Bài tập môn Toán Lớp 6 - Bài tập phần tính giá trị biểu thức. Lũy thừa với số mũ tự nhiên

BÀI TẬP PHẦN TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC - LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN
Bài 1: So sánh các số sau: 1) 714 và 507	2) 530 và 12410 3) 921 và 7297	
4) 3111 và 1714	 5) So sánh: với 
6) Cho A = 3 + 22 + 23 + 24 + + 22010 và B = 22011 So sánh A và B.
HD: A 	= 3 + 22 + 23 + 24 + + 22010 = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + + 22009 + 22010
 2A	= 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + + 22010 + 22011
A = 2A – A = 22011 – 1 < 22011 Vậy A < B.
7) So sánh: 2225 và 3151
HD: 2225 = 23.75 = 875 ; 3151 > 3150 mà 3150 = 32.75 = 975 
 975 > 875 nên: 3150 > 2225 .Vậy: 3151 > 3150 > 2225 
Bài 2: 1) Rút gọn phân số sau: 
2) Chứng tỏ rằng:
	a) Giá trị của biểu thức A = 5 + 52 + 53 + 54 + ... + 58 chia hết cho 30.
	b) Giá trị của biểu thức B = 3 + 33 + 35 + 37 + ... + 329 chia hết cho 273
/ Ta có A = 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 + 57 + 58
	= (5 + 52) + 52(5 + 52) + 54(5 + 52) + 56(5 + 52)
	= 30 + 52.30 + 54.30 +56 .30 = 30 . ( 1 + 52 + 54 +56) 
Vậy A = 5 + 52 + 53 + 54 + ... + 58 chia hết cho 30.
b) Ta có B = 3 + 33 + 35 + 37 + ... + 329
	= (3 + 33 + 35) + ( 37 + 39 + 311) + ... + ( 325 + 327 + 329)
	= 273 + 36 (3 + 33 + 35) + ... + 324(3 + 33 + 35)
	= 273 + 36 . 273 + ...+ 324 . 273 = 273 . (1 + 36 + ...+ 324) 
Vậy B = 3 + 33 + 35 + 37 + ... + 329 chia hết cho 273
3) Cho biểu thức:M = 1 +3 + 32+ 33 + ..+ 3118+ 3119
a) Thu gọn biểu thức M.
b) Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao?
HD: 3a) M = 1 +3 + 32+ + .+ 3118 + 3119
 3M = 3.(1 +3 + 32+ + ..+ 3118 + 3119 ) = 3 + 32 + .+ 3119 + 3120 
 3M- M =(3 + 32 + ..+ 3119 + 3120 ) - (1 +3 + 32+ + .+ 3118 + 3119 )
 2M = 3120 – 1→ 
3b) *) M = 1 +3 + 32+ + + 3118 + 3119 = (1 +3 + 32)+( 33+34+35)+ +(3117 +3118+ 3119 )
 = (1 +3 + 32)+33(1 +3 + 32)+ +3117(1 +3 + 32)
 = 13 + 33.13 + + 3117. 13 = 13( 1+ 33 + + 3117) Vậy M chia hết cho 13.
 *) M = 1 +3 + 32+ + .+ 3118 + 3119
 = (1 +3 + 32+33) +(34+35+36+37) + +( 3116+3117 +3118+ 3119 )
 = (1 +3 + 32+33)+34(1 +3 + 32+33)+ +3116(1 +3 + 32+33)
 = 40 + 34.40 + +3116.40 = 40(1+34+ + 3116)Vậy , mà nên 
4) Tính:A = 2100- 299- 298- 297 - - 22 - 2 – 1
A = 2100 – ( 299 + 298 +...+ 2 + 1) Đặt B = 299 + 298 + 297 + + 22 + 2 + 1
Ta có: 2B =2(299 + 298 + 297 + + 22 + 2 + 1) = 2100 +299 + + 22+ 2
 2B - B = (2100 +299 + + 22+ 2) – (299 + 298 + + 2 + 1)→ B = 2100 – 1
Vậy A= 2100 – (2100 – 1) = 1
6) Cho 
Chứng minh D chia hết cho 5. b) Tìm chữ số tận cùng của D.
a) Chứng tỏ rằng D chia hết cho 5: 
D = 2(1 + 2+ 22 + 23 )+ 25(1 + 2+ 22 + 23 )+29(1 + 2+ 22 + 23 )+
 +213(1 + 2+ 22 + 23 ) +217(1 + 2+ 22 + 23 )
	 =(1 + 2+ 22 + 23 )(2 + 25+29 +213 +217) 
	 = 15(2 + 25+29 +213 +217) = 5.3. (2 + 25+29 +213 +217)
 Kết luận D chia hết cho 5.
Tìm chữ số tận cùng của D:)
D chia hết cho 2 do D là tổng của các số chia hết cho 2.
D chia hết cho 5 nên Dcó chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.
D vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 5 nên có chữ số tận cùng là 0.
Bài 3: Chứng tỏ rằng tổng của hai số tự nhiên () chia hết cho 37
Ta có: = 111 . a + 111 . b = 111. ( a + b) = 37 . 3 ( a + b ) 
2) Tính: A= 21.72 - 11.72 + 90.72 + 49.125.16 B = 14: () + 14. 
C= D=
 A = 21.72 - 11.72 + 90.72 + 49.125.16 = 72(21 – 11 + 90) + 49.125.16
= 49. 100 + 49. 100. 20 = 49.100(1 + 20) = 49.100.21
C= = = 
D=
Bài 4: 1) Tính tổng:
2) Tính tích sau:
HD: 1) Tính tổng:
→
2) Tính tích:
→→
3) Tính giá trị của các biểu thức:
HD
Bài 5: 1) Thu gọn S1 = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 263 S2 = 1 +3 + 32 + 33 + + 32000 
2) Cho A = 1 + 2 + 22 + 23 + + 29; B = 5.28. Hãy so sánh A và B 
3). Cho S = 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 + 52004. Chứng minh S 126 và S 65. 
Bài 6. Người ta viết dãy số: 1; 2; 3; ... Hỏi chữ số thứ 673 là chữ số nào?
Bài 7: 1) Tìm hai số, biết: 
a) Tổng hai số bằng 361 và số lớn chia số nhỏ được thương là 9 và số dư là 11.
b) Hiệu hai số là 578 và số lớn chia số nhỏ được thương là 8 và dư là 53.
c) Cho Biết a – b = 6 và n chia hết cho 9. Tìm a và b.
2) Tìm số tự nhiên x biết : a. 
 b. 
HD: a/ Giả sử hai số cần tìm là a và b với a > b , ta có: 
	Tổng hai số bằng 361, do đó; a + b = 361 ( 1) 
	Số lớn chia số nhỏ được thương là 9 và dư 11, do đó: a = 9 . b + 11 ( 2)
Thay ( 2) vào (1), ta được:	9 . b + 11 + b = 361 
	. Vậy b = 35 suy ra a = 9 . 35 +11 = 326
b) Giả sử hai số cần tìm là a và b với a > b , ta có: 
	Hiệu hai số bằng 578, do đó; a - b = 578 ( 1) 
	Số lớn chia số nhỏ được thương là 8 và dư 53, do đó: a = 8 . b + 53 ( 2)
Thay ( 2) vào (1), ta được: 8 . b + 53 - b = 578 
Vậy b = 35 suy ra a = 578 + 75 = 653
5) Tìm các số a, b để n =. Ta có: n = 
 (vì a + b < 19).
Mà a – b = 6 nên a + b > 3. Do đó a + b = 12. Kết hợp với a – b = 6, suy ra a = 9, b = 3.
PHẦN 2: 
 Bài 1: Cho a) Viết tập hợp A dưới dạng liệt kê
b) Viết tập hợp Bchứa các phần tử thuộc A là các số chính phương
c) Tập hợp B có bao nhiêu tập hợp con
Bài 2: Cho tập hợp 
a) Viết tập hợp A bằng cách liệt kê các phần tử và cho biết tập hợp A có bao nhiêu phần tử.
b) Viết các tập hợp con của A. Tập hợp A có bao nhiêu tập hợp con?
Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức:
1) C = 
2) D = 
3) a) b) 
4) 
 d) 4,25. 58,47 – 125 + 41,53 . 4,25 
e) 1+ 
Bài 3: 1) Tìm các số tự nhiên x; y biết: 
2) Tìm các số tự nhiên x biết: 1) 2 . 52 . 32 + {[2 . 53 - (5. x + 4) . 5] : (22 . 3 . 5)} = 453
2): 	 3 ) b) 
4) 5 ) 6) x+2x+3x+4x=100
Bài 4: 1) Vẽ đ. thẳng chứa ba điểm A, B, C (theo thứ tự). Nêu các cách gọi tên đ. thẳng trên?
2) Cho trước 6 điểm A; B; C; D; E; F trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Qua hai điểm ta kẻ một đường thẳng, số đường thẳng kẻ được là bao nhiêu?
3) Cho trước 6 điểm A; B; C; D; E; F trong đó đúng ba điểm nào thẳng hàng. Qua hai điểm ta kẻ một đường thẳng, số đường thẳng kẻ được là bao nhiêu?
4) Cho trước n điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Qua hai điểm ta kẻ một đường thẳng. Số đường thẳng kẻ được là bao nhiêu?
5) Cho trước n điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Qua hai điểm ta kẻ một đường thẳng. Biết tổng số đường thẳng vẽ được là 15. Số điểm cho trước là bao nhiêu?
Bài 5: Khi chia số tự nhiên a cho 24 được số dư là 9. Hỏi số A có chia hết cho 4 không?
Bài 6: a) Thay a, b bởi các chữ số thích hợp để số chia hết cho cả 2,3 và 5.
b) Chứng tỏ rằng: chia hết cho 7.
c) Số tự nhiên a chia cho 7 dư 5,chia cho 13 dư 4. Số a chia cho 91 thì dư bao nhiêu?
e) Tìm số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng khi chia số đó cho các số 25 ; 28 ; 35 thì được các số dư lần lượt là 5 ; 8 ; 15. 
d) Tìm số tự nhiên n để các biểu thức sau là số tự nhiên: B = 
Bài 7: Hai người đi mua gạo. Người thứ nhất mua gạo nếp , người thứ hai mua gạo tẻ. Giá gạo tẻ rẻ hơn giá g ạo nếp là 20%. Biết khối lượng gạo tẻ người thứ hai mua nhiều hơn khối lượng gạo nếp là 20%. Hỏi người nào trả tiền ít hơn? ít hơn mấy % so với người kia?
B = 
HD một số bài: B = 	 	
Để B là số tự nhiên thì là số tự nhiên 18 (n+2) => n+2 ư ( 18) = 
+ n + 2= 1 n= - 1 (loại) + n + 2= 2 n= 0 
+ n + 2= 3 n= 1 + n + 2= 6 n= 4 
+ n + 2= 9 n= 7 + n + 2= 18 n= 16 
	Vậy n thì B N 	
Bài 7: Gọi giá gạo nếp là a (đồng/kg) ; khối lượng gạo nếp đã mua là b (kg) 
	Suy ra giá gạo tẻ là ; khối lượng gạo tẻ đã mua là 
Số tiền người thứ nhất phải trả là a.b (đồng) 	
Số tiền người thứ hai phải trả là a.b 	
Vậy người thứ hai trả ít tiền hơn người thứ nhất . Tỉ lệ % ít hơn là 
 a) Cho 12 điểm, không có 3 điểm nào thẳng hàng. Nối từng cặp hai điểm trong 12 điểm đó thành các đoạn thẳng. Tính số đoạn thẳng được tạo thành. 
Nối điểm thứ nhất với 11 điểm còn lại ta được 11 đoạn thẳng. 
Nối điểm thứ hai với 10 điểm còn lại ta được 10 đoạn thẳng (điểm thứ nhất đã nối với điểm thứ hai ở lần nối thứ nhất) 	
................................
Nối điểm thứ 10 với 2 điểm còn lại ta được 2 đoạn thẳng.	
Nối điểm thứ 11 với 1 điểm còn lại ta được 1 đoạn thẳng. 	
Vậy tổng số đoạn thẳng là: 11 + 10 + ... + 2 + 1 	
= (11 + 1) + (10 + 2) + (9 + 3) + (8 + 4) + (7 + 5) + 6 = 66 (đoạn thẳng) 	
- Từ giả thiết suy ra và và x+ 20 là bội chung của 25; 28 và 35.	 
- Tìm được BCNN (25; 28; 35) = 700 suy ra (x + 20) = k.700 . 
- Vì x là số tự nhiên có ba chữ số suy ra k = 1 
 x + 20 = 700 x = 680. 
b) So sánh hai số A và B: 
Bài 8: a) Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy. Tính số giao điểm của chúng.
Giải: Mỗi đường thẳng cắt 100 đường thẳng còn lai tạo nên 100 giao điểm . Có 101 đường thẳng nên có 101.100 giao điểm, nhưng mỗi giao điểm được tính hai lần nên chỉ có: (101.100) : 2 = 5050 (giao điểm). 
b) Cho 2015 điểm, không có 3 điểm nào thẳng hàng. Nối từng cặp hai điểm trong 2015 điểm đó thành các đoạn thẳng. Tính số đoạn thẳng được tạo thành.
c) Cho a là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng (a - 1)(a + 4) chia hết cho 6.
b) Chọn 1 điểm trong 2015 điểm đã cho. Qua điểm đó và 2014 điểm còn lại ta vẽ được 2014 đoạn thẳng.
Làm như vậy với tất cả 2015 điểm ta vẽ được số đoạn thẳng là ;
 2015.2014 = 5058210 ( đoạn thẳng)
Nhưng mỗi đoạn thẳng được tính 2 lần. Do đó số đoạn thẳng chỉ có là:
 5058210 : 2 = 2029105 ( đoạn thẳng).
Vậy với 2015 điểm đã cho ta vẽ được 2029105 ( đoạn thẳng).
Bài 9 : a) Hãy viết thêm đằng sau số 664 ba chữ số để nhận được số có 6 chữ số chia hết cho 5, cho 9 và cho 11.
HD: Viết thêm vào sau số 664 bà chữ số abc ta được số 
Vì chia hết cho 5, cho 9, cho 11 Nếu 
Vậy = 495 hoặc = 990 
Do đó: = 495 – 205 = 290 hoặc = 990 – 205 = 785 
Bài 10: Một số chia cho 7 dư 3, chia cho 17 dư 12, chia cho 23 dư 7 . Hỏi số đó chia cho 2737 dư bao nhiêu?
Giải: Gọi số đã cho là A. Theo bài ra ta có: A = 7.a + 3 = 17.b + 12 = 23.c + 7
Mặt khác: A + 39 = 7.a + 3 + 39 = 17.b + 12 + 39 = 23.c + 7 + 39
 = 7.(a + 6) = 17.(b + 3) = 23.(c + 2)
Như vậy A+39 đồng thời chia hết cho 7,17 và 23. 
Nhưng 7,17 và 23 đôi một nguyên tố cùng nhau nên: (A + 39) 7.17.23 nên (A+39) 2737
Suy ra A+39 = 2737.k suy ra A = 2737.k - 39 = 2737.(k-1) + 2698
Do 2698 < 2737 nên 2698 là số dư của phép chia số A cho 2737 
Bài 11: a. Cho biểu thức : 	
Chứng minh rằng A chia hết cho 2011
b. Cho CMR : B là bình phương của một số tự nhiên 
HD: a. Có 2010số hạng 
chia hết cho 2011 nên A chia hết cho 2011
b. Cho 
Vậy B là bình phương của một số tự nhiên 41