bậc nhất, giải phương trình bậc cao bằng phương pháp đưa về phương trình tích.
Kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình .
Kỹ năng chứng minh một số bất đẳng thức, giải bất phương trình dạng đơn giản
Kỹ năng ban đầu về tìm GTLN, GTNN 
2. một số phương pháp giải bài toán: tìm số nguyên X để phân thức có giá trị nguyên, trong đó f(x), g(x) là các đa thức có hệ số nguyên”.
một số kiến thức cần thiết.
Kí hiệu bài toán: “Tìm số nguyên x để phân thức có giá trị nguyên, trong đó f(x), g(x) là các đa thức có hệ số nguyên” là bài toán (I).
 */ Trước hết để giải bài toán (I) ta cần hệ thống cho học sinh các phương pháp phân tích thành nhân tử như:
Đặt nhân tử chung
Dùng hằng đẳng thức 
Nhóm nhiều hạng tử
Thêm bớt, tách
Dùng phương pháp hệ số bất định 
Dùng phương pháp tìm nghiệm đa thức
Phương pháp xét giá trị riêng 
*/ Tiếp đó ta hệ thống cho học sinh một số phương pháp giải phương trình đơn giản như:
Giải phương trình bậc nhất một ẩn: ax + b = 0 (a0)
 Phương trình có nghiệm duy nhất: x = - b/a
+ Phương pháp tìm nghiệm nguyên của đa thức
 f(x) = anxn + an-1xn-1 +.. + a1x + a0 ( ai Z, i = 1, 2, 3.., n)
+ Để tìm nghiệm nguyên của đa thức f(x) ta có định lý sau:
+ Nếu f(x) có nghiệm nguyên x = a Z thì a là ước của a0 (*)
	Chứng minh:
 Thật vậy: Nếu x = a Z là nghiệm của đa thức f(x) thì khi đó ta có f(a) = 0 hay
 anan + an-1an-1 +.. + a1a + a0 = 0. Do ai là các số nguyên, a là số nguyên nên các hạng tử aiai là các số nguyên . Ta thấy aiai a suy ra a0 a
Vậy a là ước của a0.
 */ Cơ sở lý luận để giải các bài toán (I) là học sinh sử dụng tốt các tính chất và hệ quả của phép chia hết. Với a, b là các số nguyên :
	Nếu a b thì b là ước của a
	Nếu a b.c thì b, c là ước của a
	Nếu a b thì a.c b ( c0) 
Một số dạng toán cụ thể của bài toán (I).
 Khi hướng dẫn học sinh giải các bài toán dạng (I) , ta nên chia nhỏ thành từng dạng để học sinh có điều kiện thực hành, nghiên cứu một cách cơ bản, có tính hệ thống. Trong giảng dạy tôi đã phân loại ra một số dạng cơ bản phù hợp yêu cầu giảng dạy cho học sinh lớp 8 ( Với học sinh lớp 9 thì yêu cầu cao hơn).
dạng 1: f(x) là hằng số, g(x) là đa thức biến x.
Dạng toán 1 là dạng toán đơn giản mà cơ bản học sinh đã được làm quen ta hướng dẫn học sinh giải bài toán như sau:
Tìm ĐKXĐ
 Tìm số nguyên x sao cho giá trị của mẫu là ước của tử.
Xét một số ví dụ sau:
Bài 1: Tìm số nguyên x sao cho biểu thức A = có giá trị nguyên .
HD : 
Nhận xét: khi x nhận giá trị nguyên thì biểu thức 2x + 1 nhận giá trị nguyên và luôn khác 0 vì 2x + 1 là số lẻ;
3 là số nguyên nên giá trị biểu thức nhận giá trị nguyên khi 3 (2x + 1). Từ đó suy ra 2x + 1 là ước của 3. 
 Do Ư(3) = , nên ta có các trường hợp sau:
+ TH1: 2x + 1 = -3 suy ra 2x = -4 suy ra x = -2; khi đó A = -1
+ TH2: 2x + 1 = -1 suy ra 2x = -2 suy ra x = -1; khi đó A = -3
+ TH3: 2x + 1 = 1 suy ra 2x = 0 suy ra x = 0; khi đó A = 3
+ TH4: 2x + 1 = 3 suy ra 2x = 2 suy ra x = 1; khi đó A = 1 
Vậy x = Thì A có giá trị nguyên tương ứng là A = 
Bài 2: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức B = có giá trị nguyên .
HD: 
Với x nguyên thì 20x + 1 nguyên và luôn khác 0 vì 20x + 1 lẻ. 5 là số nguyên 
 nên giá trị của biểu thức B = nhận giá trị nguyên khi 5 (20x + 1) 
hay 20x + 1 là ước của 5.
Ư(5) = , nên ta có các trường hợp sau:
+ TH1: 20x + 1 = -5 suy ra 20x = -6 suy ra x = - 0,3 (loại vì không là số nguyên)
+ TH2: 20x + 1 = -1 suy ra 20x = -2 suy ra x = - 0,1 (oại vì không là số nguyên)
+ TH3: 20x + 1 = 1 suy ra 20x = 0 suy ra x = 0 (thoả mãn ) khi đó B = 5
+ TH4: 20x + 1 = 5 suy ra 20x = 4 suy ra x = 0,4 (loại vì không là số nguyên)
	Vậy x = 0 thì B có giá trị nguyên là B = 5
Bài 3: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức C = có giá trị nguyên .
HD: 
Nhận xét: Khi x nhận các giá trị nguyên thì x2 – 2x +1 là các số nguyên và là các số chính phương. 80 là số nguyên nên C = nhận giá trị nguyên khi x2 – 2x +1 là ước dương của 80.
Ta có các ước là số chính phương của 80 là: 1; 4; 16 khi đó ta có các trường hợp sau:
+ TH1: x2 – 2x +1 = 1 suy ra x2 – 2x = 0 suy ra x = 0 hoặc x = 2
	Với x = 0 thì C = 80 (thoả mãn); Với x = 2 thì C = 80 (thoả mãn)
+ TH2: x2 – 2x +1 = 4 suy ra x2 – 2x - 3 = 0 suy ra x = -1 hoặc x = 3
	Với x = -1 thì C = 20 (thoả mãn) ; Với x = 3 thì x = 20 (thoả mãn)
+ TH 3: x2 – 2x +1 = 16 suy ra x2 – 2x - 15 = 0 suy ra x = - 3 hoặc x = 5
	Với x = - 3 thì C = 5 (thoả mãn) ; Với x = 5 thì C = 5 (thoả mãn) 
	Vậy với x = thì có giá trị nguyên tương ứng là :
	 C = 
Bài 4: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức D = có giá trị nguyên 
Hướng dẫn giải 
Với x là số nguyên thì 2x2 – 5x + 7 có giá trị nguyên
Ta thấy: 2x2 – 5x + 7 = (x2 – 4x +4) + (x2 – x + ) + > với mọi x
Do đó giá trị của biểu thức D nhận giá trị nguyên khi 2x2 – 5x + 7 là ước dương lớn hơn 2 của 42. Ta có ước dương lớn hơn 2 của 42 là: 3; 6; 7; 14; 21; 42 
	Ta có các thường hợp sau:
+TH1: 2x2 – 5x + 7 = 3 suy ra 2x2 – 5x + 4 = 0 hay 2(x2 –2.x + ) + 4 - = 0
	 suy ra 2(x - )2 + = 0 
Điều này không xảy ra vì vế trái luôn nhận giá trị dương
+TH2: 2x2 – 5x + 7 = 6 suy ra : 2x2 – 5x + 1 = 0 phương trình này không có nghiệm nguyên vì x = 1 và x = -1 không là nghiệm của phương trình này (Theo (*))
+TH 3: 2x2 – 5x + 7 = 7 suy ra : 2x2 – 5x = 0 suy ra x(2x – 5) = 0
	phương trình có nghiệm x = 0 khi đó D = 6 (thoả mãn) .
	 x = 2,5 (loại vì không là số nguyên).
+TH4: 2x2 – 5x + 7 = 14 suy ra : 2x2 – 5x – 7 = 0 suy ra (x + 1)(2x - 7) = 0
	phương trình có nghiệm x = -1 khi đó D = 3 (thoả mãn) .
	 x = 3,5 (loại vì không là số nguyên) .
+TH5: : 2x2 – 5x + 7 = 21 suy ra : 2x2 – 5x – 14 = 0 
 2(x2 –2.x + ) – 14 - = 0
 2(x – 5/4)2 – 137/8 = 0
 (x – 5/4)2 = 137/16 (loại)
 Vì với x là số nguyên thì vế trái là bình phương của số hữu tỉ, vế phải không là bình phương của số hữu tỉ.
+TH6: 2x2 – 5x + 7 = 42 suy ra 2x2 – 5x – 35 = 0. Đặt f(x) = 2x2 – 5x – 35 
Xét f(-35) =	2590	f(-7) = 98 	f(-5) = 40 	f(-1) = -28	
 f(1) =	-38	f(5) = 	-10	 f(7) = 28	f(35) = 2240
suy ra các ước của 35 không là nghiệm của f(x) = 2x2 – 5x – 35 nên phương trình 
2x2 – 5x – 35 = 0 không có nghiệm nguyên.
	Vậy với x = thì D có giá trị nguyên tương ứng là D =
dạng 2: f(x) là đa thức bậc nhất, g(x) là đa thức bậc nhất.
 Khi gặp dạng toán này thông thường ta hướng dẫn học sinh quan sát biểu thức :
Tìm ĐKXĐ
Nếu hệ số của x trên tử chia hết cho hệ số của x dưới mẫu thì ta sử dụng phép chia đa thức tử cho mẫu, để được phần nguyên và một phân thức ở dạng 1; Khi đó ta đưa về dạng 1 để giải tiếp. (có thể dùng phương pháp tách tử thành các nhóm hạng tử chia hết cho mẫu và phần còn lại là số tự do sau đó tìm giá trị của biến để mẫu là ước của số tự do đó và thử lại bằng cách tính giả trị của biểu thức)
Nếu hệ số của x trên tử không chia hết cho hệ số của x dưới mẫu thì ta nhân tử với số nguyên k để hệ số của tử bằng BC của tử và mẫu, sau đó thực hiện phép chia tử mới cho mẫu để được phần nguyên và một phân thức ở dạng 1; ta đưa về dạng 1 để giải tiếp sau đó thử lại. (có thể dùng phương pháp tách tử thành các nhóm hạng tử chia hết cho mẫu và phần còn lại là số tự do sau đó tìm giá trị của biến để mẫu là ước của số tự do đó và thử lại bằng cách tính giả trị của biểu thức)
Các ví dụ:
Bài1: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A = có giá trị nguyên 
Hướng dẫn giải 
ĐKXĐ: -1 ạ x ẻ Z Khi đó với x là số nguyên khác –1 thì tử và mẫu có giá trị là các số nguyên.
 	Ta có: 2x + 1 = 2(x + 1) – 1 ; suy ra để A có giá trị nguyên với x nguyên thì x + 1 là ước của 1. Ta có Ư(1) = do đó ta có các trường hợp sau:
+TH1: x + 1 = -1 suy ra x = -2 khi đó A = 3 (thoả mãn) 
+TH2: x + 1 = 1 suy ra x = 0 khi đó A = 1 (thoả mãn) 
	Vậy với x = thì A có giá trị nguyên tương ứng là: A = 
Bài2: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức B = có giá trị nguyên 
Hướng dẫn giải 
Ta thấy với mọi số nguyên x thì 3x + 2 đều khác 0. Khi đó với x là số nguyên thì tử và mẫu có giá trị là các số nguyên. 
B có giá trị nguyên với x nguyên khi (4x + 1) (3x + 2)
suy ra 3 (4x + 1) (3x + 2) Hay: [4(3x + 2) – 5] (3x + 2) 
 suy ra 3x + 2 là ước của 5
Đưa về cách giải ở dạng 1 ta tìm được x = 
và giá trị nguyên tương ứng của B Là B = 
Bài3: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức C = có giá trị nguyên
Hướng dẫn giải 
Ta thấy với mọi số nguyên x thì 7x + 3 luôn khác 0. Khi đó với x là số nguyên thì tử và mẫu có giá trị là các số nguyên. 
C có giá trị nguyên khi (5x + 6) (7x + 3) suy ra 7(5x + 6) (7x + 3)
hay[5(7x + 3) + 27] (7x + 3) suy ra 27 (7x + 3)
suy ra 7x + 3 là ước của 27. Đưa về cách giải bài toán dạng 1 ta tìm được:
x = 0 thì C có giá trị nguyên C = 2
Bài4: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức D = có giá trị nguyên
Hướng dẫn giải 
Nhận xét: với mọi số nguyên x thì 8x – 1 luôn là số lẻ nên 8x – 1 ạ 0 với mọi số nguyên x. Khi đó với x là số nguyên thì tử và mẫu có giá trị là các số nguyên.
Để D có giá trị nguyên với x là số nguyên thì : 12x – 7 8x – 1 
Suy ra 2 (12x – 7) 8x – 1 suy ra 3 (8x –1) - 11 8x – 1 suy ra 11 8x – 1
Do đó 8x – 5 là ước của 11. Ta có : Ư(11) = do đó ta có các trường hợp sau:
+TH1: 8x – 1 = -11 suy ra 8x = -10 suy ra x =- 1,25 (loại vì không là số nguyên) 
+TH2: 8x – 1 = -1 suy ra 8x = 0 suy ra x = 0 khi đó D = 7
+TH3: 8x – 1 = 1 suy ra 8x = 2 suy ra x = 0,25 (loại vì không là số nguyên) 
+TH4: 8x – 1 = 11 suy ra 8x = 12 suy ra x = 1,5 (loại vì không là số nguyên) 
 	 Vậy x = 0 thì D có giá trị nguyên là D = 7
Bài5: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức E = có giá trị nguyên
Hướng dẫn giải 
Ta có 204x – 100 = 0 khi x = do đó 204x – 100 ạ 0 với mọi số nguyên x. 
Với x là số nguyên thì tử và mẫu của biểu thức là các số nguyên.
Để E có giá trị nguyên khi x là số nguyên thì .	5x + 2 204x – 100 
suy ra 204(5x + 2) 204x – 100 suy ra 5 (204x – 100) + 908 204x – 100 
suy ra 908 204x – 100 hay 227 51x – 25 suy ra 51x – 25 là ước của 227
Ta có : Ư(227) = do đó ta có các trường hợp sau:
+TH1: 51x – 25 = - 227 suy ra 51x = -202 suy ra x = -202/51 (loại vì không là số nguyên) 
+TH2: 51x – 25 = -1 suy ra 51x = 24 suy ra x = 8/17 (loại vì không là số nguyên) 
+TH3: 51x – 25 = 1 suy ra 51x = 26 suy ra x = 26/51 (loại vì không là số nguyên) 
+TH4: 51x – 25 = 227 suy ra 51x = 252 suy ra x = 84/17 (loại vì không là số nguyên) 
Vậy không có giá trị nguyên của x để E có giá trị nguyên
dạng 3: f(x) là đa thức bậc hai, g(x) là đa thức bậc nhất.
Với dạng này ta hướng dẫn học sinh quan sát biểu thức :
Tìm ĐKXĐ
Nếu tử tách được thành các nhóm hạng tử chia hết cho mẫu và phần dư là số nguyên thì ta chỉ cần tìm x sao cho giá trị của mẫu là ước của số tự do đó, sau đó thử lại bằng cách tìm giá trị của biểu thức.
Nếu tử không tách được thành các nhóm hạng tử như trên thì ta nhân thêm vào tử một BC của hệ số của tử và mẫu thích hợp vào tử sau đó tách tử thành các nhóm chia hết cho mẫu và làm như trên.
Các ví dụ:
Bài1: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A = có giá trị nguyên 
Hướng dẫn giải 
ĐKXĐ: 1ạ x ẻ Z . 
Với 1ạ x ẻ Z thì tử và mẫu có giá trị là các số nguyên.
Để A có giá trị nguyên khi x là số nguyên thì x2 + 1 x – 1 hay x2 – 1 + 2 x – 1
Do x2 – 1 x – 1 suy ra 2 x – 1 hay x – 1 là ước của 2. 
Ta có Ư(2) = nên ta có các trường hợp sau:
+TH1: x – 1 = -2 suy ra x = -1 khi đó A = -1 (thoả mãn) 
+TH2: x – 1 = -1 suy ra x = 0 khi đó A = -1 (thoả mãn) 
+TH3: x – 1 = 1 suy ra x = 2 khi đó A = 5 (thoả mãn) 
+TH4: x – 1 = 2 suy ra x = 3 khi đó A = 5 (thoả mãn) 
 Vậy với x = thì A có giá trị nguyên tương ứng là A = 
Bài2: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức B = có giá trị nguyên 
Hướng dẫn giải 
ĐKXĐ: -3 ạ x ẻ Z. 
Với -3ạ x và x là số nguyên thì tử và mẫu có giá trị là các số nguyên.
Để B có giá trị nguyên khi x là số nguyên thì x2 –2x + 3 x + 3
suy ra x2 +3x – 5x – 15 + 18 x + 3 suy ra x(x + 3) – 5(x + 3) + 18 x + 3
Do x(x + 3) – 5(x + 3) x + 3 suy ra 18 x + 3 suy ra x + 3 là ước của 18
Ta có Ư(18) = nên ta có các trường hợp sau:
+TH1: x + 3 = -18 suy ra x = -21 khi đó B = -27 (thoả mãn) 
+TH2: x + 3 = -9 suy ra x = -12 khi đó B = -19 (thoả mãn) 
+TH3: x + 3 = -6 suy ra x = -9 khi đó B = -17 (thoả mãn) 
+TH4: x + 3 = -3 suy ra x = -6 khi đó B = -17 (thoả mãn) 
+TH5: x + 3 = -2 suy ra x = -5 khi đó B = -19 (thoả mãn) 
+TH6: x + 3 = -1 suy ra x = -4 khi đó B = -27 (thoả mãn) 
+TH7: x + 3 = 1 suy ra x = -2 khi đó B = 11 (thoả mãn) 
+TH8: x + 3 = 2 suy ra x = -1 khi đó B = 3 (thoả mãn) 
+TH9: x + 3 = 3 suy ra x = 0 khi đó B = 1 (thoả mãn) 
+TH10: x + 3 = 6 suy ra x = 3 khi đó B = 1 (thoả mãn) 
+TH11: x + 3 = 9 suy ra x = 6 khi đó B = 3 (thoả mãn) 
+TH12: x + 3 = 18 suy ra x = 15 khi đó B = 11 (thoả mãn) 
Vậy với x = thì B có giá trị nguyên tương ứng là B = 
Bài3: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức C = có giá trị nguyên
Hướng dẫn giải 
 Ta thấy với x là số nguyên thì 3x + 4 luôn khác 0 và tử và mẫu của biểu thức C có giá trị là các số nguyên. 
Để C có giá trị nguyên khi x là số nguyên thì :
 2x2 – 3x + 5 3x + 4 suy ra 9(2x2 – 3x + 5) 3x + 4 
hay: 18x2 – 27x + 45 3x + 4 suy ra 6x(3x + 4) –17(3x + 4) + 113 3x + 4
suy ra 113 3x + 4 suy ra 3x + 4 là ước của 113. Ta có Ư(113) = 
Do đó ta có các trường hợp sau:
+TH1: 3x + 4 = - 113 suy ra x = - 39 khi đó C = -28 (thoả mãn) 
+TH2: 3x + 4 = - 1 suy ra x = - 5/3 (loại vì không là số nguyên) 
+TH3: 3x + 4 = 1 suy ra x = - 1 khi đó C = 10 (thoả mãn) 
+TH4: 3x + 4 = 113 suy ra x = 109/3 (loại vì không là số nguyên) 
Vậy với x thì C có giá trị nguyên tương ứng là C = 
Bài4: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức D = có giá trị nguyên
Hướng dẫn giải 
Nhận xét: với mọi x là số nguyên thì 2x – 1 khác 0 Khi đó với x là số nguyên thì tử và mẫu có giá trị là các số nguyên.
Để D có giá trị nguyên khi x nhận giá trị nguyên thì x2 – 2x 2x – 1 
suy ra 4(x2 – 2x) 2x – 1 suy ra 4x2 – 8x 2x – 1
 	hay : 2x(2x – 1) –3 (2x – 1) - 3 2x – 1 
	Do 2x(2x – 1) –3 (2x – 1) 2x – 1 suy ra 3 2x – 1 hay 2x –1 là ước của 3
Ta có Ư(3) = nên ta có các trường hợp sau:
+TH1: 2x – 1 = -3 suy ra x = -1 khi đó D = -1 (thoả mãn) 
+TH2: 2x – 1= -1 suy ra x = 0 khi đó D = 0 (thoả mãn) 
+TH3: 2x – 1 = 1 suy ra x = 1 khi đó D = -1 (thoả mãn) 
+TH4: 2x – 1= 3 suy ra x = 2 khi đó D = 0 (thoả mãn) 
Vậy với x = thì D có giá trị nguyên tương ứng là : D = 
Bài5: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức E = có giá trị nguyên
Hướng dẫn giải 
ĐKXĐ: 3 ạ x ẻ Z. 
Với 3 ạ x ẻ Z thì giá trị của tử và mẫu là các số nguyên.
Để E có giá trị nguyên với x là số nguyên thì 3x2 – 2x + 1 3 – x 
suy ra 3x2 – 2x + 1 x – 3 suy ra 3x(x – 3) + 7(x – 3) + 22 x – 3 
Do 3x(x – 3) + 7(x – 3) x – 3 suy ra 22 x – 3 khi đó x – 3 là ước của 22.
Ta có Ư(22) = nên ta có các trường hợp sau:
+TH1: x – 3 = -22 suy ra x = -19 khi đó E = 51 (thoả mãn) 
+TH2: x – 3 = -11 suy ra x = -8 khi đó E = 19 (thoả mãn) 
+TH3: x – 3 = -2 suy ra x = 1 khi đó E = 1 (thoả mãn) 
+TH4: x – 3 = -1 suy ra x = 2 khi đó E = 9 (thoả mãn) 
+TH5: x – 3 = 1 suy ra x = 4 khi đó E = -41 (thoả mãn) 
+TH6: x – 3 = 2 suy ra x = 5 khi đó E = -33 (thoả mãn) 
+TH7: x – 3 = 11 suy ra x = 14 khi đó E = -51 (thoả mãn) 
+TH8: x – 3 = 22 suy ra x = 25 khi đó E = -83 (thoả mãn) 
Vậy với x = thì E có giá trị nguyên tương ứng là : 
 E = 
Bài6: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức F = có giá trị nguyên
Hướng dẫn giải 
Nhận xét: với mọi số nguyên x thì 3 – 2x luôn khác 0. Khi đó với mọi x nguyên thì tử và mẫu có giá trị là số nguyên.
Để F có giá trị nguyên khi x nhận giá trị nguyên thì 2x2 + 12x – 5 3 - 2x 
suy ra 2(2x2 + 12x – 5) 2x – 3 suy ra 2x(2x – 3) + 15(2x – 3) + 35 2x – 3 
Do 2x(2x – 3) + 15(2x – 3) 2x – 3 suy ra 35 2x – 3 suy ra 35 2x – 3
Hay 2x – 3 là ước của 35. Ta có Ư(35) = nên ta có các trường hợp sau: 
+TH1: 2x – 3 = -35 suy ra x = -16 khi đó F = 9 (thoả mãn) 
+TH2: 2x – 3 = -7 suy ra x = -2 khi đó F = -3 (thoả mãn) 
+TH3: 2x – 3 = -5 suy ra x = -1 khi đó F = -3 (thoả mãn) 
+TH4: 2x – 3 = -1 suy ra x = 1 khi đó F = 9 (thoả mãn) 
+TH5: 2x – 3 = 1 suy ra x = 2 khi đó F =-27 (thoả mãn) 
+TH6: 2x – 3 = 5 suy ra x = 4 khi đó F =-15 (thoả mãn) 
+TH7: 2x – 3 = 7 suy ra x = 5 khi đó F =-15 (thoả mãn) 
+TH8: 2x – 3 = 35 suy ra x = 19 khi đó F =-27 (thoả mãn) 
	Vậy với x = thì F có giá trị nguyên tương ứng là :
	 F = 
dạng 4: f(x) là đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức g(x) 
*dạng mẫu là đa thức phân tích được thành nhân tử.
	Với dạng này cần hướng dẫn cho học sinh quan sát biểu thức và có thể thực hiện theo cách sau (hoặc cách giải ở dạng sau):
Tìm ĐKXĐ
Nếu A B.C thì B, C là ước của A. Từ lí luận đó ta nên phân tích mẫu thành nhân tử; sau đó tìm giá trị của biến sao cho tử chia hết cho 1 nhân tử của mẫu rồi thử lại.	
Các ví dụ:
Bài1: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A = có giá trị nguyên 
Hướng dẫn giải 
ĐKXĐ: x ạ -1; x ạ 1; x ẻ Z. Khi đó tử và mẫu có giá trị là các số nguyên.
Để biểu thức A có giá trị nguyên khi x nhận giá trị nguyên thì x + 3 x2 – 1 
hay x + 3 (x – 1)(x + 1) suy ra x + 3 x + 1. Do x + 1 x + 1
Suy ra 2 x + 1 suy ra x + 1 là ước của 2. Ta có: Ư(2) = 
 Nên ta có các trường hợp sau: 
+TH1: x + 1 = -2 suy ra x = -3 khi đó A = 0 (thoả mãn) 
+TH2: x + 1 = -1 suy ra x = -2 khi đó A = 1/3 (loại vì không là số nguyên) 
+TH3: x + 1 = 1 suy ra x = 0 khi đó A = -3 (thoả mãn) 
+TH4: x + 1 = 2 suy ra x = 1 (loại vì không thoả mãn điều kiện) 
Vậy với x = thì A có giá trị nguyên tương ứng là : A = 
Bài2: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức B = có giá trị nguyên 
Hướng dẫn giải 
ĐKXĐ: x ạ -2; x ạ 2; x ẻ Z. Khi đó tử và mẫu có giá trị là các số nguyên.
Để biểu thức B có giá trị nguyên khi x nhận giá trị nguyên thì 2x + 5 x2 – 4 
hay 2x + 5 (x – 2)(x + 2) suy ra 2x + 5 x + 2. Do 2x + 4 x + 2
Suy ra 1 x + 2 suy ra x + 2 là ước của 1. Ta có: Ư(1) = 
 Nên ta có các trường hợp sau: 
+TH1: x + 2 = -1 suy ra x = -3 khi đó B = -1/5 (loại vì không là số nguyên) 
+TH2: x + 2 = 1 suy ra x = -1 khi đó B = -1 (thoả mãn) 
Vậy với x = -1 thì B có giá trị nguyên là: B = -1
Bài3: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức C = có giá trị nguyên
Hướng dẫn giải 
ĐKXĐ: x ạ 2; x ạ 3; x ẻ Z. Khi đó tử và mẫu có giá trị là các số nguyên .
Để biểu thức C có giá trị nguyên khi x nhận giá trị nguyên thì -3x + 2 x2 – 5x + 6 
hay -3x + 2 (x – 2)(x – 3) suy ra -3x + 2 x – 3 suy ra -3(x – 3) – 7 x – 3 
 Do	 –3(x – 3)x x – 3 	 suy ra 7x – 3 hay x – 3 là ước của 7
Ta có: Ư(7) = Nên ta có các trường hợp sau: 
+TH1: x – 3 = -7 suy ra x = -4 khi đó C = 1/3 (loại vì không là số nguyên) 
+TH2: x – 3 = -1 suy ra x = 2 (loại vì không thuộc điều kiện xác định) 
+TH3: x – 3 = 1 suy ra x = 4 khi đó C = - 5 (thoả mãn) 
+TH4: x – 3 = 7 suy ra x = 10 khi đó C = -1/2 (loại vì không là số nguyên) 
	Vậy với x = 4 thì C có giá trị nguyên là C = -5
Bài4: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức D = có giá trị nguyên
Hướng dẫn giải 
ĐKXĐ: x ạ1; x ẻ Z. Khi đó tử và mẫu có giá trị là các số nguyên .
Để biểu thức C có giá trị nguyên khi x nhận giá trị nguyên thì: x2 - 4 x3 - 1 
hay x2 - 4 (x – 1)(x2 + x + 1 suy ra x2 - 4 x - 1 
suy ra x(x – 1) + (x – 1) – 3 x – 1 	Do x(x – 1) + (x – 1) x – 1 
 suy ra 	 3x – 1 	 hay x – 1 là ước của 3
Ta có: Ư(3) = Nên ta có các trường hợp sau: 
+TH1: x – 1 = -3 suy ra x = -2 khi đó D = 0 (thoả mãn) 
+TH2: x – 1 = -1 suy ra x = 0 khi đó D = 4 (thoả mãn) 
+TH3: x – 1 = 1 suy ra x = 2 khi đó D = 0 (thoả mãn) 
+TH4: x – 1 = 3 suy ra x = 4 khi đó D = 4/5 (loại vì không là số nguyên) 
Vậy với x = thì D có giá trị nguyên tương ứng là : D = 
Bài5: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức E = có giá trị nguyên
Hướng dẫn giải 
ĐKXĐ: x ạ1; x ẻ Z. Khi đó tử và mẫu có giá trị là các số nguyên .
Để biểu thức E có giá trị nguyên khi x nhận giá trị nguyên thì x2 + 2 x3 – 3x + 2 
hay x2 + 2 (x – 1)(x2 – 2x –2) 	 suy ra x2 + 2 x - 1 
suy ra x(x – 1) + (x – 1) + 3 x – 1 	 Do x(x – 1) + (x – 1) x – 1 
 suy ra 	 3x – 1 	 	 hay x – 1 là ước của 3
Ta có: Ư(3) = Nên ta có các trường hợp sau: 
+TH1: x – 1 = -3 suy ra x = -2 khi đó D = -1/3 (loại vì không là số nguyên) 
+TH2: x – 1 = -1 suy ra x = 0 khi đó D = 1 (thoả mãn) 
+TH3: x – 1 = 1 suy ra x = 2 khi đó D = -3 (thoả mãn) 
+TH4: x – 1 = 3 suy ra x = 4 khi đó D = 1 (thoả mãn) 
Vậy với x = thì E có giá trị nguyên tương ứng là : E = 
Bài6: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức F = có giá trị nguyên
Hướng dẫn giải 
ĐKXĐ: x ạ-1; x ạ1; x ẻ Z. Khi đó tử và mẫu có giá trị là các số nguyên .
Để biểu thức F có giá trị nguyên khi x nhận giá trị nguyên thì : x4 + 1 x6 – 1 
hay x4 + 1 (x2 – 1)(x4 + x2 + 1) 	 suy ra x4 + 1 x2 - 1 
suy ra x2(x2 – 1) + (x2 – 1) + 2 x2 – 1 	 Do x2(x2 – 1) + (x2 – 1) x2 – 1 
 suy ra 	 2x2 – 1 	 	 hay x2 – 1 là ước của 2
Ta có Ư(2) = nên ta có các trường hợp sau: 
+TH1: x2 – 1 = -2 suy ra x2 = -1 (loại )
+TH2: x2 – 1 = -1 suy ra x = 0 khi đó F = -1 (thoả mãn) 
+TH3: x2 – 1 = 1 suy ra x2 = 2 (loại )
+TH4: x2 – 1 = 2 suy ra x2 = 3 (loại )
	Vậy với x = 0 thì F có giá trị nguyên là : F = -1
*dạng mẫu là đa thức không phân tích được thành nhân tử.
 Các ví dụ:
Với dạng này ta hướng dẫn học sinh tìm cách giải như sau:
Tìm ĐKXĐ
Chia tử cho mẫu, quy đồng các hệ số của thương để được một đa thức với hệ số nguyên.
Xét xem với giá trị của biến làm thương bằng 0 có làm cho giá trị của biểu thức là số nguyên không.
Sau đó nhân tử với đa thức thương với hệ số nguyên ở trên rồi mang kết quả chia cho mẫu được một đa thức và dư là một số tự do , ta tìm số nguyên x sao cho mẫu là ước của ; thử lại bằng cách thay các giá trị của x vừa tìm được vào biểu thức rồi kết luận chung.
Các ví dụ
Bài1: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A = có giá trị nguyên 
Hướng dẫn giải 
Nhận xét: với mọi số nguyên x thì x2 + 1 1; Khi đó tử và mẫu có giá trị là các số nguyên.
Để A có giá trị nguyên khi x nhận giá trị nguyên thì x + 1x2 + 1 	(1)
Với x = -1 thì A = 0 (thoả mãn) 
Với x -1; Từ (1) suy ra (x – 1)(x + 1) x2 + 1 suy ra x2 + 1 – 2 x2 + 1
Do x2 + 1 x2 + 1 suy ra 2x2 + 1 hay x2 + 1 là ước dương khác 1 của 2
Ta có Ư(2) = suy ra ước dương khác 1 của 2 là 2. 
Suy ra x2 + 1 = 2 suy ra x = -1 hoặc x = 1
	Với x = -1 thì A = 0 (thoả mãn) 
	Với x = 1 thì A = 1 (thoả mãn) 
	Vậy với x thì A có giá trị nguyên tương ứng là: A = 
Bài2: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức B = có giá trị nguyên 
Hướng dẫn giải 
Nhận xét: với mọi số nguyên x thì x2 + 2 2; Khi đó tử và mẫu có giá trị là các số nguyên.
Để A có giá trị nguyên khi x nhận giá trị nguyên thì x + 4x2 + 2	 (2)
Với: x = 4 khi đó B = 4/9 (loại vì không là số nguyên) 
Với: x 4; từ (2) suy ra (x – 4)(x + 4) x2 + 2 
suy ra x2 + 2 – 18 x2 + 2. Do x2 + 2 x2 + 2 suy ra 18 x2 + 2 hay x2 + 2 là ước dương lớn hơn 1 của 18. Ta có Ư(18) = 
suy ra x2 + 2 có thể lấy trong các giá trị: nên ta có các trường hợp sau: 
+TH1: x2 + 2 = 2 suy ra x = 0 khi đó B = 2 (thoả mãn) 
+TH2: x2 + 2 = 3 suy ra x = -1 khi đó B = 1 (thoả mãn) 
	 	 Hoặc x = 1 khi đó B = 5/3 (loại vì không là số nguyên) 
+TH3: x2 + 2 = 6 suy ra x = -2 khi đó B = 1/2 (loại vì không là số nguyên) 
	Hoặc x = 2 khi đó B = 1 (thoả mãn) 
+TH4: x2 + 2 = 9 suy ra x2 = 7 (loại vì không là số nguyên) 
+TH5: x2 + 2 = 18 suy ra x = -4 khi đó B = 0 (thoả mãn) 
	Hoặc x = 4 khi đó B = 4/9 (loại vì không là số nguyên) 
	Vậy với x = thì B có giá trị nguyên tương ứng là:
	 B = 
Bài3: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức C = có giá trị nguyên
Hướng dẫn giải 
Nhận xét: với mọi số nguyên x thì 3x2 + 1 1; Khi đó tử và mẫu có giá trị là các số nguyên.
Để C có giá trị nguyên khi x nhận giá trị nguyên thì 2x – 6 3x2 + 1	 (3)
Với: x = -3 thì C = -3/7 (loại vì không là số nguyên) 
Với: x -3 khi đó 3x + 90 từ (3) suy ra (3x + 9)(2x – 6) 3x2 + 1
Suy ra 6x2 - 54 3x2 + 1 hay 2(3x2 + 1) – 56 3x2 + 1. Do 2(3x2 + 1) 3x2 + 1
Suy ra 56 3x2 + 1 Mà 3x2 + 1 1 với mọi x nên 3x2 + 1 là ước dương của 56. Ta có các ước dương của 56 là: 1; 2; 4; 7; 8; 14; 28; 56 nên ta có các trường hợp sau: 
+TH1: 3x2 + 1 = 1 suy ra x = 0 khi đó C = -6 (thoả mãn) 
+TH2: 3x2 + 1 = 2 suy ra x2 = 1/3 (loại) 
+TH3: 3x2 + 1 = 4 suy ra x = -1 khi đó C = -2 (thoả mãn) 
	 Hoặc x = 1 khi đó C = -1 (thoả mãn) 
+TH4: 3x2 + 1 = 7 suy ra x2 = 2 (loại) 
+TH5: 3x2 + 1 = 8 suy ra x2 = 7/3 (loại) 
+TH6: 3x2 + 1 = 14 suy ra x2 = 13/3 (loại) 
+TH7: 3x2 + 1 = 28 suy ra x = -3 khi đó C = -3/7 (loại vì không là số nguyên) 
	 Hoặc x = 3 khi đó C = 0 (thoả mãn) 
+TH8: 3x2 + 1 = 56 suy ra x2 = 55/3 (loại) 
	Vậy với x = thì C có giá trị nguyên tương ứng là : C = 
Bài4: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức D = có giá trị nguyên
Hướng dẫn giải 
Nhận xét: Với mọi số nguyên x thì 2x2 + 1 có giá trị là số nguyên. Khi đó tử và mẫu có giá trị là các số nguyên.
Để D có giá trị nguyên khi x nhận giá trị nguyên thì 1 – 3x 2x2 + 1	 (4)
Ta có với x nguyên thì 6x + 2 0 từ (4) suy ra : (6x + 2)(1 – 3x) 2x2 + 1	
Suy ra -18x2 + 2 2x2 + 1 hay –9(2x2 + 1) + 11 2x2 + 1. 
 	Do –9(2x2 + 1) 2x2 + 1 suy ra 11 2x2 + 1 vì 2x2 + 1> 0 với mọi x nguyên nên ta có 2x2 + 1 là ước dương của 11
Ta có Ư(11) = 	nên ta có các trường hợp sau: 
+TH1: 2x2 + 1 = 1 suy ra x = 0 khi đó D = 1 (thoả mãn) 
+TH2: 2x2 + 1 = 11 suy ra x2 = 5 (loại)
	Vậy với x = 0 thì D có giá trị nguyên là D = 1
Bài5: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức E = có giá trị nguyên 
Hướng dẫn giải
Nhận xét: với mọi số nguyên x thì biểu thức 2x2 + 1 luôn khác 0, Khi đó tử và mẫu có giá trị là các số nguyên.
Để biểu thức E có giá trị nguyên khi x nhận giá trị nguyên thì :
2x – 6 5x2 + 1 (5)
Với x = -3 thì E = -12/46 (loại vì không là số nguyên) 
Với x -3 từ (5) suy ra (5x + 15 )(2x – 6) 5x2 + 1
 Suy ra 10x2 - 90 5x2 + 1
 Suy ra 2(5x2 + 1) – 92 5x2 + 1
Do 2(5x2 + 1) 5x2 + 1 suy ra 92 5x2 + 1
 Do 5x2 + 11 nên suy ra 5x2 + 1 là ước dương của 92. ta có các ước dương của 92 là: 1; 2; 4; 23; 46; 92 nên ta có các trường hợp sau: 
+TH1: 5x2 + 1 = 1 suy ra x = 0 khi đó E = -6 (thoả mãn) 
+TH2: 5x2 + 1 = 2 suy ra x2 = 1/5 (loại vì không là số nguyên) 
+TH3: 5x2 + 1 = 4 suy ra x2 = 3/5 (loại vì không là số nguyên) 
+TH4: 5x2 + 1 = 23 suy ra x2 = 22/5 (loại vì không là số nguyên) 
+TH5: 5x2 + 1 = 46 suy ra x2 = 9 suy ra x = -3 (loại) 
	Hoặc x = 3 khi đó E = 0 (thoả mãn) 
+TH6: 5x2 + 1 = 92 suy ra x2 = 91/5 (loại vì không là số nguyên) 
	Vậy với x thì E có giá trị nguyên tương ứng là E = 
dạng 5: f(x) là đa thức bậc hai, g(x) là đa thức bậc hai.
Khi gặp dạng toán này thông thường ta hướng dẫn học sinh quan sát:
 Nếu tử tách được thành các nhóm hạng tử chia hết cho mẫu và phần dư là số nguyên thì ta chỉ cần tìm x sao cho giá trị của mẫu là ước của số tự do đó, sau đó thử lại bằng cách tìm giá trị của biểu thức.
Nếu tử không tách được thành các nhóm hạng tử như trên thì ta nhân thêm vào tử một BC của hệ số của tử và mẫu thích hợp vào tử sau đó tách tử thành các nhóm chia hết cho mẫu nếu phần dư là số nguyên thì ta làm như trên làm như trên.
Nếu làm như ý thứ 2 mà phần dư là đa thức bậc 1 thí ta đưa về dạng 4 để làm tiếp.
Các ví dụ:
Bài1: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thứ