20 Chuyên đề ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 6

CHUYÊN ĐỀ.GIÁ TRỊ MIN-MAX VÀ BẤT ĐẲNG THỨC
A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Với mọi và mọi ta có: , và khi .
Với mọi ta có: , và khi .
 (với cùng dấu) thì .
 (với là số tự nhiên).
II. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Tìm GTLN - GTNN của biểu thức chứa lũy thừa với số mũ chẵn.
Với , là biểu thức chứa và là số tùy ý, ở dạng này ta đưa ra hai loại bài toán cơ bản như sau:
Loại 1: Tìm GTNN của biểu thức dạng: với .
Hướng giải: Với và mọi ta có .
Do đó GTNN của là khi .
Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức .
Lời giải
Với mọi ta có , và khi hay .
Vậy GTNN của biểu thức là khi .
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) 
b) 
Lời giải
a) Vì nên .
Dấu bằng xảy ra khi 
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 2019 khi .
b) Vì . Dấu bằng xảy ra khi .
Vậy giá trị nhỏ nhất của bằng khi .
Ví dụ 3: Tìm GTNN của biểu thức .
Lời giải
Với mọi ta có , và khi hay .
Với mọi ta có , và khi hay .
Do đó với mọi ta có: hay .
Ta có khi xảy ra đồng thời và hay 
Vậy GTNN của biểu thức là khi .
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 và 
Lời giải
+ Ta có: 
Dấu bằng xảy ra khi .
Vậy giá trị nhỏ nhất khi 
+ Ta có: 
Dấu bằng xảy ra khi .
Vậy giá trị nhỏ nhất khi .
Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 
Phân tích:
Với bài toán mà biểu thức chưa có dạng . Ta đặt thừa số chung để đưa về dạng 
Lời giải
Ta có: 
+ Vì nên .
Dấu bằng xảy ra khi 
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 29 khi .
Loại 2: Tìm GTNN của biểu thức dạng: với .
Hướng giải: Với và mọi ta có .
Do đó GTLN của là khi .
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau
a) .
b) .
Lời giải
a) Vì nên .
Dấu bằng xảy ra khi 
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức bằng khi .
b) Vì .
Dấu bằng xảy ra khi .
Vậy giá trị lớn nhất của bằng khi 
Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức .
Lời giải
Ta có: 
Với mọi ta có , và khi hay .
Với mọi ta có , và khi hay .
Do đó với mọi ta có: hay .
Vậy GTLN của biểu thức là khi và .
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Lời giải
+ Ta có: 
Dấu bằng xảy ra khi .
Vậy giá trị lớn nhất khi .
Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Lời giải
Ta có: 
+ Vì nên .
Dấu bằng xảy ra khi .
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức bằng khi .
Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Lời giải
Ta có:
Vì 
Dấu bằng xảy ra khi .
Vậy giá trị lớn nhất khi .
Dạng 2: Tìm GTLN - GTNN của phân thức.
Ở dạng này xét các bài toán: Tìm số nguyên ( hoặc số tự nhiên ) để phân thức có GTLN – GTNN.
Loại 1: với là các số nguyên đã biết.
+ Nếu thì:
 có GTLN khi là số dương nhỏ nhất ứng với nguyên .
 có GTNN khi là số âm lớn nhất ứng với nguyên.
+ Nếu thì:
 có GTLN khi là số âm lớn nhất ứng với nguyên.
 có GTNN khi là số dương nhỏ nhất ứng với nguyên.
Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên để có GTLN. Tìm GTLN đó.
Lời giải
Ta có tử là nên có GTLN khi và có GTNN ứng với .
Xét .
Do đó để và có GTNN ứng thì phải là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn .
Từ đó ta suy ra và GTLN của là .
Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên để có giá trị lớn nhất
Lời giải
Ta có: và không đổi.
có giá trị lớn nhất khi là số nguyên dương nhỏ nhất .
Ta có: .
Do và là số nguyên dương nhỏ nhất suy ra: . Khi đó đạt giá trị lớn nhất là 
Vậy .
Ví dụ 3: Tìm số nguyên để có giá trị nhỏ nhất.
Lời giải
Ta có: và không đổi.
có giá trị nhỏ nhất khi là số nguyên âm lớn nhất .
Ta có: .
Do và là số nguyên âm lớn nhất suy ra:. Khi đó đạt giá trị nhỏ nhất là 
Vậy .
Ví dụ 4: Tìm để phân số có giá trị lớn nhất.
Lời giải
Ta có: và không đổi.
có giá trị lớn nhất khi là số nguyên dương nhỏ nhất .
Ta có: vì .
Do đó nhỏ nhất bằng khi nên đạt giá trị lớn nhất là 
Vậy .
Loại 2: với là các số nguyên đã biết.
Tách .
Việc tìm nguyên để có GTLN – GTNN trở thành bài toán tìm nguyên để có GTLN hoặc có GTNN (Bài toán loại 1).
Chú ý ta có thể cách tách biểu thức theo cách sau:
Ví dụ 1: Tìm số nguyên để có GTNN. Tìm GTNN đó.
Lời giải
Ta có: 
Do đó biểu thức đạt GTNN khi đạt GTLN.
Mặt khác, do tử là nên đạt GTLN khi và có GTNN ứng với .
Xét .
Do đó để và có GTNN ứng với thì phải là số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn .
Từ đó ta suy ra và GTNN của là .
Ví dụ 2: Tìm số nguyên để đạt GTLN. Tìm GTLN đó.
Lời giải
Ta có: .
Do đó biểu thức đạt GTLN khi đạt GTLN.
Mặt khác, do tử là nên đạt GTLN khi và có GTNN ứng với .
Xét .
Do đó để và có GTNN ứng với thì phải là số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn .
Từ đó ta suy ra và GTLN của là .
Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên để có giá trị nhỏ nhất.
Lời giải
Ta có: 
đạt giá trị nhỏ nhất khi biểu thứcđạt giá trị nhỏ nhất, khi đó lớn nhất.
Do và không đổi.
Phân số có giá trị lớn nhất khi là số nguyên dương nhỏ nhất .
Ta có: .
Dovàlà số nguyên dương nhỏ nhất suy ra: .
Khi đó đạt giá trị nhỏ nhất là 
Ngoài hai loại cơ bản trên thì khi thay bởi các lũy thừa bậc cao hơn của ta được các bài toán mở rộng.
Dạng 3: Tìm GTLN - GTNN của biểu thức chứa giá trị tuyệt đối.
Với là biểu thức chứa và là số tùy ý, ở dạng này ta đưa ra hai loại bài toán cơ bản như sau:
Loại 1: Tìm GTNN của biểu thức dạng: với .
Hướng giải: Với và mọi ta có .
Do đó GTNN của là khi .
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của .
Lời giải
Ta có: với mọi nên .
Vậy đạt giá trị nhỏ nhất bằng 12 tại .
Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức .
Lời giải
Với mọi ta có hay 
Vậy GTNN của biểu thức là khi hay .
Loại 2: Tìm GTLN của biểu thức dạng: với .
Hướng giải: Với và mọi ta có .