65 Đề thi Học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 (Có đáp án)

ĐỀ SỐ 1
Bài 1 (4.0 điểm) : Tính giá trị biểu thức
a/ 
b/ 
Bài 2 (4.0 điểm) : 
a/ Tìm x, y nguyên biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55
b/ Chứng minh rằng : 
Bài 3 (3.0 điểm ) : Cho biểu thức : 
a/ Tìm n để A nhận giá trị nguyên.
b/ Tìm n để A là phân số tối giản
Bài 4 (3.0 điểm) : Tìm số nguyên tố ( a > b > 0 ), sao cho là số chính phương
Bài 5 (4.0 điểm) : Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA và OB.
a/ Vẽ tia OC tạo với tia OA một góc bằng ao, vẽ tia OD tạo với tia OCC một góc bằng (a + 10)o và với tia OB một góc bằng (a + 20)o
Tính ao
b/ Tính góc xOy, biết góc AOx bằng 22o và góc BOy bằng 48o
c/ Gọi OE là tia đối của tia OD, tính số đo góc kề bù với góc xOD khi góc AOC bằng ao
Bài 6 (3.0 điểm) : Cho 
a/ Chứng minh rằng A chia hết cho 24
b/ Chứng minh rằng A không phải là số chính phương.
---------------------------------- Hết ----------------------------------
ĐÁP ÁN
CÂU
NỘI DUNG
ĐIỂM
Câu 1
a/ 
2.0
b/ 
2.0
Câu 2
a/ Tìm x, y nguyên biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55
=>(3y – 1)(2x + 1) = -55
=> (1)
Để x nguyên thì 3y – 2 Î Ư(-55) = 
+) 3y – 2 = 1 => 3y = 3 => y = 1, thay vào (1) => x = 28
+) 3y – 2 = 5 => 3y = 7 => y = (Loại)
+) 3y – 2 = 11 => 3y = 13 => y = (Loại)
+) 3y – 2 = 55 => 3y = 57 => y = 19 , thay vào (1) => x = -1
+) 3y – 2 = - 1 => 3y = 1 => y = (Loại)
 +) 3y – 2 = -5 => 3y = -3 => y = -1, thay vào (1) => x = 5
+) 3y – 2 = -11 => 3y = -9 => y = -3 , thay vào (1) => x = 2
+) 3y – 2 = -55 => 3y = -53 => y =(Loại)
Vậy ta có 4 cặp số x, y nguyên thoả mãn là 
(x ; y ) = (28 ; 1) , (-1 ; 19) , (5 ; -1), (2 ; -3)
2.0
b/ Chứng minh rằng : 
Ta có
 (ĐPCM)
2.0
Câu 3
Cho biểu thức : 
a/ Tìm n để A nhận giá trị nguyên.
Ta có : 
(2)
A nguyên khi n – 3 ÎƯ(4) = => n Î
1.0
b/ Tìm n để A là phân số tối giản
Ta có : (Theo câu a)
Xét n = 0 ta có phân số A = là phân số tối giản
Xét n ¹ 0 ; 3 
Gọi d là ước chung của (n + 1) và (n – 3)
=> (n + 1) d và (n – 3) d
=> (n + 1) - (n – 3) chia hết cho d => 4 chia hết cho d => d = ±1 ; ±2; ±4
=> d lớn nhất bằng 4 => A không phải là phân số tối giản
Kết luận : Với n = 0 thì A là phân số tối giản
1.0
Câu 4
Tìm số nguyên tố ( a > b > 0 ), sao cho là số chính phương
Ta có : 
Vì => a,b => 1 £ a- b £ 8
Để là số chính phương thì a – b = 1; 4 
+) a – b = 1 (mà a > b) ta có các số là : 98 ; 87 ; 76; 65; 54 ; 43; 32; 21
Vì là số nguyên tố nên chỉ có số 43 thoả mãn
+) a – b = 4 (mà a > b) ta có các số là : 95 ; 84 ; 73; 62; 51 
Vì là số nguyên tố nên chỉ có số 73 thoả mãn
Kết luận : Vậy có hai số thoả mãn điều kiện bài toán là 43 và 73
3.0
Câu 6
Hình vẽ
Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA và OB.
a/ Vẽ tia OC tạo với tia OA một góc bằng ao, vẽ tia OD tạo với tia OCC một góc bằng (a + 10)o và với tia OB một góc bằng (a + 20)o.Tính ao
Do OC, OD nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và . Nên tia OC nằm giữa hai tia OA v à OD
=> 
=> ao + (a + 10)o + (a + 20)o = 180o
=> 3.ao + 30o = 180o => ao = 50o
2.0
b/ Tính góc xOy, biết góc AOx bằng 22o và góc BOy bằng 48o
Tia Oy nằm giữa hai tia OA v à OB
Ta có : 
Nên tia Ox nằm giữa hai tia OA và Oy
=> 
1.0
c/ Gọi OE là tia đối của tia OD, tính số đo góc kề bù với góc xOD khi góc AOC bằng ao
V ì tia OC nằm giữa hai tia OA và OD nên
Vì nên tia Ox nằm giữa hai tia OA và OD
=> 
Vậy số đo góc kề bù với góc xOD có số đo là : 180o – 88o = 92o
1.0
Câu 6
Cho 
a/ Chứng minh rằng A chia hết cho 24
Ta có : 
 (1)
Ta lại có các số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 có tổng tổng các chữ số bằng 1, nên các số 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 khi chia cho 3 đều có số dư bằng 1
8 chia cho 3 dư 2.
Vậy A chia cho 3 có số dư là dư của phép chia (1 + 1 + 1 + 1 + 2) chia cho 3
Hay dư của phép chia 6 chia cho 3 (có số dư bằng 0)
Vậy A chia hết cho 3
Vì 8 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau nên A chia hết cho 8.3 = 24
1.5
b/ Chứng minh rằng A không phải là số chính phương.
Ta có các số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 đều có chữ số tận cùng là 0
Nên có chữ số tận cùng là 8
Vậy A không phải là số chỉnh phương vì số chính phương là những số có chữ số tận cùng là 1 ; 4; 5 ; 6 ; 9
1.5
ĐỀ SỐ 2
Bài 1: Thực hiện phép tính:
;	
;
 với 
Bài 2: Tìm x, biết:
;
Bài 3: 
Tìm các số có 3 chữ số chia hết cho 7 và tổng các chữ số của nó cũng chia hết cho 7. 
Chứng tỏ rằng nếu a; a + k; a + 2k là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì k chia hết cho 6.
Bài 4: 
Cho 5 đường thẳng phân biệt cắt nhau tại O. Hỏi có tất cả bao nhiêu góc đỉnh O tạo thành từ 5 đường thẳng đó không kể góc bẹt.
Cho góc xOy và tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy. Gọi Ot và Ot’ là hai tia phân giác của góc xOz và zOy. Chứng tỏ rằng: .
Bài 5: Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì chia hết cho 15.
------------- Hết -------------
ĐÁP ÁN
Bài
Hướng dẫn chấm
Điểm
1(6đ)
1) -7/4; 2) 1/3; 3) 0
Mỗi câu đúng cho 2.0 điểm
6.0đ
2
(4.5đ)
x = 2; 2) x = -1/2; x = 9/2; 3) -2 £ x £ 1
Mỗi câu đúng cho 1.5 điểm
4.5đ
3(3đ)
Gọi số đó là 
Ta có 
Mặt khác nên suy ra Þ b – c = -7; 0; 7
Với b – c = -7 thì c = b + 7 và nên ta có các số thỏa mãn: 707; 518; 329.
Với b – c = 7 ta có các số 770; 581; 392.
Với b – c = 0 Þb = c mà nên 
Do 1 £ a + 2b £ 27 nên a + 2b nhận các giá trị 7; 14; 21. Từ đó ta có các số thỏa mãn: 133; 322; 511; 700; 266; 455; 644; 833; 399; 588; 777; 966.
Vậy có tất cả 18 số kể trên.
Vì a; a + k; a + 2k là các số nguyên tố lớn hơn 3 nên là các số lẻ và không chia hết cho 3, ta có:
a + k – a = k chia hết cho 2.
Mặt khác khi chia các số đó cho 3 sẽ tồn tại 2 số có cùng số dư:
- Nếu a và a + k có cùng số dư thì a + k – a = k chia hết cho 3.
- Nếu a và a + 2k có cùng số dư thì a + 2k – a = 2k chia hết cho 3, mà (2, 3) = 1 nên k chia hết cho 3.
- Nếu a + k và a + 2k có cùng số dư thì a + 2k – a + k = k chia hết cho 3.
 Vậy trong mọi trường hợp ta luôn có k chia hết cho 2 và 3 mà (2, 3) = 1 nên k chia hết cho 2.3 = 6.
1.5đ
1.5đ
4 (5đ)
5 đường thẳng cắt nhau tại O tạo thành 10 tia gốc O. Mỗi tia tạo với 9 tia còn lại thành 9 góc đỉnh O. Do đó ta có 10.9 = 90 góc tạo thành trong đó mỗi góc được tính 2 lần và có 5 góc bẹt nên sẽ có 90 : 2 – 5 = 40 góc đỉnh O không kể góc bẹt.
3.0đ
2.0đ
x
t’
t
O
z
y
Vì Ot, Ot’ là phân giác của góc xOz, zOy nên ta có:
5
(1.5đ)
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp
Với n = 1 ta có A = 0 chia hết cho 15.
Giả sử bài toán đúng với n = k tức là chia hết cho 15 ta sẽ chứng minh đúng với n = k + 1, tức là chia hết cho 15. Thật vậy, ta có 
1.5đ
ĐỀ SỐ 3
Bài 1 	( 4,0 điểm): 
	a, Tính M = 
b, So sánh A và B biết A = và B = 
Bài 2 ( 4,0 điểm): 
a, Tìm biết 
b, Tìm các số tự nhiên x, y sao cho và 
Bài 3 ( 4,0 điểm): 
	a, Tìm chữ số tận cùng của số 
	b, Tìm ba số nguyên dương biết rằng tổng của ba số ấy bằng nửa tích của chúng.
Bài 4( 2,0 điểm): 
Cho các số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn ab = cd. Chứng minh rằng A = an + bn + cn + dn là một hợp số với mọi số tự nhiên n.
 Bài 5( 6,0 điểm)
	Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M, N thứ tự là trung điểm của OA, OB.
	a, Chứng tỏ rằng OA < OB.
	b, Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí điểm O.
	c, Lấy điểm P nằm ngoài đường thẳng AB. Cho H là điểm nằm trong tam giác ONP . Chứng tỏ rằng tia OH cắt đoạn NP tại một điểm E nằm giữa N và P
..................... Hết ......................
ĐÁP ÁN
Bài
Tóm tắt nội dung hướng dẫn 
Điểm
Bài 1
4,0 đ
a, Câu a : 2,0 điểm
N = 
N = 
N = 
N = 
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
b, Câu b: 2,0 điểm
Từ đó suy ra A > B
0, 5 đ
0, 25 đ
0,2 5 đ
0, 25 đ
0, 25 đ
0,2 5 đ
0,25 đ
Bài 2 
( 4,0đ)
a, Câu a:( 2,0 điểm)
0,75 đ
0, 25 đ
0, 25 đ
0, 25 đ
0, 25 đ
0, 25 đ
Câu b: 2,0 điểm
Vai trò của x, y bình đẳng. Giả sử x y, ta có 
7(x2+y2)=25(x+y)
x(7x – 25) = y(25-7y)
Suy ra 7x – 25 và 25 – 7y cùng dấu vì x, y là các số tự nhiên
a, Nếu 7x – 25 < 0 thì 25 – 7y < 0
Suy ra x 4 ( trái với điều giả sử)
b, Nếu 7x – 25 > 0 thì 25 – 7y > 0 Vậy x 
Thử các số tự nhiên y từ 0, 1,2,3 ta được x = 4
Cặp số (x,y) = (4,3); vai trò của x, y như nhau nên (x,y) = (3,4)
0, 25 đ
0, 25 đ
0, 25 đ
0, 25 đ
0, 25 đ
0, 25 đ
0, 25 đ
0, 25 đ
Bài 3 
(4,0đ)
Bài 5
6,0 điểm
a, Câu a: 2,0 điểm
Tìm chữ số tận cùng của là 6
Tìm chữ số tận cùng của là 9
Tìm chữ số tận cùng của là 2
Chữ số tận cùng của P là chữ số tận cùng của tổng (6+9+2): là 7 
0, 5 đ
0, 5 đ
0, 5 đ
0, 5 đ
b, Câu b: 2,0 điểm
 Gọi 3 số nguyên dương cần tìm là a, b, c
Ta có a + b + c = abc/2
Giả sử thì a + b + c 
Do đó hay ab 
Có các trường hợp sau 
1, ab = 6 suy ra c = 3,5 ( loại )
2, ab = 5 Suy ra a = 1, b = 5 , c = 4 ( Loại)
3, ab = 4 Suy ra a = 1, b = 4 , c = 5( thỏa mãn)
 a =2, b = 2, c = 4 (Thỏa mãn)
4, ab = 3 Suy ra a = 1, b = 3, c = 8 ( thỏa mãn)
5, ab = 2..........................................( Không thỏa mãn)
6, ab = 1 ..........................................( Không thỏa mãn
Vậy bộ ba số cần tìm là 1, 4, 5 hoặc 1, 3, 8
0, 25 đ
0, 25 đ
0, 25 đ
0, 25 đ
0, 25 đ
0, 25 đ
0, 25 đ
0, 25 đ
Bài 4: 2,0 điểm
Giả sử t = (a,c). Đặt a = a1t; c = c1t với (a1,c1) = 1
ab = cd suy ra a1bt = c1dt , Suy ra a1b = c1d
Mà (a1,c1) = 1 suy ra b chia hết c1 , đặt b c1k
Do đó d = a1k
Ta có A = a1n .tn + c1n.kn + c1n.tn + a1n.kn
 A = ( a1n + c1n)(kn + tn)
Vì a1; c1; t; k nguyên dương nên A là hợp số 
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
a, Câu a: 2,0 điểm
Hai tia AO và AB là hai tia đối nhau 
Suy ra điểm A nằm giữa điểm O và điểm B
Vậy OA < OB
0,5 đ
1,0 đ
0,5 đ
b, Câu b : 2,0 điểm
Vì M, N lần lượt là trung điểm của OA và OB 
Suy ra OM = (1/2) . OA, ON = (1/2) . OB
Theo câu a vì OA < OB nên OM < ON
M, N thuộc tia OB nên M nằm giữa O và N
Suy ra OM + MN = ON
Suy ra MN = ON – OM
MN = (1/2) .OB – (1/2) . OA = (1/2) .(OB – OA)= (1/2) AB
AB có độ dài không đổi nên MN không đổi.
0, 25 đ
0, 25 đ
0, 25 đ
0, 25 đ
0, 25 đ
0, 25 đ
0, 25 đ
0, 25 đ
c, Câu c: 2,0 điểm
Điểm H nằm trong tam giác ONP suy ra H nằm trong góc O
Suy ra tia OH nằm giữa hai tia ON và OP
P, N là các điểm không trùng O và thuộc các tia ON, OP 
Suy ra tia OH cắt đoạn NP tại điểm E năm giữa N và P
0, 5 đ
0, 5 đ
0, 5 đ
0, 5 đ
Lưu ý : 
 	- Hình học nếu hình vẽ không khớp chứng minh không cho điểm
	- Học sinh làm bài theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa 	
ĐỀ SỐ 4
Câu 1. 
a. Cho ; 
Tính tích: .
b. Chứng tỏ rằng các số tự nhiên có dạng: chia hết cho ít nhất 3 số nguyên tố.
Câu 2. Không tính giá trị của các biểu thức. Hãy so sánh:
 và ; 	b. 98 . 516 và 1920
Câu 3. 
Tìm biết: 
Tìm số nguyên để phân số có giá trị là số nguyên.
Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho: a chia cho 5 thì dư 3, a chia cho 7 thì dư 4.
Câu 4. 
Cho góc bẹt xOy, trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA = 2 cm; trên tia Oy lấy hai điểm M và B sao cho OM = 1 cm; OB = 4 cm. 
a. Chứng tỏ: Điểm M nằm giữa hai điểm O và B; Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
b. Từ O kẻ hai tia Ot và Oz sao cho . Tính số đo .
Hết./.
ĐÁP ÁN
Câu
Ý
Nội dung cần đạt
Điểm
1
a
() = 
0,5
0,5
0,5
2,5
b
 chia hết cho ít nhất ba số nguyên tố: 7; 11; 13
1,0
2
a
1,0
2,0
b
98 . 516 = 316.516 = 1516 98 . 516 < 1920
1,0
3
a
i, ta có: x – 3 = 2x + 4 ó x = -7 ( Loại vì -7 < 3)
ii, x < 3 ta có –x +3 = 2x +4 ó ( Thỏa mãn)
Vậy 
1,0
3,0
 nguyên n – 5 là ước của 3
 hay n = 
0,5
0,5
Ta có: a = 5q + 3
 a = 7p + 4 
Xét a +17 = 5q + 20 = 7p + 21=> chia hết cho cả 5 và 7, hay là bội chung của 5 và 7. 
Vì a là số tự nhiên nhỏ nhất nên a +17 = BCNN(5,7) = 35 => a = 18
0,5
0,5
4
a
2,5
a
Trên tia Oy có OM < OB ( vì 1cm < 4cm) nên M nằm giữa O và B
=> MO + MB = OB => MB = OB – MO = 3cm (1)
Vì Ox, Oy đối nhau, A thuộc Ox, M thuộc Oy nên O nằm giữa A và M
AM = AO + OM = 3cm (2)
Từ (1) và (2) => MB = MA = 3cm hay M là trng điểm cả AB
0,5
0,5
c
HS vẽ hình được 2 trường hợp: (Ot và Oz cùng nằm trên nửa mp bờ xy; Ot và Oz không nằm trên nửa mp bờ xy)
HS lập luận tính đúng: 
+ Ot và Oz cùng nằm trên nửa mp bờ xy: 
+ Ot và Oz không nằm trên nửa mp bờ xy: 
0,5
0,5
0,5
Học sinh làm các cách khác đúng với yêu cầu đề ra vẫn chấm điểm tối đa
98 . 516 = (32)8 . 516 = 316.516 = (3.5)16 = 1516 (1)
	Mµ : 1516 < 1520 (V× 16 < 20) 	 (2)
	1520 < 1920 	 (v× 15<19) 	 (3)
	Tõ (1), (2), (3) => 9.8 516 < 1920
ĐỀ SỐ 5
Câu 1: Tìm x biết:
a, = 184 
b, (x - 5)4 = (x - 5)6
Câu 2: Cho A= 18 + 19 + 20 +...+ 42012
a). Thu gọn A.
b). Tìm x để 2A + 4 = 4x.
Câu 3: 
Cho hai dãy số, mỗi dãy có 2012 số là 1; 4; 7;...và 9; 16; 23;...thoả mãn: Số liền sau hơn số liền trước tương ứng là 3 và 7 với mỗi dãy. Hỏi có bao nhiêu số thuộc cả hai dãy trên?
Câu 4: 
Cho góc xOy có số đo bằng 1200. Điểm A nằm trong góc xOy sao cho gócAOy bằng 750. Điểm B năm ngoài góc xOy mà: góc BOx bằng 1350. Hỏi ba điểm A, O, B có thẳng hàng không? Vì sao?
Câu 5: 
Người ta thả một số bèo vào ao thì sau 6 ngày bèo phủ kín mặt ao. Biết rằng cứ sau một ngày thì diện tích bèo tăng lên gấp đôi. Hỏi:
 	a) Sau mấy ngày bèo phủ kín nửa ao?
 	b) Sau ngày thứ nhất bèo phủ được mấy phần ao?
===== Hết =====
ĐÁP ÁN
Câu
Hướng dẫn chấm
điểm
1
a, 2x. = 184 
x = 414/503
b, (x - 5)4 = (x - 5)6
x = 5
2
2
a, Thu gọn A.
A = 18 + 19 + 20 +...+ 42012 = (1+2+...+42012) – (1+2+3+...+17) = ((42012(42012+1))/2) – (17(17+1)/2) = 882524925
b, Tìm x để 2A + 3 = 3x.
x= 588349951
3
3
Ta liệt kê một số số trong dãy đã cho:
1	4	7	10	13	16	19	22	25	28	31	34	37
9	16	23	30	37	44	51	58	65	72	79	86	93
 Ta thấy: số 16 là số đầu tiên thuộc cả 2 dãy số.
Trong dãy số thứ nhất số liền sau hơn số liền trước tương ứng là 3
Trong dãy số thứ hai số liền sau hơn số liền trước tương ứng là 7
Nên từ số trùng nhau đầu tiên (số 16) thì sau 7 số liền sau tiếp theo của dãy thứ nhất sẽ xuất hiện số trùng nhau với số liền sau thứ 3 của số trùng nhau đầu tiên trong dãy thứ hai.
Khi đó số các số thuộc cả 2 dãy trên là phần nguyên của kết quả phép tính: (2012 - 5)/7 .
Thực hiện ta được kết quả là 286 số thuộc cả hai dãy trên.
2.5
4
TH1:Ta có: điểm A nằm trong góc xOy nên:
Ta có: điểm B nằm ngoài góc xOy nên:
tia Ox nằn giữa tia OA và OB
=> = 1800
Và góc xOA kề với góc BOA.
Từ đó suy ra 3 điểm A, O, B thẳng hàng.
TH2: không thẳng hàng khi OB cùng phí với Oy.
1
5
Gọi số bèo phủ ao trong ngày đầu tiên là x.
Khi đó: lượng bèo phủ mặt ao qua các ngày 
Ngày thứ	2	3	4	5	6
Số phần bèo phủ	2x	4x	8x	16x	32x
a, Ta thấy sau 6 ngày bào phủ kín ao là 32x. Như vậy để phủ kin một nửa ao cần là 5 ngày.
b, Theo bảng kiệt kế thấy số bèo phủ mặt ao ngày thứ nhất là x, phủ kín ao là 32x. Vậy sau ngày thứ nhất bào phủ kín 1/32 mặt ao.
1.5
ĐỀ SỐ 6
Thời gian làm bài 120 phút
Bài 1( 8 điểm 
 1. Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 
 	 a) 571999 b) 931999
 2. Cho A= 9999931999 - 5555571997. Chứng minh rằng A chia hết cho 5.
 3 . Cho phân số (0 0) vào tử và mẫu thì phân số mới lớn hơn hay bé hơn ?
 4. Cho số có 12 chữ số . chứng minh rằng nếu thay các dấu * bởi các chưc số khác nhau trong ba chữ số 1,2,3 một cách tuỳ ‎ thì số đó luôn chia hết cho 396.
 5. chứng minh rằng:
	a) ; 	b) 
Bài 2: (2 điểm )
 Trên tia Ox xác định các điểm A và B sao cho OA= a(cm), OB=b (cm) 
	a) Tính độ dài đoạn thẳng AB, biết b< a 
	b) Xác định điểm M trên tia Ox sao cho OM = (a+b).
ĐÁP ÁN 
 Bài 1: 
1. Tìm chữ số tận cùng của các số sau: ( 1 điểm )
Để tìm chữ số tận cùng của các số chỉ cần xét chữ số tận cùng của từng số :
a) 571999 ta xét 71999
Ta có: 71999 = (74)499.73 = 2041499. 343 Suy ra chữ số tận cùng bằng 3 ( 0,25 điểm )
ỵVậy số 571999 có chữ số tận cùng là : 3
b) 931999 ta xét 31999	
Ta có: 31999 = (34)499. 33 = 81499.27
Suy ra chữ số tận cùng bằng 7 (0,25 điểm )
2. Cho A = 9999931999 - 5555571997 . chứng minh rằng A chia hết cho 5 
Để chứng minh A chia hết cho 5 , ta xét chữ số tận cùng của A bằng việc xét chữ số tận cùng của từng số hạng.
Theo câu 1b ta có: 9999931999 có chữ số tận cùng là 7
Tương tự câu 1a ta có: (74)499.7 =2041499.7 có chữ số tận cùng là 7 ( 0,25 điểm )
Vậy A có chữ số tận cùng là 0, do đó A chia hết cho 5.	 ( 0,25 điểm )
3 (1 điểm )Theo bài toán cho a < b nên am < bm ( nhân cả hai vế với m) ( 0,25 điểm )
 Þ ab +am < ab+bm ( cộng hai vế với ab) ( 0,25 điểm )
Þ a(b+m) < b( a+m) 
Þ 
4.(1 điểm )
Ta nhận thấy , vị trí của các chữ số thay thế ba dấu sao trong số trên đều ở hàng chẵn và vì ba chữ số đó đôi một khác nhau, lấy từ tập hợp nên tổng của chúng luôn bằng 1+2+3=6.
Mặt khác 396 = 4.9.11 trong đó 4;9;11 đôi một nguyên tố cùng nhau nên ta cần chứng minh 
A = chia hết cho 4 ; 9 và 11.
Thật vậy :
+A 4 vì số tạo bởi hai chữ số tận cùng của A là 16 chia hết cho 4 ( 0,25 điểm )
+ A 9 vì tổng các chữ số chia hết cho 9 :
1+5+5+7+1+4+1+6+(*+*+*)=30+6=36 chia hết cho 9 ( 0,25 điểm )
+ A 11 vì hiệu số giữa tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ là 0, chia hết cho 11.
{1+5+7+4+1)-(5+1+6+(*+*+*)}= 18-12-6=0 ( 0,25 điểm )
Vậy A 396
5(4 điểm )
a) (2 điểm ) Đặt A= (0,25 điểm )
Þ 2A= (0,5 điểm )
Þ 2A+A =3A = 1- (0,75 điểm )
Þ 3A < 1 Þ A < (0,5 điểm )
b) Đặt A= Þ3A= 1-
 (0,5 điểm )
Þ 4A = 1- Þ 4A< 1- (1) (0,5 điểm )
Đặt B= 1- Þ 3B= 2+ (0,5 điểm )
4B = B+3B= 3- < 3 Þ B < (2)
Từ (1)và (2) Þ 4A < B < Þ A < (0,5 điểm )
Bài 2 ( 2 điểm )
a) (1 điểm )Vì OB <OA ( do b<a) nên trên tia Ox thì điểm B nằm giữa điểm O và điểm A. Do đó: OB +OA= OA
Từ đó suy ra: AB=a-b.
O
B
A
x
b)(1 điểm )Vì M nằm trên tia Ox và OM = 
 = OB + 
Þ M chính là điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho AM = BM
--------------------------------------------------------
ĐỀ SỐ 7
Thời gian làm bài: 120 phút. 
A – Phần số học : (7 điểm ) 
Câu 1:( 2 điểm ) 
	a, Các phân số sau có bằng nhau không? Vì sao?
 ; ; ; 
	b, Chứng tỏ rằng: 2x + 3y chia hết cho 17 9x + 5y chia hết cho 17
Câu 2:( 2 điểm ) 
 Tính giá trị của biểu thức sau:
 A = ( + - ):( + - + . . ) + 1:(30. 1009 – 160)
Câu 3 :( 2 điểm )
	a, Tìm số tự nhiên x , biết : ( + + . . . + ).x = 
	b,Tìm các số a, b, c , d N , biết :
 = 
Câu 4 : ( 1 điểm ) 
 Một số tự nhiên chia cho 120 dư 58, chia cho 135 dư 88. Tìm a, biết a bé nhất.
B – Phần hình học ( 3 điểm ) :
Câu1: ( 2 điểm )
 Góc tạo bởi 2 tia phân giác của 2 góc kề bù, bằng bao nhiêu? Vì sao? 
Câu 2: ( 1 điểm) 
 Cho 20 điểm, trong đó có a điểm thẳng hàng. Cứ 2 điểm, ta vẽ một đường thẳng. Tìm a , biết vẽ được tất cả 170 đường thẳng. 
ĐÁP ÁN
A. PHẦN SỐ HỌC
Câu 1: a, Ta thấy; 
Vậy; 
b, Ta phải chứng minh , 2. x + 3 . y chia hết cho 17, thì 9 . x + 5 . y chia hết cho 17
 Ta có 4 (2x + 3y ) + ( 9x + 5y ) = 17x + 17y chia hết cho 17
Do vậy ; 2x + 3y chia hết cho 17 4 ( 2x +3y ) chia hết cho 17 9x + 5y chia hết cho 17
Ngược lại ; Ta có 4 ( 2x + 3y ) chia hết cho 17 mà ( 4 ; 17 ) = 1 
 2x + 3y chia hết cho 17
Câu 2 ; Ta viết lại A như sau :
A= + 
 = + = 1
Câu 3; a, ( ) . x = 
 . x = x = 2
b, = 
=> a =1 ; b = 2 ; c = 3 ; d = 4
Câu 4; Ta có (q1, q2 N ) 
Từ ( 2 ) , ta có 9 . a = 1080 . q2 + 704 + a ( 3 )
x
t
y
t’
z
Kết hợp ( 1 ) với ( 2 ) , ta được a = 1080 . q – 180
Vì a nhỏ nhất, cho nên, q phải nhỏ nhất 
 => q = 1 => a = 898
B- PHẦN HÌNH HỌC
Câu 1; Gọi Ot , Ot, là 2tia phân giác của 2 
kề bù góc xOy và yOz
Giả sử , xOy = a ; => yOz = 180 – a
Khi đó ; tOy = a t,Oy = ( 180 – a) 
O
=> tOt, = = 900 
Câu 2; Giả sử trong 20 điểm, không có 3 điểm nào thẳng hàng. Khi đó, số đường thẳng vẽ được là; 19 . 20:2 = 190
Trong a điểm, giả sử không có 3 điểm nào thẳng hàng.Số đường thẳng vẽ được là ; (a – 1 ) a : 2 . Thực tế, trong a điểm này ta chi vẽ được 1 đường thẳng. Vậy ta có ; 190 – ( a- 1)a : 2 + 1 = 170
 => a = 7
ĐỀ SỐ 8
Thời gian làm bài : 120’
Bài 1 : (3 đ)
 Người ta viết các số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 đến 2006 liền nhau thành một số tự nhiên L . Hỏi số tự nhiên L có bao nhiêu chữ số .
Bài 2 : (3đ) 
 Có bao nhiêu chữ số gồm 3 chữ số trong đó có chữ số 4 ?
Bài 3 : (4đ) 
 Cho băng ô gồm 2007 ô như sau :
17
36
19
Phần đầu của băng ô như trên . Hãy điền số vào chố trống sao cho tổng 4 số ở 4 ô liền nhau bằng 100 và tính :
Tổng các số trên băng ô .
Tổng các chữ số trên băng ô .
Số điền ở ô thứ 1964 là số nào ?
ĐÁP ÁN 
Bài 1 : Có 9 số có 1 chữ số từ 1 đến 9 ( 0.25đ)
	 Có 90 số có 2 chữ số từ 10 đến 99 (0.5đ)
	 Có 900 số có 3 chữ số từ 100 đến 999 (0.5đ)
Các số có 4 chữ số là từ 1000 đến 2006 có : 
2006 - 1000 + 1 = 1007 số (0.5đ)
Số chữ số của số tự nhiên L là : 
9 + 90.2 + 900.3 + 1007.4 = 6917 (chữ số ) (1.25đ) 
Bài 2 : Có 900 số có 3 chữ số từ 100 đến 999 (0.25đ)
Ta chia 900 sô thành 9 lớp , mỗi lớp có 100 số (0.25đ) có cùng chữ số hàng trăm .
Lớp thứ nhất gồm 100 số từ 100 đến 199 
Lớp thứ hai gồm 100 số từ 200 đến 299 
Lớp thứ 9 gồm 100 số từ 900 đến 999 (05đ)
Xét 9 lớp thì lớp thứ 4 cả 100 số đều có chữ số 4 ở hàng trăm .
8 lớp còn lại hàng trăm khác 4 nên chữ số 4 nếu có thì ở hàng chục và hàng đơn vị (0.25đ) . 
Xét lớp thứ nhất thì các số có chữ số 4 làm hàng đơn vị gồm : 104, 114 194 (có 10 số ) (05đ)
các số có 4 chữ số làm hàng chục là 
140,141,142, ..149 (có 10 số) (0.5đ)
Nhưng số 144 có mặt ở trong cả 2 trờng hợp vậy ở lớp thứ nhất số lợng số có chữ số 4 là : 
10 + 10 - 1 = 19 (số)	(0.25đ)
Bảy lớp còn lại cũng theo quy luật ấy . Vậy số lợng số có 3 chữ số có chữ số 4 là :
100 + 19.8 = 252 số 	(0.5đ)
Bài 3 : Ta dùng các số 1; 2; 3 .để đánh số cho các ô phần đầu băng ô (0.25đ) .
 1	 2	 3	4	 5	 6	 7	 8 9 10
28
17
19
36
28
17
19
36
28
17
Vì các ô số 4; 5; 6; 7 và 3; 4; 5; 6 nên số ở ô số 3 và ô số 7 bằng nhau ® ô số 3 là 19 (0.5đ)
100 - (17 + 19 + 36) = 28
Vậy ô số 1 là số 28 ( 0.25đ)
100 - (17 + 19 + 36) = 28 . Vậy số điền ô thứ 5 là số 28 ( 0.25đ)
số điền ở ô số 6 cũng là số 17 (0.25đ)
Ta có : 2007 = 501.4 + 3
Vậy ta có 501 nhóm 4 ô , d 3 ô cuối là ô thứ 2005; 2006; 2007 với các số 28; 17; 19 (0.5đ) 
Tổng các số trên băng ô là :
	100.501 + 28 +17 +19 = 50164 	(1đ)
b) Tổng các chữ số ở mỗi nhóm ô là :
	2 + 8 +1 + 7 +1 +9 + 3 + 6 = 37 (0.5đ)
Tổng các chữ số trên băng ô là : 
37.501 + 2 + 8 + 1 + 7 +1 +9 = 18567 
c) 1964 4 . vậy số điền ở ô thứ 1964 là số 36 . 	(0.5đ)
-------------------------------------------------------- 
ĐỀ SỐ 9
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (1 điểm)Điền dấu thích hợp vào ô trống:
Nếu ab và b10 a 10
Viết tập hợp M các số chẵn a thỏa mãn a 10
Có bao nhiêu số chẵn nhỏ hơn n (nN)
Bài 2: (2 điểm)Cho A = 3 + 32 + 33 + 34 + 3100 chứng minh A chia hết cho 120.
Bài 3: (2 điểm)Cho các số 0; 1; 3; 5; 7; 9. Hỏi có thể thiết lập được bao nhiêu số có 4 chữ số chia hết cho 5 từ sáu chữ số đã cho.
Bài 4: (2 điểm) Tổng số trang của 8 quyển vở loại 1 ; 9 quyển vở loại 2 và 5 quyển vở loại 3 là 1980 trang. Số trang của một quyển vở loại 2 chỉ bằng số trang của 1 quyển vở loại 1. Số trang của 4 quyển vở loại 3 bằng số trang của 3 quyển vở loại 2. Tính số trang của mỗi quyển vở mỗi loại.
Bài 5: (1,5 điểm)Cho có số đo bằng 1250. Vẽ tia oz sao cho = 350. Tính trong từng trường hợp.
Bài 6: (1,5 điểm)
Cho ba điểm A, B, C nằm ngoài đường thẳng a. Biết rằng cả hai đoạn thẳng BA, BC đều cắt đường thẳng a. Hỏi đường thẳng a có cắt đoạn thẳng AC không? Vì sao?
HƯỚNG DẪN
Bài 1: (1 điểm)
Điền dấu thích hợp vào ô trống là 
( Nếu ab và b10 a 10) 0,25 đ
M = 0; 2; 4; 6; 8; 10 0,25 đ
Ta phải xét hai trường hợp:
+ Số n là số chẵn, lúc đó số chẵn nhỏ hơn n là0,25 đ
+ Số n là số lẻ, lúc đó số chẵn nhỏ hơn n là0,25 đ
Bài 2: (2 điểm)
Ta nhóm làm 25 nhóm, mỗi nhóm 4 số hạng như sau: 
A = (3 + 32 + 33+ 34) + + (397+398+399+3100)
= 3 (1 + 3 + 32+33)+ .+ 397(1+3+32+33) 0,5 đ 
Ta lại thấy: 1 + 3 + 32+33 = 40 
Nên A = 40. (3 + 35 +39 + +397 ) 0,5đ
= 40.3 (30 + 34 +38 + +396 ) 0,5đ
= 120. (30 + 34 +38 + +396 ) 
Điều này chứng tỏ A120 (đpcm) 0,5đ
Bài 3: (2 điểm)
Mỗi số có dạng: ; 0,25đ
* Với 
- Có 5 cách chọn chữ số hàng nghìn (vì chữ số hàng nghìn phải khác 0). 0,5đ
- Có 6 cách chọn chữ số hàng trăm.
- Có 6 cách chọn chữ số hàng chục 0,25đ
Vậy dạng có 5.6.6 = 180 số. 0,5đ
* Với 
Cách chọn tương tự và cũng có 180 số. 
Số thiết lập được là 180+180=360 số 0,5đ
(có 4 chữ số chia hết cho 5 từ 6 chữ số đã cho)
Bài 4: (2 điểm)
Ta ký hiệu: Loại 1: LI; Loại 2 : LII; Loại 3: LIII
Vì số trang của mỗi quyển vở LII bằng số trang của 1 quyển LI , nên số trang của 3 quyển LII bằng số trang của 2 quyển LI 0,5đ
Mà số trang
----------------------------------------
ĐỀ SỐ 10
Thời gian làm bài: 150 phút (Năm học 1998-1999)
Bài 1: (4 Điểm)
	Cho A = 7 + 73 + 75 + ... + 71999 Chứng minh rằng A chia hết cho 35.
Bài 2: (4 Điểm)
	Tìm số nguyên tố p để p + 10 và p + 14 đều là các số nguyên tố.
Bài 3: (4 Điểm)
	Cho với m, n là số tự nhiên.
	Chứng minh rằng m chia hết cho 1999. Nêu bài toán tổng quát.
Bài 4: (4 Điểm)
	Cho phân số và phân số 
	So sánh A và B.
Bài 5: (4 Điểm) Ô tô A đi từ Hà Nội về Phủ Lý, ô tô B đi từ Phủ Lý lên Hà Nội, chúng gặp nhau lần thứ nhất tại một địa Điểm cách Hà Nội 25 Km. Khi xe đến Phủ Lý thì lập tức quay trở lại Hà Nội, còn xe kia đến Hà Nội lập tức quay trở về Phủ Lý .... Cứ như vậy cho đến lần gặp nhau lần thứ 3 thì hai xe ở cách Hà Nội là 5 Km. 	Tính quãng đường từ Phủ Lý đi Hà Nội.
ĐÁP ÁN
Bài 1: 
	A = 7 + 73 + 75 + ... + 71999 = (7 + 73) + (75 + 77) + ..... + (71997 +71999)
	A = 7(1 + 72) + 75(1 + 72) + ... + 71997(1 + 72)
	A = 7.50 + 75 .50 + 79.50 + ... + 71997.50
	=> A Chia hết cho 5 (1)
	A = 7 + 73 + 75 + ... + 71999 = 7.( 70 + 72 + 74 + ... + 71998)
	=> A Chia hết cho 7 (2)
	Mà ƯCLN(5,7) = 1 => A Chia hết cho 35.
Bài 2: 
Nếu p là số nguyờn tố chẵn => p = 2. Khi đó: p + 10 = 12 không là số nguyờn tố. Vậy p = 2 loại.
Nếu p là số nguyờn tố lẻ => p =3 hoặc p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2.
+./ p = 3 => p + 10 = 13 là số nguyờn tố và p + 14 = 17 là số nguyờn tố. Vậy p = 3 là số nguyờn tố thoả mãn điều kiện đầu bài.
+./ p = 3k + 1 (k Î N*) => p + 14 = 3k + 15 = 3(k + 5) Chia hết cho 3 và k + 5 > 5 Nên p + 14 là hợp số. Vậy p = 3k + 1 loại
+./ p = 3k + 2 (k Î N*) => p + 10 = 3k + 12 = 3(k + 4) Chia hết cho 3 và k + 4 > 4 Nên p + 10 là hợp số. Vậy p = 3k + 2 loại
Bài 3:
	. Từ 1 đến 1998 có 1998 số Nên vế phải có 1998 số hạng ta ghép thành 999 cặp như sau:
Quy đồng tất cả 999 phaan số này ta được:
Với a1 , a2 , a3 , ........... , a998 , a999 Î N
Vì 1999 là số nguyên tố. Nên sau khi rút gọn, đưa về dạng phân số tối giản thì tử số vẫn còn thừa số 1999. Vậy m Chia hết cho 1999.
Bài 4:
	Vậy A = B.
Bài 5:
	Hai xe đi ngược chiều nhau, gặp nhau lần thứ nhất thì cả 2 xe đi được 1 lần quãng đường Hà Nội - Phủ Lý.
	Vì cả hai xe ở cách Hà Nội 25 Km vậy xe đi từ Hà Nội về đã đi được quãng đường 25 Km.
	Vì 2 xe lại quay lại đoạn đường trên nên phải gặp nhau lần 2, ở lần gặp này cả 2 xe đã đi được 3 lần quãng đường Hà Nội - Phủ Lý và như vậy ở lần gặp thứ 3 thì 2 xe đã đi được 5 lần quãng đường Hà Nội - Phủ Lý.
	1 lần quãng đường Hà Nội - Phủ Lý thì xe ô tô từ Hà Nội về đã đi được 25 Km. Vậy 5 lần quãng đường Hà Nội - Phủ Lý thì xe đó đi được quãng đường là: 25 Km x 5 = 125 Km.
	Thực tế thì xe đó đã đi được 2 lần quãng đường Hà Nội - Phủ Lý và thêm 5 Km. Vậy quãng đường Hà Nội - Phủ Lý là: (125 - 5) : 2 = 60 (Km).
	Đáp số: 60 Km.
-------------------------------------------------------------------------
ĐỀ SỐ 11
Thời gian làm bài: 120 phút
I. TRẮC NGIỆM:
Điền dấu x vào ô thích hợp:( 1 điểm)
Câu
Đúng
Sai
a. Số -5bằng –5 + (0.25 điểm)
. Số 11 bằng (0.25 điểm)
c) Số -11bằng –11- (0.25 điểm)
d) Tổng -3+ 2bằng -1 (0.25 điểm)
 II. TỰ LUẬN:
Câu 1:Thực hiện các phép tính sau: (4 điểm)
 	a. 
 	b. 
 	c. 
 	d. 
Câu 2: (2 điểm) Một quãng đường AB đi trong 4 giờ. Giờ đầu đi được quãng đường AB. Giờ thứ 2 đi kém giờ đầu là quãng đường AB, giờ thứ 3 đi kém giờ thứ 2 quãng đường AB. Hỏi giờ thứ tư đi mấy quãng đường AB?
Câu 3: (2 điểm)
 	a. Vẽ tam giác ABC biết BC = 5 cm; AB = 3cm ;AC = 4cm.
	b. Lấy điểm O ở trong tam giác ABC nói trên.Vẽ tia AO cắt BC tại H, tia B0 cắt AC tại I,tia C0 cắt AB tại K. Trong hình đó có có bao nhiêu tam giác. 
 Câu 4: (1 điểm) 
	a. Tìm hai chữ số tận cùng của các số sau: 2100; 71991 
 	b.Tìm bốn chữ số tận cùng của số sau: 51992
ĐÁP ÁN 
I - TỰ LUẬN.
Câu 1: Thực hiện các phép tính.
Câu a. 
Câu b.
 Ta có:
 ..; 
Vậy .
Câu c.
Ta có:
Vậy 
 Câu d: 
Câu 2: Quãng đường đi được trong 3 giờ đầu là:
A
A
C
I
K
B
A
O
H
	Quãng đường đi trong giờ thứ tư là quãng đường
Câu 3: 
a. Vẽ đoạn thẳng BC=5cm	 
Vẽ cung tròn (B;3cm) B C
Vẽ cung tròn (C;4cm) H
Lấy giao đIểm A của hai cung trên.
Vẽ các đoạn thẳng AB, AC ta được tam giác ABC.
 b. Có 6 tam giác” đơn” là AOK; AOI; BOK; BOH; COH; và COI.
Có 3 tam giác “Ghép đôi” là AOB; BOC; COA.
Có 6 tam giác “Ghép ba” Là ABH; BCI; CAK; ABI; BCK; CAH.
Có một tam giác “Ghép 6” là tam giác ABC.
Vậy trong hình có tất cả 6+3+1+6 = 16(Tam giác).
Câu 4:
a.Tìm hai số tận cùng của 2100.
210 = 1024, bình phương của hai số có tận cùng bằng 24 thì tận cùng bằng 76, có số tận cùng bằng 76 nâng lên lũy thừa nào( khác 0) cũng tận cùng bằng 76. Do đó:
2100 = (210)10= 1024 = (10242)5 = ( 76)5 = 76.
Vậy hai chữ số tận cùng của 2100 là 76.
* Tìm hai chữ số tận cùng của 71991.
 Ta thấy: 74=2401, số có tận cùng bằng 01 nâng lên lũy thừa nào cũng tận cùng bằng 01. Do đó:
71991 = 71988. 73= (74)497. 343 = ( 01)497. 343 = ( 01) x 343 = 43
Vậy 71991 có hai số tận cùng là 43.
Tìm 4 số tận cùng của 51992.
51992 = (54)498 =0625498= 0625
------------------------------------------------------------------------------------------
ĐỀ SỐ 12
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1( 8 điểm )
 1. Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 
 	 a) 571999 b) 931999
 2. Cho A= 9999931999 - 5555571997. Chứng minh rằng A chia hết cho 5.
3 . Cho phân số ( a<b) cùng thêm m đơn vị vào tử và mẫu thì phân số mới lớn hơn hay bé hơn ?
4. Cho số có 12 chữ số . chứng minh rằng nếu thay các dấu * bởi các chưc số khác nhau trong ba chữ số 1,2,3 một cách tuỳ ‎ thì số đó luôn chia hết cho 396.
5. Chứng minh