Bài tập môn Toán Lớp 6 - Chuyên đề 8: Giá trị tuyệt đối

CHUYÊN ĐỀ: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
A. LÝ THUYẾT:
1. Định nghĩa: 
- Khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số là giá trị tuyệt đối của một số a ( a là số thực)
2. Chú ý:
- Giá trị tuyệt đối của số không âm là chính nó, giá trị tuyệt đối của số âm là số đối của nó.
 	TQ: 	
Nếu 	Nếu 
 	Nếu x - a ³ 0=> = x - a	Nếu x - a £ 0=> = a - x
3. Tính chất: 
- Giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm: với mọi a Î R
- Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và ngược lại hai số có giá trị 
tuyệt đối bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đối nhau. 
- Mọi số đều lớn hơn hoặc bằng đối của giá trị tuyệt đối của nó và đồng thời nhỏ hơn hoặc bằng 
giá trị tuyệt đối của nó: và 
- Trong hai số âm số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối lớn hơn: Nếu 
- Trong hai số dương số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn: Nếu 
- Giá trị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối: 
- Giá trị tuyệt đối của một thương bằng thương hai giá trị tuyệt đối: 
- Bình phương của giá trị tuyệt đối của một số bằng bình phương số đó: 
- Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của hai số, dấu bằng 
xảy ra khi và chỉ khi hai số cùng dấu: và 
Dạng 1: PHÁ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Bài 1: Phá giá trị tuyệt đối:
a, 	b, 	c, 	 	d, 
HD :
a, Ta có: 	b, 
	c, 	
Bài 2: Phá giá trị tuyệt đối:
a, 	b, 
HD :
a, Ta có bẳng sau :
x
 2 3 
2x-4
 - 0 + / + 
x-3
 - / - 0 + 
Khi đó ta có :
	Nếu 
	Nếu 
	Nếu 
	b,
 Ta có bẳng sau :
x
 -6 5 
x-5
 - / - 0 + 
x+6
 - 0 + / + 
Khi đó ta có :
	Nếu 
	Nếu 
	Nếu 
Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau:
a, 	b, 
HD:
a, Nếu 
	Nếu 
	b, Nếu 
	Nếu 
Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau:
a, 	b, 
HD:
a, Nếu :
	Nếu 	
	b, Nếu 
	Nếu 
Bài 5: Tính giá trị của biểu thức: 
a, , Với 	 	b, B = với 
HD:
a, Vì 
	TH1 : 
	TH2 : 
	b, Vì 
	TH1 : 
	TH2 : 
Bài 6: Tính giá trị của biểu thức: 
a, với 	b, với 
HD:
a, Với 
	b, Với 
Bài 7: Tính giá trị của biểu thức: 
a, với x = 4 	 b, với 
HD:
a, Với 
	b, Với 
	TH1 : 	TH2 : 	
Dạng 2: 
Bài 1: Tìm x biết: 
a, 	b, 	c, 
HD:
a, 
b, 
c, 
Bài 2: Tìm x biết: 
a, 	b, 
HD :
a, Ta có : 
	b, Ta có :
Bài 3: Tìm x nguyên biết :
a, 	b, 
HD :
a, 
	b, Vì 
Bài 4: Tìm x biết: 
a, 	b, 	c, 	
Bài 5: Tìm x biết: 
a, 	b, 	c, 	
Bài 6: Tìm x, y biết:
a, 	b, 	c, 
Bài 7: Tìm x biết:
a, 	b, 	c, 
Bài 8: Tìm x biết:
a, 	b, 	c,
Bài 9: Tìm x biết:
a, 	b, 	c, 
Bài 10: Tìm x biết:
a, 	b, 	c, 	
Bài 11: Tìm x biết:
a, 	b, 	c, 	
Bài 12: Tìm x biết:
a, 	b) 	c, 	
Bài 13: Tìm x biết:
a,	b, 	c, 
Bài 14: Tìm x biết:
a, 	b, 	c, 
Bài 15: Tìm x biết:
a, 	b, 	c, 	
Dạng 3: 
Phương pháp: 
- Chia khoảng phá GTTĐ
Bài 1: Tìm x biết: 
a, 	b, 
HD:
	a, 	TH 1 : (t/m)
	TH2 : (t/m)
	b, 	 
Bài 2: Tìm x biết: 
a, 	b, 	c, 
HD:
a, 	TH1 : 
	TH2 : 
	b, 	TH1 : (loại)
	TH2 : (t/m)
	c, 	TH1 :(t/ m)
	TH2 : (loại)
Bài 3: Tìm x biết: 
a, 	b, 	c, 
HD :
a, 	
	b, 	 (t/m)
	(t/m)
	c, 	(t/m)
	(t/m)	
Bài 4 : Tìm x biết : 
a, 	 	 b, 	 c, 
HD:
a, 	
	b, 	
	c, 	
Bài 5: Tìm x biết: 
a, 	b,	c, 
HD:
a, 	 
	b, 	
	c, 	
Bài 6: Tìm x biết: 
a, 	b, 	c, 
HD:
a, 	
	b,	
	c, 	
Bài 7: Tìm x biết: 
a, 	b, 	c, 
HD:
a, 	
	b, 	
	c, 	
Bài 8: Tìm x biết: 
a, 	b, 	c,	
HD:
a, 	
	b, 	
	c, 	
Bài 9: Tìm x biết: 
a, 	b, 	
HD:
	a, 	
	b, 	
Bài 10: Tìm x biết:
a, 	b, 	c, 	d, 
Bài 11: Tìm x biết:
a, 	b, 	c, 	d, 
Bài 12: Tìm x biết: 
a, 	b, 	c, 	d, 
Bài 13: Tìm x biết:
a, 	b, 	c, 	d, 
Bài 14: Tìm x biết:
a, 	b, 	c, 	d, 
Bài 15: Tìm x biết:
a, 	b, 	c, 	d, Bài 16: Tìm x biết:
a.	b.	 	c.	d, 
Bài 17: Tìm x biết: 
a,	b.	c.	d.
Bài 18: Tìm x biết:
a. 	b.	 	c.	d,	
Bài 19: Tìm x biết: 
a.
Dạng 4: 
Phương pháp: 
- Cách 1: Tách 2 TH:
TH1: 
TH2: 
- Cách 2: Xét khoảng bằng cách lập bẳng xét dấu:
Bài 1: Tìm x biết: 
HD:
Lập bảng xét dấu ta có:
x
 - 3/2 2 
x-2
 - / - 0 + 
2x+3
 - 0 + / + 
	Khi đó ta có : 	TH1 : 
	TH2 : 
	TH3 : 
Bài 2: Tìm x biết:
a, 	b, 
HD :
a, Ta có bẳng xét dấu :
x
 3/2 2 
2x - 3
 - 0 + / + 
2 - x
 + / + 0 - 
	Khi đó ta có :	
	b, 
Bài 3: Tìm x biết:
a, 	b, 	c, 
HD :
a, Ta có bằng xét dấu :
x
 -3/2 5/3 
3x - 5
 - / - 0 + 
2x + 3
 - 0 + / + 
Khi đó ta có : 
	b, Ta có bẳng xét dấu :
x
 -2 0 
x
 - / - 0 + 
x + 2
 - 0 + / + 
Khi đó ta có : 	
	c, Ta có : 
Bài 4: Tìm x biết:
a, 	b, 	
HD :
a, Ta có bẳng sau :
x
 -3 1 
x - 1
 - / - 0 + 
x + 3
 - 0 + / + 
Khi đó ta có : 
	b, Ta có bẳng sau :
x
 -3/2 4 
2x+3
 - 0 + / + 
4-x
 - / - 0 + 
Khi đó ta có : 
Bài 5: Tìm x biết:
a, 	b, 	c, 
HD :
	a, Ta có bảng xét dấu :
x
 0 8 
x
 - 0 + / + 
8-x
 + / + 0 - 
	Khi đó ta có :	
	b, Ta có 
	c, Ta có bảng xét dấu ta có :
x
 3/2 2 
2x - 3
 - 0 + / + 
2 - x
 + / + 0 - 
	Khi đó ta có : 	
Bài 6: Tìm x biết:
HD :
Ta có bảng xét dấu :
x
 2010 2011 
x - 2011
 - / - 0 + 
x - 2010
 - 0 + / + 
Khi đó ta có : 	
Bài 7: Tìm x biết: 
HD:
	Vì 
Bài 8: Tìm x, y biết : 
a, 	b, 	c, 
HD:
a, Vì 
	b, Vì 
	c, 
Bài 9: Tìm x biết: 	
HD :
	Ta có bảng xét dấu :
x
 0 1 
x 
 - 0 + / + 
x - 1
 - / - 0 + 
Khi đó ta có : 	
Bài 10: Tìm x, y biết: 	
HD :
a, Ta có bảng xét dấu :
x
 -3/4 1 
4x + 3
 - 0 + / + 
x - 1
 - / - 0 + 
Khi đó ta có : 	
Bài 11: Tìm x biết : 
HD :
Ta có bẳng xét dấu :
x
 3/2 2 
2x - 3
 - 0 + / + 
2 - x
 + / + 0 - 
Khi đó ta có :
Bài 12: Tìm x biết:
a, 	b, 	c, 
Bài 13: Tìm x biết:
a, 	b, 	c, 
Bài 14: Tìm x biết: 
Bài 15: Tìm x biết :
a, 	b, 
Bài 16: Tìm x biết:
a, 	b, 
Bài 17: Tìm x biết: 
a, 	b, 
Bài 18: Tìm x biết:
a, 	b, 
Bài 19: Tìm x biết:
a, 	b, 
Bài 20: Tìm x biết:
a, 	b, 	c, 
Bài 21: Tìm x biết:
a, 	b, 	c, 
Bài 22: Tìm x biết:
a, 	b, 	c, 
Bài 23: Tìm x biết:
a, 	b, 	 	c, 
Bài 24: Tìm x biết:
a, 	b, 	c, 
Bài 25: Tìm x biết:
a, 	b, 	c,
Bài 26: Tìm x biết:
a, 	b, 
Dạng 5: BIỂU THỨC CÓ NHIỀU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Phương pháp: Lập bảng xét dấu
Bài 1: Tìm x biết:
a, 	b, 
Bài 2: Tìm x biết:
a, 	b, 
Bài 3: Tìm x biết:
a, 	b, 	
Bài 4: Tìm x biết:
a, 	b, 	
Bài 5: Tìm x biết:
a, 	b, 	
Bài 6: Tìm x biết:
a, 	b, 	
Bài 7: Tìm x biết:
a, 	b, 	
Bài 8: Tìm x biết:
a, 	b, 	
Bài 9: Tìm x biết:
a, 	b, 	
Bài 10: Tìm x biết:
a, 
Bài 11: Tìm x biết: 
a, 	b, 
Bài 12: Tìm x biết:
a, 	b, 
Dạng 6: hoặc 
Phương pháp:
Với 
Với 
Bài 1: Tìm x biết:
a, 	b, 	c, 
HD :
	a, 
	b, 
	c, 
Bài 2: Tìm x biết:
a, 	b, 	c, 	
HD:
a, 	
	b, 	
	c, 
Bài 3: Tìm x biết:
a, 	b, 	c, 
HD:
a, 
	b, 
	c, 
Bài 4: Tìm x biết:
a, 	b, 	c, 
HD:
a, 	
Dạng 7: SỦ DỤNG TÍNH CHẤT: 
Bài 1: Tìm x nguyên biết:
a, 	b, 
HD :
a, Ta có : 
	Dấu bằng xảy ra khi 
	b, ta có : 
	Vì , dấu bằng khi 
Bài 2: Tìm x nguyên biết: 
HD :
Ta có : 
	Dấu bằng xảy ra khi : 
Bài 3: Tìm x nguyên biết:
a, 	
HD :
a, Ta có : Đặt 
	Ta có : Nên A=3 khi và chỉ khi
	 và 
Bài 4: Tìm x nguyên biết:
a, 	
HD :
a, Ta có 
	Dấu bằng khi 
Bài 5: Tìm x nguyên biết: 
HD :
Đặt 
	Khi đó ta có : 
	Dấu bằng xảy ra khi : 
Bài 6: Tìm x biết: 	
HD :
Ta có: dấu bằng xảy ra khi 
Bài 7: Tìm x biết: 
HD:
, và 
	Nên: , dấu bằng xảy ra khi 
Bài 8: Tìm x nguyên biết: 
HD :
Vì 
	Với 
Bài 9: Tìm biết: 
HD :
Vì 
	Với 
Bài 10: Tìm x, biết .
Bài 11: Tìm x biết: 
HD :
Vì 
	Khi đó : 
Bài 12 : Tìm x biết :
a, 	
HD:
a, Vì 
Khi đó: 
Bài 13: Tìm x biết :
a, 	b, 
Bài 14: Tìm x biết:
a, 	b, 
Bài 15: Tìm x biết:
a, 	b, 
Bài 16: Tìm x biết:
a, 
Bài 17: Tìm x biết: 
Bài 18: Tìm x biết:
a, 	b, 
Bài 19: Tìm x biết:
a,	b, 	c, 
Bài 20: Tìm x biết:
a, 	b, 	c, 
Bài 21: Tìm x biết:
a, 	 	b, 	 	c, 
Bài 22: Tìm x biết:
a, 	 	b, 	 	c, 
Bài 23: Tìm x, y thoả mãn :
a) 	
Bài 24: Tìm x, y thoả mãn:
a) 
Bài 25: Tìm x thoả mãn:
a) 	
Bài 26: Tìm x biết: 
Bài 27: Tìm x biết: 
Bài 28: Tìm x biết: 
Bài 29: Tìm x biết c, 
Bài 30: Tìm x nguyên biết:
a, 	b, 	c, 
Bài 31: Tìm số nguyên x, y biết:
a, x+y=4 và 	b, x+y=4 và 	
Bài 32: Tìm số nguyên x, y biết:
a, x-y =3 và 	b, x-2y=5 và 
Bài 33: Tìm số nguyên x, y biết:
a, x+y=5 và 	b, x-y=3 và 
Bài 34: Tìm số nguyên x, y biết:
a, x-y=2 và 	b, 2x+y=3 và 
Bài 35: Tìm x biết : 
DẠNG 8: Tìm x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức : 
Phương pháp :
+ Nếu 
+ Nếu Tìm B rồi suy ra tìm A
Bài 1: Tìm các cặp số nguyên x, y thỏa mãn :
a, 	b, 	c, 
Bài 2: Tìm các cặp số nguyên x, y thỏa mãn :
a, 	b, 	c, 
Bài 3: Tìm cặp số nguyên (x ;y) thỏa mãn :
a, 	b, 	c, 
HD :
	a, Do 
Bài 4: Tìm cặp số nguyên x, y thỏa mãn :
a, 	b, 	c, 
Bài 5: Tìm cặp số nguyên (x ;y) thỏa mãn :
a, 	b, 	c, 
Bài 6: Tìm cặp số nguyên (x ;y) thỏa mãn :
a, 	b, 	c, 
Bài 7: Tìm x, y biết : 
a, 	b, 	
HD:
a, Vì 
	b, Vì 
Bài 8: Tìm x, y biết : 
a, 	b, 
HD :
a, 
b, Vì 
Bài 9: Tìm x nguyên biết:
a, 	b, 
HD:
a, 
	b, 
Bài 10: Tìm x, y biết:
a, 	b, 	c, 
Bài 11: Tìm x,y biết:
a, 	b, 	c, 
Bài 12: Tìm x,y biết:
a, 	b, 	c, 
Bài 13: Tìm x,y biết:
a, 	 b, 	c, 
Bài 14: Tìm x,y biết:
a, 	b, 	
Bài 15: Tìm x,y biết:
a, 	b, 
Bài 16: Tìm x,y biết:
a, 	b, 
Bài 17: Tìm x,y biết:
a, 	b, 
Bài 18: Tìm x,y biết:
a, 	b, 
Bài 19: Tìm x,y biết:
a, 	b, 
DẠNG 9: 
Phương pháp : Vì , Đưa về dạng 4
Bài 1: Tìm x y nguyên thỏa mãn :
a, 	b, 	c, 
HD :
a, Vì 
TH1 : 	TH2 : 	TH3 : 
Bài 2: Tìm x, y nguyên sao cho :
a, 	b, 	c, 
Bài 3 : Tìm x, y nguyên sao cho :
a, 	b, 	
DẠNG 10: 
Phương pháp :
Vì Tìm được x
Bài 1: Tìm các số cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn :
a, 	b, 	c, 
HD :
a, 
Bài 2: Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn:
a, 	b, 	c, 
Bài 3: Tìm các số nguyên x thỏa mãn:
a, 	b, 	c, 	
Bài 4: Tìm các số nguyên x thỏa mãn:
a) 	b, 	c, 
Bài 5: Tìm các số nguyên x thỏa mãn:
a) 	b, 	 c, 
Bài 6: Tìm các số nguyên x thỏa mãn:
a, 
Dạng 11: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP HAI VẾ CỦA ĐẲNG THỨC
 , trong đó: 
Bài 1: Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn:
a, 	b, 	c, 
HD:
	a, Vì 
	Mặt khác: , Để 
Bài 2: Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn:
a, 	b, 
Bài 3: Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn:
a, 	b, 
Bài 4: Tìm các cặp số nguyên x, y thỏa mãn: 
Dạng 12: TÌM MIN MAX CỦA BIỂU THỨC GTTD
Bài 1: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
a, 	b, 	c, C = 	 
HD :
a,	Ta có: 
	Khi đó A đạt GTNN bằng -4 khi 
	b, 	Ta có: 
	Khi đó B đặt GTLN bằng 1,5 khi 
	c, 	Ta có: khi đó đạt GTNN bằng 0 kho x = 3
Bài 2: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
 a, 	b, 	c, 	
HD :
a, 	Ta có: khi x=3,5
	b, 	 khi x=1,4
	c, 	 khi 
Bài 3: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
a, 	b, 	c, 
HD :
a, 	Ta có: khi 
	b, 	, khi 
	c, 	 khi 
Bài 4: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
a, 	b, 	c, 
HD:
a, 	 khi 
	b, 	 khi 
	c, 	 khi 
Bài 5: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
a, A= 	b, 	c, 
HD:
a, 	 khi 
	b, 	 khi 
	c, 	 khi 
Bài 6: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
a, 	b,	c, 
HD:
a, 	 khi 
	b, 	 khi 
	c, 	 khi 	
Bài 7: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
a, A= 	b, 	c, 
HD:
a, 	 khi 
	b, 	Dấu = xảy ra khi 
=> Không tồn tại x để xảy ra dấu bằng
Bài 8: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
a, 	b, 	c, 
HD:
a, 	 khi x=0
	b, 	 khi x=0
	c, 	 khi 
Bài 9: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
a, A= 	b, B= 	 c, C =	
HD:
a, 	 khi 
	b, 	 dấu bằng khi:
	c, 	
	Dấu bằng khi 	
Bài 10: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
a, 	b, 	c, 
HD:
a,	, Dấu bằng khi x = 0
	b, 	Ta có: 
	Dấu bằng khi: 
	c, 	, Dấu bằng khi 
Bài 11: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
a, 	b, 	c, 
HD:
a, 	Xét: 
	với , dấu bằng khi 
b, 	Xét 
Xét dấu bằng khi 
c, 	, Dấu bằng khi 
Bài 12: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
a, 	b, 	c, 
HD:
a, 	, dấu bằng khi 
	b, 	, dấu bằng khi 
	c, 	 Dấu bằng khi 
Bài 13: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
a, 	b, 
HD:
a, 	, dấu bằng khi 
	b, 	 dấu bằng khi: 
Bài 14: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
a, 	b, 	
HD:
a, 	, dấu bằng khi: 
	b, 	, Dấu bằng khi 
Bài 15: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
a, 	b, 
HD:
a, 	, dấu bằng khi 
	b, 	 dấu bằng khi 
Bài 16: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
a, 	b, 
HD :
a, 	Ta có: Dấu bằng khi 
	b, 	Ta có : , Dấu bằng khi 
Bài 17: Tìm GTNN hoặc GTLN của : 
HD : 
, Dấu bằng khi 
Bài 18: Tìm GTNN của :
a, 	b, 	c, 
HD :
a, 	Ta có :, Dấu bằng khi x = 0
	b, 	Ta có : , Dấu bằng khi 
c,	Ta có : , Dấu = khi 
Bài 19: Tìm GTNN của :
a, 	b, 	c, 	
HD :
a, 	Ta có : , 
Dấu bằng khi x = - 5
	b, 	Ta có : 
	Để D đạt min thì 
	Để D đạt max thì 
Bài 20: Tìm GTNN của :
a, 	b, 	b, 
HD :
a, 	Ta có : ,
	Mà 
, Dấu bằng khi 
	b, 	
	Mà : 
	, Dấu bằng khi 2y + 7 = 0
	c,	
	Mà => 
Bài 21: Tìm GTNN của :
a, 	b, 	 c, 
HD:
a, 	
	Khi đó : , Dấu bằng khi 5x + 7 = 0
	b, 	
	Khi đó : , Dấu bằng khi 
	d, 	
	mà 
	Hay , dấu bằng khi 
Bài 22: Tìm GTNN của :
a, 	b, 
HD :
a, 	Ta có: 
	Mà 
	Hay , Dấu bằng khi 
	b, 	Ta có: 
	Mà 
	Hay , Dấu bằng khi 
Bài 23: Tìm GTNN của :
a, 	b, 
HD :
a, Ta có: 
	Hay , Dấu bằng khi 
	b, Ta có: hay , 
Dấu bằng khi 
Bài 24: Tìm GTLN của:
a, 	b, 
HD :
a, 	Ta có: 
	Hay , Dấu bẳng khi 
	b, 	Ta có: 
	Hay , Dấu bằng khi 
Bài 25: Tìm GTLN của:
a, 	b, 
HD:
a, 	Ta có: 
	Hay Dấu bằng khi 
	b, 	Ta có: 
	Hay , Dấu bằng khi 
Bài 26: Tìm GTLN của:
a, 	b, 
HD :
a, 	Ta có: 
	Hay , Dấu bằng khi 
	b, 	Ta có:
	Hay , Dâu bằng khi 
Bài 27: Tìm GTLN của:
a, 	b, 
HD :
a, 	Ta có: 
	Hay Dấu bằng khi 
	b, 	Ta có: 
	Hay , dấu bằng khi 
Bài 28: Tìm GTLN của:
HD :
Ta có: 
	Hay , Dấu bằng khi 
Bài 29: Tìm GTNN của các biểu thức sau:
a, 	b, 	c, 
HD:
a, 	với 	(1)
	Với 
	Mà 	(2)
	Từ (1) và (2) ta cosL , Dâu bằng khi 
	b, 	Với 	(1)
	Với 
	mà 	(2)
	Từ (1) và (2) ta có : , Dấu bằng khi 
	c, 	Với 
	Mà 	(1)
Với 	(2)
	Từ (1) và (2) ta có :, Dấu bằng khi 
Bài 30: Tìm GTNN của các biểu thức sau:
a, 	b, 	c, 
HD:
a, 	Với 
	Mà => 	(1)
	Với 	(2)
	Từ (1) và (2) ta có : , Dấu bằng khi 
	b, 	Với 
	Mà 	(1)
	Với 	(2)
	Từ (1) và (2) ta có : , Dâu bằng khi 
	c, 	Với 	(1)
	Với 
	Mà => 	(2)
	Từ (1) và (2) ta có : , Dấu bằng khi 
Bài 31: Tìm GTNN của các biểu thức sau:
a, 	b, 	c, 
HD:
a, 	Với 
	Mà 	(1)
	Với 	(2)
	Từ(1) và (2) ta có : , Dấu bằng khi 
	b, 	Với 	(1)
	Với 
	Mà 	(2)
	Từ (1) và (2) ta có : , Dấu bằng khi 
	c, 	Với 
	Mà 	(1)
	Với 	(2)
	Từ (1) và (2) ta có : , Dấu bằng khi 
Bài 32: Tìm GTNN của các biểu thức sau:
a, 	b, 
HD:
a, 	Với 	( 1)
	Với 
	Mà 	(2)
	Từ (1) và (2) ta có : , Dấu bằng khi 
	b, 	Với 	(1)
	Với 
	Mà 	(2)
	Từ (1) và (2) => , Dấu bằng khi 
Bài 33: Tìm GTLN của:
a, 	b, 	c, 
HD:
a, 	Với 	(1)
	Với 
	Mà 	(2)
	Từ (1) và (2) ta có : , Dấu bằng khi 
	b, 	Với 	(1)
	Với 
	Mà 	(2)
	Từ (1) và (2) ta có : , Dấu bằng khi 
	c, 	Với 
	Mà 	(1)
	Với 	(2)
	Từ (1) và (2) ta có : , Dấu bằng khi 
Bài 34: Tìm GTLN của:
a, 	b, 	c, 
HD:
a, 	Với 	(1)
	Với 
	Mà 	(2)
	Từ (1) và (2) ta có : , Dấu bằng khi 
	b, 	Với 
	Mà 	(1)
	Với 	(2)
	Từ (1) và (2) ta có : , Dấu bằng khi 
	c, 	Với 
	Mà 	(1)
	Với 	(2)
	Từ (1) và (2) ta có : , Dấu bằng khi 
Bài 35: Tìm GTNN của biểu thức
a, 	b, 	c, 
HD
a, 	Ta có : 
	Hay , Dấu bằng khi 	
	b, 	Ta có : 
	Hay , Dấu bằng khi 
	c, 	Ta có : 
Hay , Dấu bằng khi 
Bài 36: Tìm GTNN của biểu thức
a, 	b, 	c, 
HD :
a, 	Ta có : 
	Hay , Dấu bằng khi 
	b, 	Ta có : 
	Hay , Dấu bằng khi 
	c, 	Ta có : 
	Hay , Dấu bằng khi 
Bài 37: Tìm GTNN của biểu thức
a, 	b, 	c, 
HD :
a, 	Ta có : 
	Hay , Dấu bằng khi 
	b, 	Ta có : 
	Hay , Dấu bằng khi 
	c,	Ta có : 
	Hay , Dấu bằng khi 
Bài 38: Tìm GTNN của biểu thức
a, 	b, 
HD :
a, 	Ta có : 
	Hay , Dấu bằng khi 
	b, 	Ta có : 
	Hay , Dấu bằng khi 
Bài 39: Tìm GTNN của biểu thức
a, 	b, 
HD :
a, 	Ta có : 
	Vậy Dáu bằng khi 
	b, 	Ta có : 
	Vậy Dấu bằng khi 
Bài 40: Tìm GTNN của biểu thức: 
a, 	b, 
HD :
a, 	Ta có : 
	Dấu bằng khi : => 
	b, 	Ta có : 
	Dấu bằng khi : , Vậy không tồn tại giá trị nhỏ nhất
Bài 41: Tìm GTNN của biểu thức: 
a, 	b, 
HD :
a, 	Ta có : 
	Dấu bằng khi : thỏa mãn :
	b, 	
	Dấu bằng khi thỏa mãn :
Bài 42: Cho x + y = 5. Tìm GTNN của 
HD :
Từ 
	Dấu bằng khi : 
Bài 43: Cho x – y = 3. Tìm GTNN của 
HD :
Từ 
	Dấu bằng khi :
Bài 44: Cho x – y =2. Tìm GTNN của 
HD :
Ta có : 
	Dấu bằng khi : 
Bài 45: Cho 2x+y=3. Tìm GTNN của 
HD :
Ta có : 
	Dấu bằng khi : 
Bài 46: Cho 3x – 4y=0. Tìm GTNN của 
HD :
Ta có : . Dấu bằng khi x = y = 0
Bài 47: Số giá trị của x thỏa mãn :
HD :
Ta có : 
, Dấu bằng xảy ra khi : Vậy không có giá trị nào của x
Bài 48: Cho 
HD :
Ta có :	
Bài 49: Tìm GTNN của: 
HD :
Ta có : A 
	, Dấu bằng khi : 
Bài 50: Tìm GTNN của: 
HD :
Ta có :, hay Dấu bằng khi 
Bài 51: Tìm GTNN của: 
HD :
Ta có : 
	Dấu bằng khi : 
Bài 52: Tìm GTLN của: với x nguyên 
HD :
Ta có : , để Đặt GTLN thì là số dương lớn nhất
	Hay là số dương nhỏ nhất mà x nguyên nên : 
Khi đó : 
Bài 53: Tìm GTNN của: 
HD :
Ta có : , Đặt 
	Dấu bằng khi : 
Bài 54: Cho . Rút gọn A và tìm x để A đạt GTLN
HD :
Ta có : 
	Ta có : => , Dấu bằng khi x = 0
Bài 55: Tìm x , để biểu thức: đạt GTNN
HD :
Ta có : 
	dấu bàng khi : 
Bài 56: Tìm x , để biểu thức: đạt GTNN
HD :
Ta có : 
	Dấu bằng khi : 
Bài 57: Tìm Min của: 
HD :
Ta có: dấu bằng xảy ra khi :
Bài 58: Tìm Min của : 
HD :
	Dấu bằng khi :
Bài 59: Tìm Min của các biểu thức:
a, 	b, 	c, 
Bài 60: Tìm Min của : 
a, 	(Min)	b, (Max)	c, (Min)
Bài 61: Tìm Min của : 
a, 	b, 	c, 
Bài 62: Tìm Min của : 
a, biết x Z	b, 	c, 
Bài 63: Tìm GTNN của: 
HD: 
Ta có:, Dấu “=” xảy ra khi x=3và ,
 	“=” khi y= - 3, Vậy , Dấu ‘=’ khi x=3 và y=-3
Bài 64: Tìm GTNN của và giá trị của x, y tương ứng
Bài 65: Tìm GTLN của với x là số nguyên
HD: 
Xét các Th:
Xét thì C
Xét thì C=1
Xét thì và C lớn nhất khi lớn nhất, khi x nhỏ nhất tức là x=1 khi đó C=3
Vậy Max C=3 khi x=1
Bài 66: Cho x+2y=1, Tìm Min của: 
Bài 67: Tìm Min của : 
Bài 68: Tìm GTNN của: biết x là số nguyên
Bài 69: Tìm Min của: 
Bài 70: Tìm Max của: 
a, 	b, 
Bài 71: Tìm min của: 
a,	b, 	
Bài 72: (l7) Tìm min của: 
Bài 73: Cho số tự nhiên n có hai chữ số, chữ số hàng chục là x, hàng đơn vị là y, Gọi 
a, Tìm n để M=2	b, Tìm n để M nhỏ nhất
HD: 
a, Ta có: , Mà x, y là các chữ số nên x=1 và y=8
b, để M nhỏ nhất thì lớn nhất hay y lớn nhất và x nhỏ nhất
Bài 74: Tìm GTNN của : 
Bài 75: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
HD:
 	Ta có : Dấu « = » xảy ra khi 
Lại có : , Dấu ‘=’ khi x=2016
Từ đó ta có : , Dấu bằng xảy ra khi x=2016
Bài 76: Tìm GTNN của biểu thức : 
HD:
Do dấu bằng khi x=2016. Vậy B đạt GTNN bằng 
Bài 77: Tìm giá trị nhỏ nhất cảu biêu thức: 
Bài 78: Tìm giá trị nhỏ nhất cảu A biết: 
Bài 79: Tìm giá trị nhỏ nhất cảu biểu thức : 
Bài 80 : Tìm GTLN của các biểu thức : 
Bài 81: Cho x+y=1, với giá trị nào của x và y thì biểu thức đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó?