Bộ đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Phần 6

TUYỂN TẬP 100 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN LỚP 6
(Tài liệu lưu hành nội bộ)
BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 6
ĐỀ SỐ 1
Bài 1: Tìm số tự nhiên có 3 chữ số , biết rằng: và .	
Bài 2: 	a)Tính nhanh:	
	b)Rút gọn:
Bài 3: Tìm số tự nhiên n để phân số 	
	a)Có giá trị là số tù nhiên.	
	b)Là phân số tối giản.
Bài 4: Cho với n Î N.	Chứng minh rằng 
Bài 5: Trên đường thẳng xx’ lấy một điểm O. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xx’ vẽ 3 tia Oy, Ot, Oz sao cho: Góc x’Oy = 400; xOt = 970; xOz = 540.
Chứng minh tia Ot nằm giữa hai tia Oy và Oz.
Chứng minh tia Ot là tia phân giác của góc zOy.
HƯỚNG DẪN
Bài 1: Ta có:
Vì và 0 ≤ b ≤ 9 mà a - c = 5. Nên ta có:
Với a = 9 c = 4 và b2 = 9.4 = 36 b = 6 (Nhận)
Với a = 8 c = 3 và b2 = 8.3 = 24 không có giá trị nào của b.
Với a = 7 c = 2 và b2 = 7.2 = 14 không có giá trị nào của b. 
Với a = 6 c = 1 và b2 = 6.1 = 6 không có giá trị nào của b .
Bài 2: 
a)	
b)	
Bài 3: Đặt A =
Để A là số tù nhiên thì 91⋮ 3n + 4 ⋮ 3n + 4 là ước của 91 hay 3n + 4 thuộc {1; 7; 13; 91}.
Với 3n + 4 = 1 n = -1 Loại vì n là số tù nhiên.
Với 3n + 4 = 7 n = 1 Nhận A = 2 + 13 = 15.
Với 3n + 4 = 13 n = 3 Nhận A = 2 + 7 = 9.
Với 3n + 4 = 91 n = 29 Nhận A = 2 + 1 = 3.
Để A là phân số tối giản thì 91 không chia hết 3n + 4 hay 3n + 4 không là ước của 91 
Suy ra 3n + 4 không chia hết cho ước nguyên tố của 91. Từ đó suy ra: 
3n + 4 không chia hết cho 7 suy ra n ≠ 7k +1.
3n + 4 không chia hết cho 13 suy ra n ≠ 13m + 3.
Bài 4: 	Xét Suy ra:	
Với biểu thức:
Bài 5: Hình vẽ
x'
O
x
z
t
y
970
540
400
	a)Theo đề bài ta có góc x’Ox = 1800 mà góc x’Oy và góc yOx kề bù. Mà góc x’Oy = 400 ⇒ góc yOx = 1800 - 400 = 1400 Suy ra: góc xOt < góc xOy hay tia Ot nằm giữa hai tia Ox và Oy. Lại có: góc xOz < góc xOt hay tia Oz nằm giữa hai tia Ot và Ox. Vậy tia Ot nằm giữa hai tia Oz và Oy.
b)Theo câu a ta có tia Ot nằm giữa hai tia Oz và Oy ⇒ Góc zOt + góc tOy = góc zOy.
Vì tia Ot nằm giữa hai tia Ox và Oy ⇒ Góc xOt + góc tOy = góc xOy hay góc tOy = 430 ( vì góc xOt = 970 và góc xOy = 1400).
Vì tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Ot ⇒ Góc xOz + góc zOt = góc xOt hay góc zOt = 430 ( vì góc xOt = 970 và góc xOy = 540).
Suy ra góc tOy = góc zOt = 430. Vậy tia Ot là tia phân giác của góc zOy
ĐỀ SỐ 2
Thời gian làm bài 120 phút
Câu1: 	a. Tìm các số tự nhiên x, y. sao cho (2x+1)(y-5)=12
	b.Tìm số tự nhiên sao cho 4n-5 chia hết cho 2n-1 
	c. Tìm tất cả các số B= 62xy427, biết rằng số B chia hết cho 99
Câu 2. 	a. chứng tỏ rằng là phân số tối giản.
	b. Chứng minh rằng : +++...+<1
Câu3: Một bác nông dân mang cam đi bán. Lần thứ nhất bán 1/2số cam và 1/2 quả; Lần thứ 2 bán 1/3 số cam còn lạivà 1/3 quả ; Lần thứ 3 bán 1/4số cam còn lại và 3/4 quả. Cuối cung còn lại 24 quả . Hỏi số cam bác nông dân đã mang đi bán .
Câu 4: Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy. Tính số giao điểm của chúng.
ĐÁP ÁN 
Câu1: a.(1đ): Ta có 2x+1: y-5 Là ước của 12
12= 1.12=2.6=3.4 	 (0,25đ)
do 2x+1 lẻ => 2x+1 =1 hoặc 2x+1=3 	 (0,25đ)
2x+1=1 => x=0; y-5=12 => y=17 
hoặc 2x+1=3=> x=1; y-5=4=>y=9 	(0,25đ)
vậy (x,y) = (0,17); (1,9) 	(0,25đ)
b.(1đ)
Ta có 4n-5 = 2( 2n-1)-3 (0,25đ)
để 4n-5 chia hết cho2n-1 => 3 chia hết cho2n-1 (0,25đ)
=>* 2n-1=1 => n=1
*2n-1=3=>n=2 	 (0,25đ)
vậy n=1;2 	 (0,25đ)
 c. (1đ) Ta có 99=11.9
B chia hết cho 99 => B chia hết cho 11và B chia hết cho 99 (0,25đ)
*B chia hết cho 9 => ( 6+2+4+2+7+x+y) chia hết cho 9 
(x+y+3) chia hết cho 9=> x+y=6 hoặc x+y =15
B chia hết cho 11=> (7+4+x+6-2-2-y) chia hết cho11=> (13+x-y)chia hết cho 11
x-y=9 (loại) hoặc y-x=2 	 (0,25đ)
y-x=2 và x+y=6 => y=4; x=2 	 (0,25đ)
y-x=2 và x+y=15 (loại) vậy B=6224427 	 (0,25đ)
Câu2: a. Gọi dlà ước chung của 12n+1và 30n+2 ta có 
5(12n+1)-2(30n+2)=1 chia hết cho d (0,5đ)
vậy d=1 nên 12n+1 và 30n+2 nguyên tố cùng nhau 
do đó là phân số tối giản 	 (0,5đ)
b. Ta có <=-
 <=-
 ...
 <=- (0,5đ)
Vậy ++...+ <-+-+ ...+-
++...+ <1-=<1 (0,5đ)
Câu 3.Số cam còn lại sau lần bán thứ 2 là :
(24+3/4): 3/3 =33(quả) (1đ)
Số cam còn lại sau lần bán thứ nhất .
(33+1/3) : 2/3 =50 (quả) (1đ)
 Số cam bác nông dân mang đi bán .
(50+1/2) : 1/2 =1001 ( quả) (1đ)
Câu 4(1đ)
 . Mỗi đường thẳng cắt 100 đường tẳng còn lại tạo nên 100 giao điểm . có 101 đường thẳng nên có 101.100 giao điểm . nhưng mỗi giao điểm đã được tính hai lần nên chỉ có 101.100:2= 5050 ( giao điểm)
ĐỀ SỐ 3 
Thời gian làm bài: 120’
Bài 1:(1,5đ) Tìm x
	a) 5x = 125; 	b) 32x = 81 ; 	c) 52x-3 – 2.52 = 52.3
Bài 2: (1,5đ) 
 Cho a là số nguyên. Chứng minh rằng: 
Bài 3: (1,5đ) 
 Cho a là một số nguyên. Chứng minh rằng:
	a. Nếu a dương thì số liền sau a cũng dương.
	b. Nếu a âm thì số liền trước a cũng âm.
	c. Có thể kết luận gì về số liền trước của một số dương và số liền sau của một số âm?
Bài 4: (2đ) 
 Cho 31 số nguyên trong đó tổng của 5 số bất kỳ là một số dương. Chứng minh rằng tổng của 31 số đó là số dương.
Bài 5: (2đ)
 Cho các số tự nhiên từ 1 đến 11 được viết theo thứ tự tuỳ ý sau đó đem cộng mỗi số với số chỉ thứ tự của nó ta được một tổng. Chứng minh rằng trong các tổng nhận được, bao giờ cũng tìm ra hai tổng mà hiệu của chúng là một số chia hết cho 10.
Bài 6: (1,5đ)
 Cho tia Ox. Trên hai nữa mặt phẳng đối nhău có bờ là Ox. Vẽ hai tia Oy và Oz sao cho góc xOy và xOz bắng 1200. Chứng minh rằng:
Góc xOy = góc xOz = góc yOz
b. Tia đối của mỗi tia Ox, Oy, Oz là phân giác của góc hợp bởi hai tia còn lại
ĐÁP ÁN 
Bài 1 (1,5đ) 
a).5x = 125 ó 5x = 53 => x= 3
b) 32x = 81 => 32x = 34 => 2x = 4 => x = 2
c). 52x-3 – 2.52 = 52.3
ó52x: 53 = 52.3 + 2.52
ó52x: 53 = 52.5
ó52x = 52.5.53
ó 52x = 56 => 2x = 6 => x=3
Bài 2. Vì là một số tự nhiên với mọi a Z nên từ < 5 ta 
=> = {0,1,2,3,4}.
Nghĩa là a ={0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4}. Biểu diễn trên trục số cácc số này đều lớn hơn -5 và nhỏ hơn 5 do đó -5<a<5.
Bài 3.
a)Nếu a dương thì số liền sau cũng dương.
Ta có: Nếu a dương thì a>0 số liền sau a lớn hơn a nên cũng lớn hơn 0 nên là số dương
b)Nếu a âm thì số liền trước a cũng âm.
Ta có: Nếu a âm thì a<0 số liền trước a nhỏ hơn a nên cũng nhỏ hơn 0 nên là số âm.
Bài 4 (2đ). Trong các số đã cho ít nhất có 1 số dương vì nếu trái lại tất cả đều là số âm thì tổng của 5 số 
bất kỳ trong chúng sẽ là số âm trái với giả thiết.
Tách riêng số dương đó còn 30 số chi làm 6 nhóm. Theo đề bài tổng các số của mỗi nhóm đều là số dương nên tổng của 6 nhóm đều là số dương và do đó tổng của 31 số đã cho đều là số dương.
Bài 5 (2đ): 
Vì có 11 tổng mà chỉ có thể có 10 chữ số tận cùng đều là các số từ 0 , 1 ,2, ., 9 nên luôn tìm được hai tổng có chữ số tận cùng giống nhau nên hiệu của chúng là một số nguyên có tận cùng là 0 và là số chia hết cho 10.
Bài 6 (1,5đ). Ta có: góc x’Oy = 60o , góc x'Oz = 600 và tia Ox’ nằm giữa hai tia Oy, Oz nên góc yOz = yOx' + x'Oz = 120o . 
Vậy Góc xOy = góc xOz = góc yOz
Do tia Ox’ nằm giữa hai tia Oy, Oz và góc x'Oy = góc x'Oz nên Ox’ là tia phân giác của góc hợp bởi hai tia Oy, Oz. Tương tự tia Oy’ (tia đối của Oy) và tia Oz’ (tia đối của tia Oz) là phân giác của góc xOz và xOy
ĐỀ SỐ 4
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1. Tính: 
	a. A = 4 + 2 2 + 2 3 + 2 4 +. . . + 2 20 
	b. tìm x biết: ( x + 1) + ( x + 2) + . . . + ( x + 100) = 5750.
Câu 2. 
	a. Chứng minh rằng nếu: 11 thì 11.
	b. Chứng minh rằng: 10 28 + 8 72.
Câu 3. 
 Hai lớp 6A;6B cùng thu nhặt một số giấy vụn bằng nhau. Lớp 6A có 1 bạn thu được 26 Kg còn lại mỗi bạn thu được 11 Kg ; Lớp 6B có 1 bạn thu được 25 Kg còn lại mỗi bạn thu được 10 Kg . Tính số học sinh mỗi lớp biết rằng số giấy mỗi lớp thu được trong khoảng 200Kg đến 300 Kg.
Câu 4. 
 Tìm 3 số có tổng bằng 210, biết rằng số thứ nhất bằng số thứ 2 và bằng số thứ 3.
 Câu 5. 
 Bốn điểm A,B,C,Dkhông nằm trên đường thẳng a . Chứng tỏ rằng đường thẳng a hoặc không cắt, hoặc cắt ba, hoặc cắt bốn đoạn thẳng AB, AC, AD, BC, BD, CD.
ĐÁP ÁN 
Câu 1. a). 2A = 8 + 2 3 + 2 4 + . . . + 2 21. 
=> 2A – A = 2 21 +8 – ( 4 + 2 2 ) + (2 3 – 2 3) +. . . + (2 20 – 2 20). = 2 21.
 b). (x + 1) + ( x + 2 ) + . . . . . . . . + (x + 100) = 5750
=> x + 1 + x + 2 + x + 3 + . . . . . . .. . .. . . . + x + 100 = 5750
=> ( 1 + 2 + 3 + . . . + 100) + ( x + x + x . . . . . . . + x ) = 5750
 101 x 50 + 100 x = 5750
 100 x + 5050 = 5750
	100 x = 5750 – 5050 
	100 x = 700
 	x = 7
Câu 2. a) = 9999 +11.
b). 10 28 + 8 9.8 ta có 10 28 + 8 8 (vì có số tận cùng là 008) 
nên 10 28 + 8 9.8 vậy 10 28 + 8 72
Câu 3. Gọi số giấy mỗi lớp thu được là x (Kg) thì ( x-26) 11 và ( x-25) 10.
Do đó (x-15) Î BC(10;11) và 200 x 300 => x-15 = 220 => x = 235.
Số học sinh lớp 6A là: (235 – 26) : 11 + 1 = 20. hs
Số học sinh lớp 6B là: (235 – 25) : 10 + 1 = 22 hs.
Câu 4. Số thứ nhất bằng: : = (số thứ hai) 
Số thứ ba bằng: : = (số thứ hai)	
Tổng của 3 số bằng (số thứ hai) = (số thứ hai)
Số thứ hai là : 210 : = 66 ; số thứ nhất là: . 66 = 63 ; số thứ 3 là:.66 = 81
Câu5: Đường thẳng a chia mặt phẳng ra hai nửa mặt phẳng
 Xét 3 trường hợp
a). Nếu cả 4 điểm A, B, CD thuộc cùng một nửa mặt phẳng thì a không cắt đoạn thẳng nào.
b). Nếu có 1 điểm ( Chẳng hạn điểm A thuộc nửa mặt phẳng) ba điểm B, C, D thuộc nửa mặt phẳng đối thì đường thẳng a cắt ba đoạn thẳng AB, AC, AD
c). Nếu có 2 điểm chẳng hạn (A và B) thuộc một nửa mặt phẳng hai điểm kia (C và D) thuộc mỗi mặt phẳng đối thì a cắt bốn đoạn thẳng AC, AD, BC, BD 
ĐỀ SỐ 5
Thời gian làm bài 120 phút
Bài 1 (3đ):
	a) So sánh: 222333 và 333222
	b) Tìm các chữ số x và y để số chia hết cho 36
	c) Tìm số tự nhiên a biết 1960 và 2002 chia cho a có cùng số dư là 28
Bài 2 (2đ):
	Cho : S = 30 + 32 + 34 + 36 + ... + 32002
	a) Tính S
	b) Chứng minh S 7
Bài 3 (2đ): 
 Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng khi chia số này cho 29 dư 5 và chia cho 31 dư 28
Bài 4 (3đ): 
 Cho góc AOB = 1350. C là một điểm nằm trong góc AOB biết góc BOC = 900 
	a) Tính góc AOC
	b) Gọi OD là tia đối của tia OC. So sánh hai góc AOD và BOD
HƯỚNG DẪN 
Bài 1 (3đ): 
	a) Ta có 222333 = (2.111)3.111 = 8111.(111111)2.111111	(0,5đ)
	333222 = (3.111)2.111 = 9111.(111111)2 (0,5đ)
Suy ra: 222333 > 333222
	b) Để số 36 ( 0 x, y 9 , x, y N ) 
	(0,5đ)
	(x+y+2) 9 => x+y = 7 hoặc x+y = 16 => x = 	(0,25đ)
Vậy ta có các số: 16812; 14832; 12852; 10872; 19872; 17892	(0,25đ)
	c) Ta có a > 28 => ( 2002 - 1960 ) a => 42 a	(0,5đ) 
	=> a = 42	 (0,5đ)
Bài 2 (2đ):
	a) Ta có 32S = 32 + 34 + ... + 32002 + 32004 (0,5đ)
Suy ra: 8S = 32004 - 1 => S = 	(0,5đ)
	b) S = (30 + 32 + 34 ) + 36(30 + 32 + 34 ) + ... + 31998(30 + 32 + 34 ) =
	= (30 + 32 + 34 )( 1 + 36 + ... + 31998 ) 
	= 91( 1 + 36 + ... + 31998 ) (0,75đ) suy ra: S 7 (0,25đ)
Bài 3 (2đ): Gọi số cần tìm là: a 
	Ta có a = 29q + 5 = 31p +28 (0,5đ) 29(q - p) = 2p + 23
	Vì 2p + 23 lẻ nên( q - p) lẻ => q - p 1. (0,75đ)
	Vì a nhỏ nhất hay q - p = 1 => p = 3; 
 => a = 121 (0,5đ)
	Vậy số cần tìm là 121 (0,25đ)
Bài 4 (3đ): 
a) Theo giả thiết C nằm trong góc AOB nên tia OC nằm giữa hai tia OB và OA
=> góc AOC + góc BOC = góc AOB
=> góc AOC = góc AOB - góc BOC => góc AOC = 1350 - 900 = 450
b) Vì OD là tia đối của tia OC nên C, O, D thẳng hàng, Do đó góc DOA + góc AOC = 1800 (hai góc kề bù)
=> góc AOD = 1800 - góc AOC 
= 1800 - 450 = 1350
góc BOD = 1800 - 900 = 900
Vậy góc AOD > góc BOD
------------------------------------------------
ĐỀ SỐ 6
Thời gian làm bài 120 phút
Bài 1( 8 điểm 
 1. Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 
 	 a) 571999 b) 931999
 2. Cho A= 9999931999 - 5555571997. Chứng minh rằng A chia hết cho 5.
 3 . Cho phân số (0 0) vào tử và mẫu thì phân số mới lớn hơn hay bé hơn ?
 4. Cho số có 12 chữ số . chứng minh rằng nếu thay các dấu * bởi các chưc số khác nhau trong ba chữ số 1,2,3 một cách tuỳ ‎ thì số đó luôn chia hết cho 396.
 5. chứng minh rằng:
	a) ; 	b) 
Bài 2: (2 điểm )
 Trên tia Ox xác định các điểm A và B sao cho OA= a(cm), OB=b (cm) 
	a) Tính độ dài đoạn thẳng AB, biết b< a 
	b) Xác định điểm M trên tia Ox sao cho OM = (a+b).
ĐÁP ÁN 
 Bài 1: 
1. Tìm chữ số tận cùng của các số sau: ( 1 điểm )
Để tìm chữ số tận cùng của các số chỉ cần xét chữ số tận cùng của từng số :
a) 571999 ta xét 71999
Ta có: 71999 = (74)499.73 = 2041499. 343 Suy ra chữ số tận cùng bằng 3 ( 0,25 điểm )
 Vậy số 571999 có chữ số tận cùng là : 3
b) 931999 ta xét 31999	
Ta có: 31999 = (34)499. 33 = 81499.27
Suy ra chữ số tận cùng bằng 7 (0,25 điểm )
2. Cho A = 9999931999 - 5555571997 . chứng minh rằng A chia hết cho 5 
Để chứng minh A chia hết cho 5 , ta xét chữ số tận cùng của A bằng việc xét chữ số tận cùng của từng số hạng.
Theo câu 1b ta có: 9999931999 có chữ số tận cùng là 7
Tương tự câu 1a ta có: (74)499.7 =2041499.7 có chữ số tận cùng là 7 ( 0,25 điểm )
Vậy A có chữ số tận cùng là 0, do đó A chia hết cho 5.	 ( 0,25 điểm )
3 (1 điểm )Theo bài toán cho a < b nên am < bm ( nhân cả hai vế với m) ( 0,25 điểm )
 Þ ab +am < ab+bm ( cộng hai vế với ab) ( 0,25 điểm )
Þ a(b+m) < b( a+m) 
Þ 
4.(1 điểm )
Ta nhận thấy , vị trí của các chữ số thay thế ba dấu sao trong số trên đều ở hàng chẵn và vì ba chữ số đó đôi một khác nhau, lấy từ tập hợp nên tổng của chúng luôn bằng 1+2+3=6.
Mặt khác 396 = 4.9.11 trong đó 4;9;11 đôi một nguyên tố cùng nhau nên ta cần chứng minh 
A = chia hết cho 4 ; 9 và 11.
Thật vậy :
+A 4 vì số tạo bởi hai chữ số tận cùng của A là 16 chia hết cho 4 ( 0,25 điểm )
+ A 9 vì tổng các chữ số chia hết cho 9 :
1+5+5+7+1+4+1+6+(*+*+*)=30+6=36 chia hết cho 9 ( 0,25 điểm )
+ A 11 vì hiệu số giữa tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ là 0, chia hết cho 11.
{1+5+7+4+1)-(5+1+6+(*+*+*)}= 18-12-6=0 ( 0,25 điểm )
Vậy A 396
5(4 điểm )
a) (2 điểm ) Đặt A= (0,25 điểm )
Þ 2A= (0,5 điểm )
Þ 2A+A =3A = 1- (0,75 điểm )
Þ 3A < 1 Þ A < (0,5 điểm )
b) Đặt A= Þ3A= 1-
 (0,5 điểm )
Þ 4A = 1- Þ 4A< 1- (1) (0,5 điểm )
Đặt B= 1- Þ 3B= 2+ (0,5 điểm )
4B = B+3B= 3- < 3 Þ B < (2)
Từ (1)và (2) Þ 4A < B < Þ A < (0,5 điểm )
Bài 2 ( 2 điểm )
a) (1 điểm )Vì OB <OA ( do b<a) nên trên tia Ox thì điểm B nằm giữa điểm O và điểm A. Do đó: OB +OA= OA
Từ đó suy ra: AB=a-b.
O
B
A
x
b)(1 điểm )Vì M nằm trên tia Ox và OM = 
 = OB + 
Þ M chính là điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho AM = BM
--------------------------------------------------------
ĐỀ SỐ 7
Thời gian làm bài: 120 phút. 
A – Phần số học : (7 điểm ) 
Câu 1:( 2 điểm ) 
	a, Các phân số sau có bằng nhau không? Vì sao?
 ; ; ; 
	b, Chứng tỏ rằng: 2x + 3y chia hết cho 17 9x + 5y chia hết cho 17
Câu 2:( 2 điểm ) 
 Tính giá trị của biểu thức sau:
 A = ( + - ):( + - + . . ) + 1:(30. 1009 – 160)
Câu 3 :( 2 điểm )
	a, Tìm số tự nhiên x , biết : ( + + . . . + ).x = 
	b,Tìm các số a, b, c , d N , biết :
 = 
Câu 4 : ( 1 điểm ) 
 Một số tự nhiên chia cho 120 dư 58, chia cho 135 dư 88. Tìm a, biết a bé nhất.
B – Phần hình học ( 3 điểm ) :
Câu1: ( 2 điểm )
 Góc tạo bởi 2 tia phân giác của 2 góc kề bù, bằng bao nhiêu? Vì sao? 
Câu 2: ( 1 điểm) 
 Cho 20 điểm, trong đó có a điểm thẳng hàng. Cứ 2 điểm, ta vẽ một đường thẳng. Tìm a , biết vẽ được tất cả 170 đường thẳng. 
ĐÁP ÁN
A. PHẦN SỐ HỌC
Câu 1: a, Ta thấy; 
Vậy; 
b, Ta phải chứng minh , 2. x + 3 . y chia hết cho 17, thì 9 . x + 5 . y chia hết cho 17
 Ta có 4 (2x + 3y ) + ( 9x + 5y ) = 17x + 17y chia hết cho 17
Do vậy ; 2x + 3y chia hết cho 17 4 ( 2x +3y ) chia hết cho 17 9x + 5y chia hết cho 17
Ngược lại ; Ta có 4 ( 2x + 3y ) chia hết cho 17 mà ( 4 ; 17 ) = 1 
 2x + 3y chia hết cho 17
Câu 2 ; Ta viết lại A như sau :
A= + 
 = + = 1
Câu 3; a, ( ) . x = 
 . x = x = 2
b, = 
=> a =1 ; b = 2 ; c = 3 ; d = 4
Câu 4; Ta có (q1, q2 N ) 
Từ ( 2 ) , ta có 9 . a = 1080 . q2 + 704 + a ( 3 )
Kết hợp ( 1 ) với ( 2 ) , ta được a = 1080 . q – 180
Vì a nhỏ nhất, cho nên, q phải nhỏ nhất 
 => q = 1 => a = 898
B- PHẦN HÌNH HỌC
Câu 1: 
Gọi Ot , Ot, là 2tia phân giác của 2 kề bù và 
Giả sử , = a ; => = 180 – a
Khi đó : = a, = (180 – a)
 = a + (180 – a) = 900
Câu 2: Giả sử trong 20 điểm, không có 3 điểm nào thẳng hàng. Khi đó, số đường thẳng vẽ được là: 19 . 20:2 = 190
Trong a điểm, giả sử không có 3 điểm nào thẳng hàng.Số đường thẳng vẽ được là : (a – 1 ) a : 2 . 
Thực tế, trong a điểm này ta chi vẽ được 1 đường thẳng.
 Vậy ta có : 190 – ( a- 1)a : 2 + 1 = 170
=> a = 7
ĐỀ SỐ 8
Thời gian làm bài : 120’
Bài 1 : (3 đ)
 Người ta viết các số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 đến 2006 liền nhau thành một số tự nhiên L . Hỏi số tự nhiên L có bao nhiêu chữ số .
Bài 2 : (3đ) 
 Có bao nhiêu chữ số gồm 3 chữ số trong đó có chữ số 4 ?
Bài 3 : (4đ) 
 Cho băng ô gồm 2007 ô như sau :
17
36
19
Phần đầu của băng ô như trên . Hãy điền số vào chố trống sao cho tổng 4 số ở 4 ô liền nhau bằng 100 và tính :
Tổng các số trên băng ô .
Tổng các chữ số trên băng ô .
Số điền ở ô thứ 1964 là số nào ?
ĐÁP ÁN 
Bài 1 : Có 9 số có 1 chữ số từ 1 đến 9 ( 0.25đ)
	 Có 90 số có 2 chữ số từ 10 đến 99 (0.5đ)
	 Có 900 số có 3 chữ số từ 100 đến 999 (0.5đ)
Các số có 4 chữ số là từ 1000 đến 2006 có : 
2006 - 1000 + 1 = 1007 số (0.5đ)
Số chữ số của số tự nhiên L là : 
9 + 90.2 + 900.3 + 1007.4 = 6917 (chữ số ) (1.25đ) 
Bài 2 : Có 900 số có 3 chữ số từ 100 đến 999 (0.25đ)
Ta chia 900 sô thành 9 lớp , mỗi lớp có 100 số (0.25đ) có cùng chữ số hàng trăm .
Lớp thứ nhất gồm 100 số từ 100 đến 199 
Lớp thứ hai gồm 100 số từ 200 đến 299 
Lớp thứ 9 gồm 100 số từ 900 đến 999 (05đ)
Xét 9 lớp thì lớp thứ 4 cả 100 số đều có chữ số 4 ở hàng trăm .
8 lớp còn lại hàng trăm khác 4 nên chữ số 4 nếu có thì ở hàng chục và hàng đơn vị (0.25đ) . 
Xét lớp thứ nhất thì các số có chữ số 4 làm hàng đơn vị gồm : 104, 114 194 (có 10 số ) (05đ)
các số có 4 chữ số làm hàng chục là 
140,141,142, ..149 (có 10 số) (0.5đ)
Nhưng số 144 có mặt ở trong cả 2 trờng hợp vậy ở lớp thứ nhất số lợng số có chữ số 4 là : 
10 + 10 - 1 = 19 (số)	(0.25đ)
Bảy lớp còn lại cũng theo quy luật ấy . Vậy số lợng số có 3 chữ số có chữ số 4 là :
100 + 19.8 = 252 số 	(0.5đ)
Bài 3 : Ta dùng các số 1; 2; 3 .để đánh số cho các ô phần đầu băng ô (0.25đ) .
 1	 2	 3 	4	 5	 6	 7	 8 9 10
28
17
19
36
28
17
19
36
28
17
Vì các ô số 4; 5; 6; 7 và 3; 4; 5; 6 nên số ở ô số 3 và ô số 7 bằng nhau ® ô số 3 là 19 (0.5đ)
100 - (17 + 19 + 36) = 28
Vậy ô số 1 là số 28 ( 0.25đ)
100 - (17 + 19 + 36) = 28 . Vậy số điền ô thứ 5 là số 28 ( 0.25đ)
số điền ở ô số 6 cũng là số 17 (0.25đ)
Ta có : 2007 = 501.4 + 3
Vậy ta có 501 nhóm 4 ô , d 3 ô cuối là ô thứ 2005; 2006; 2007 với các số 28; 17; 19 (0.5đ) 
Tổng các số trên băng ô là :
	100.501 + 28 +17 +19 = 50164 	(1đ)
b) Tổng các chữ số ở mỗi nhóm ô là :
	2 + 8 +1 + 7 +1 +9 + 3 + 6 = 37 (0.5đ)
Tổng các chữ số trên băng ô là : 
37.501 + 2 + 8 + 1 + 7 +1 +9 = 18567 
c) 1964 4 . vậy số điền ở ô thứ 1964 là số 36 . 	(0.5đ)
-------------------------------------------------------- 
ĐỀ SỐ 9
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (1 điểm) 
Điền dấu thích hợp vào ô trống:
 Nếu ab và b10 a 10
Viết tập hợp M các số chẵn a thỏa mãn a 10
Có bao nhiêu số chẵn nhỏ hơn n (nN)
Bài 2: (2 điểm)Cho A = 3 + 32 + 33 + 34 + 3100 chứng minh A chia hết cho 120.
Bài 3: (2 điểm)Cho các số 0; 1; 3; 5; 7; 9. Hỏi có thể thiết lập được bao nhiêu số có 4 chữ số chia hết cho 5 từ sáu chữ số đã cho.
Bài 4: (2 điểm) Tổng số trang của 8 quyển vở loại 1 ; 9 quyển vở loại 2 và 5 quyển vở loại 3 là 1980 trang. Số trang của 3 quyển vở loại 2 chỉ bằng số trang của 2 quyển vở loại 1. Số trang của 4 quyển vở loại 3 bằng số trang của 3 quyển vở loại 2. Tính số trang của mỗi quyển vở mỗi loại.
Bài 5: (1,5 điểm) Cho góc xÔy có số đo bằng 1250. Vẽ tia Oz sao cho yÔz = 350. Tính trong từng trường hợp.
Bài 6: (1,5 điểm)
Cho ba điểm A, B, C nằm ngoài đường thẳng a. Biết rằng cả hai đoạn thẳng BA, BC đều cắt đường thẳng a. Hỏi đường thẳng a có cắt đoạn thẳng AC không? Vì sao?
HƯỚNG DẪN
Bài 1: (1 điểm)
Điền dấu thích hợp vào ô trống là 
 ( Nếu ab và b10 a 10) 0,25 đ
 M = 0; 2; 4; 6; 8; 10 0,25 đ
Ta phải xét hai trường hợp:
+ Số n là số chẵn, lúc đó số chẵn nhỏ hơn n là 0,25 đ
+ Số n là số lẻ, lúc đó số chẵn nhỏ hơn n là 0,25đ
Bài 2: (2 điểm)
Ta nhóm làm 25 nhóm, mỗi nhóm 4 số hạng như sau: 
A = (3 + 32 + 33+ 34) + + (397+398+399+3100)
= 3 (1 + 3 + 32+33)+ .+ 397(1+3+32+33) 0,5 đ 
Ta lại thấy: 1 + 3 + 32+33 = 40 
Nên A = 40. (3 + 35 +39 + +397 ) 0,5đ
= 40.3 (30 + 34 +38 + +396 ) 0,5đ
= 120. (30 + 34 +38 + +396 ) 
Điều này chứng tỏ A⁞120 (đpcm) 0,5đ
Bài 3: (2 điểm)
Mỗi số có dạng: ; 0,25đ
* Với 
- Có 5 cách chọn chữ số hàng nghìn (vì chữ số hàng nghìn phải khác 0). 0,5đ
- Có 6 cách chọn chữ số hàng trăm.
- Có 6 cách chọn chữ số hàng chục 0,25đ
Vậy dạng có 5.6.6 = 180 số. 0,5đ
* Với 
Cách chọn tương tự và cũng có 180 số. 
Số thiết lập được là 180+180=360 số 0,5đ
(có 4 chữ số chia hết cho 5 từ 6 chữ số đã cho)
Bài 4: (2 điểm)
Ta ký hiệu: Loại 1: LI; Loại 2 : LII; Loại 3: LIII
Ta có số trang của 3 quyển LII bằng số trang của 2 quyển LI 0,5đ
Mà số trang của 4 quyển LIII bằng 3 quyển LII , nên số trang của 2 quyển LI bằng số trang của 4 quyển LIII 0,5đ
Do đó số trang của 8 quyển LI bằng :	4 .8 : 2 = 16 ( quyển LIII )
Số trang của 9 quyển LII bằng	9 .4 : 3 = 12 (quyển LIII)
LIII: 5 quyển (theo bài ra)
Vậy 1980 chính là số trang của 16 + 12+ 5 = 33(quyển LIII) 0,5đ
Suy ra: 
Số trang 1 quyển vở loại 3 là 1980 : 33 = 60 ( trang)
Số trang 1 quyển vở loại 2 là (trang)
Số trang 1 quyển vở loại1 là; ( trang) 0,5
Bài 5: (1,5 điểm) Vẽ hình (0,5đ)
Có 2 cách vẽ tia 0z: cách 1 gọi là 0z, cách 2 gọi là 0z’ (như hình vẽ)
= 1250-350=900 (0,5đ)
= 1250+350=1600 (0,5đ)
0
x
z
y
z’
1250
350
Bài 6: (1,5 điểm) (Vẽ hình 0,5đ)
Đường thẳng a cắt đoạn thẳng AB thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ a. (0,5đ)
Lập luận tương tự, hai điểm B và C thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ a. Suy ra hai điểm A và C thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ a. Vậy đường thẳng a không cắt đoạn thẳng AC. (0,5đ)
A
C
B
a
----------------------------------------
ĐỀ SỐ 10
Thời gian làm bài: 150 phút (Năm học 1998-1999)
Bài 1: (4 Điểm)
	Cho A = 7 + 73 + 75 + ... + 71999 Chứng minh rằng A chia hết cho 35.
Bài 2: (4 Điểm)
	Tìm số nguyên tố p để p + 10 và p + 14 đều là các số nguyên tố.
Bài 3: (4 Điểm)
	Cho với m, n là số tự nhiên.
	Chứng minh rằng m chia hết cho 1999. Nêu bài toán tổng quát.
Bài 4: (4 Điểm)
	Cho phân số và phân số 
	So sánh A và B.
Bài 5: (4 Điểm) Ô tô A đi từ Hà Nội về Phủ Lý, ô tô B đi từ Phủ Lý lên Hà Nội, chúng gặp nhau lần thứ nhất tại một địa Điểm cách Hà Nội 25 Km. Khi xe đến Phủ Lý thì lập tức quay trở lại Hà Nội, còn xe kia đến Hà Nội lập tức quay trở về Phủ Lý .... Cứ như vậy cho đến lần gặp nhau lần thứ 3 thì hai xe ở cách Hà Nội là 5 Km. 	Tính quãng đường từ Phủ Lý đi Hà Nội.
ĐÁP ÁN
Bài 1: 
	A = 7 + 73 + 75 + ... + 71999 = (7 + 73) + (75 + 77) + ..... + (71997 +71999)
	A = 7(1 + 72) + 75(1 + 72) + ... + 71997(1 + 72)
	A = 7.50 + 75 .50 + 79.50 + ... + 71997.50
	=> A Chia hết cho 5 (1)
	A = 7 + 73 + 75 + ... + 71999 = 7.( 70 + 72 + 74 + ... + 71998)
	=> A Chia hết cho 7 (2)
	Mà ƯCLN(5,7) = 1 => A Chia hết cho 35.
Bài 2: 
Nếu p là số nguyờn tố chẵn => p = 2. Khi đó: p + 10 = 12 không là số nguyờn tố. Vậy p = 2 loại.
Nếu p là số nguyờn tố lẻ => p =3 hoặc p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2.
+./ p = 3 => p + 10 = 13 là số nguyờn tố và p + 14 = 17 là số nguyờn tố. Vậy p = 3 là số nguyờn tố thoả mãn điều kiện đầu bài.
+./ p = 3k + 1 (k Î N*) => p + 14 = 3k + 15 = 3(k + 5) Chia hết cho 3 và k + 5 > 5 Nên p + 14 là hợp số. Vậy p = 3k + 1 loại
+./ p = 3k + 2 (k Î N*) => p + 10 = 3k + 12 = 3(k + 4) Chia hết cho 3 và k + 4 > 4 Nên p + 10 là hợp số. Vậy p = 3k + 2 loại
Bài 3:
	. Từ 1 đến 1998 có 1998 số Nên vế phải có 1998 số hạng ta ghép thành 999 cặp như sau:
Quy đồng tất cả 999 phaan số này ta được:
Với a1 , a2 , a3 , ........... , a998 , a999 Î N
Vì 1999 là số nguyên tố. Nên sau khi rút gọn, đưa về dạng phân số tối giản thì tử số vẫn còn thừa số 1999. Vậy m Chia hết cho 1999.
Bài 4:
	Vậy A = B.
Bài 5:
	Hai xe đi ngược chiều nhau, gặp nhau lần thứ nhất thì cả 2 xe đi được 1 lần quãng đường Hà Nội - Phủ Lý.
	Vì cả hai xe ở cách Hà Nội 25 Km vậy xe đi từ Hà Nội về đã đi được quãng đường 25 Km.
	Vì 2 xe lại quay lại đoạn đường trên nên phải gặp nhau lần 2, ở lần gặp này cả 2 xe đã đi được 3 lần quãng đường Hà Nội - Phủ Lý và như vậy ở lần gặp thứ 3 thì 2 xe đã đi được 5 lần quãng đường Hà Nội - Phủ Lý.
	1 lần quãng đường Hà Nội - Phủ Lý thì xe ô tô từ Hà Nội về đã đi được 25 Km. Vậy 5 lần quãng đường Hà Nội - Phủ Lý thì xe đó đi được quãng đường là: 25 Km x 5 = 125 Km.
	Thực tế thì xe đó đã đi được 2 lần quãng đường Hà Nội - Phủ Lý và thêm 5 Km. Vậy quãng đường Hà Nội - Phủ Lý là: (125 - 5) : 2 = 60 (Km).
	Đáp số: 60 Km.
-------------------------------------------------------------------------
ĐỀ SỐ 11
Thời gian làm bài: 120 phút
I. TRẮC NGIỆM:
Điền dấu x vào ô thích hợp:( 1 điểm)
Câu
Đúng
Sai
a. Số -5bằng –5 + (0.25 điểm)
. Số 11 bằng (0.25 điểm)
c) Số -11bằng –11- (0.25 điểm)
d) Tổng -3+ 2bằng -1 (0.25 điểm)
 II. TỰ LUẬN:
Câu 1:Thực hiện các phép tính sau: (4 điểm)
 	a. 
 	b. 
 	c. 
 	d. 
Câu 2: (2 điểm) Một quãng đường AB đi trong 4 giờ. Giờ đầu đi được quãng đường AB. Giờ thứ 2 đi kém giờ đầu là quãng đường AB, giờ thứ 3 đi kém giờ thứ 2 quãng đường AB. Hỏi giờ thứ tư đi mấy quãng đường AB?
Câu 3: (2 điểm)
 	a. Vẽ tam giác ABC biết BC = 5 cm; AB = 3cm ;AC = 4cm.
	b. Lấy điểm O ở trong tam giác ABC nói trên.Vẽ tia AO cắt BC tại H, tia B0 cắt AC tại I,tia C0 cắt AB tại K. Trong hình đó có có bao nhiêu tam giác. 
 Câu 4: (1 điểm) 
	a. Tìm hai chữ số tận cùng của các số sau: 2100; 71991 
 	b.Tìm bốn chữ số tận cùng của số sau: 51992
ĐÁP ÁN 
I - TỰ LUẬN.
Câu 1: Thực hiện các phép tính.
Câu a. 
Câu b.
 Ta có:
 ..; 
Vậy .
Câu c.
Ta có:
Vậy 
 Câu d: 
Câu 2: Quãng đường đi được trong 3 giờ đầu là:
A
A
C
I
K
B
A
O
H
	Quãng đường đi trong giờ thứ tư là quãng đường
Câu 3: 
a. Vẽ đoạn thẳng BC=5cm	 
Vẽ cung tròn (B;3cm) B C
Vẽ cung tròn (C;4cm) H
Lấy giao đIểm A của hai cung trên.
Vẽ các đoạn thẳng AB, AC ta được tam giác ABC.
 b. Có 6 tam giác” đơn” là AOK; AOI; BOK; BOH; COH; và COI.
Có 3 tam giác “Ghép đôi” là AOB; BOC; COA.
Có 6 tam giác “Ghép ba” Là ABH; BCI; CAK; ABI; BCK; CAH.
Có một tam giác “Ghép 6” là tam giác ABC.
Vậy trong hình có tất cả 6+3+1+6 = 16(Tam giác).
Câu 4:
a.Tìm hai số tận cùng của 2100.
210 = 1024, bình phương của hai số có tận cùng bằng 24 thì tận cùng bằng 76, có số tận cùng bằng 76 nâng lên lũy thừa nào( khác 0) cũng tận cùng bằng 76. Do đó:
2100 = (210)10= 1024 = (10242)5 = ( 76)5 = 76.
Vậy hai chữ số tận cùng của 2100 là 76.
* Tìm hai chữ số tận cùng của 71991.
 Ta thấy: 74=2401, số có tận cùng bằng 01 nâng lên lũy thừa nào cũng tận cùng bằng 01. Do đó:
71991 = 71988. 73= (74)497. 343 = ( 01)497. 343 = ( 01) x 343 = 43
Vậy 71991 có hai số tận cùng là 43.
Tìm 4 số tận cùng của 51992.
51992 = (54)498 =0625498= 0625
------------------------------------------------------------------------------------------
ĐỀ SỐ 12
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1: Tìm các chữ số a, b sao cho chia hết cho 63.
Câu 2 : Cho 	 
Câu 3 : Một người đi xe đạp từ A về B với vận tốc 12km /h. Lát sau một người thứ 2 cũng đi từ A về B với vận tốc 21km /h. Tính ra hai người sẽ gặp nhau tại . Người thứ 2 đi được nửa quãng đường AB thì tăng vận tốc lên thành 24km /h. Vì vậy 2 người gặp nhau cách B 7 km.Tính chiều dài quãng đường AB.
Câu 4 : Cho tam giác ABC có AB=AC. M là một điểm nằm giữa A và C, N là một điểm nằmg giữa A và B sao cho CM=BN.
a, Chứng minh rằng đoạn thẳng BM cắt đoạn thẳng CN,
b, Chứng minh rằng góc B = góc C, BM=CN
Câu 5 : Tìm các số tự nhiên a, b thoả mãn các đièu kiện sau:
 và 8a - 9b = 31
ĐÁP ÁN 
Bài 1: Đặt 
	N M 63 Þ N M 9 và N M 7
	N M 9 Þ (1+2+a+4+b+1+9+9+6 ) M 9 Þ (a+b+5) M 9 Þ (a+b) Î{4,13}
	N = 120401996 + 1000000a + 10000b M 7 Þ (a+4b+1) M 7 
	+ Nếu a+b = 4 Þ (4+3b+1) M 7 Þ (3b + 5) M Þ 3b : 7 dư 2
	Þ b = 3 Þ a = 1
	+ Nếu a+b = 13 Þ (13+3b+1) M 7 Þ 3b M7 Þ b M 7 Þ b Î {0; 7}
	Þ b = 7 ; a = 6
	a
1
6
B
3
7
12a4b1996
121431996
126471996
Bài 2:
	A = 
	 = 
	 = 
	B = 
Bài 3: 
	Hiệu vận tốc trên nửa quãng đường đầu là 21 - 12 = 9 (km/h)
	 sau là : 24 - 12 = 12(km/h)
	Do trên nửa quãng đường sau hiệu vận tốc bằng hiệu vận tốc trên nửa quãng đường đầu(theo dự định). Nên thời gian xe thứ 2 đi từ giữa quãng đường đến chỗ gặp bằng thời gian xe 2 đi nửa quãng đường đầu
	Thời gian xe 2 đi nửa quãng đường là: (h)
Quãng đường AB dài là: 
Bài 5: Tìm a,b Î N sao cho và 8b - 9a = 31
 8b - 9a = 31 Þ b = Î N Þ (a-1) M 8 Þ a = 8q + 1(q Î N)
 b = 
 11(9q+5) 38 Þ q > 1
 29(8q+1) < 23(9q+5) Þ 25q < 86 Þ q < 4 Þ q Î {2; 3}
 q = 2 Þ 	q = 3 Þ 
------------------------------------------------------------ 
ĐỀ SỐ 13
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1( 3 điểm)
	a, Cho A = 9999931999 - 5555571997. Chứng minh rằng A chia hết cho 5
	b, Chứng tỏ rằng: + + + + + > 
Bài 2 ( 2,5 điểm)
 Tổng số trang của 8 quyển vở loại 1 ; 9 quyển vở loại 2 và 5 quyển vở loại 3 là 1980 trang. Số trang của một quyển vở loại 2 chỉ bằng số trang của 1 quyển vở loại 1. Số trang của 4 quyển vở loại 3 bằng số trang của 3 quyển vở loại 2. Tính số trang của mỗi quyển vở mỗi loại.
Bài 3: (2 Điểm).
 Tìm số tự nhiên n và chữ số a biết rằng: 
1+ 2+ 3+ .+ n = 
Bài4 ; (2,5 điểm) 
	a, Cho 6 tia chung gốc. Có bao nhiêu góc trong hình vẽ ? Vì sao.
	b, Vậy với n tia chung gốc. Có bao nhiêu góc trong hình vẽ.
 ĐÁP ÁN 
Bài1:
a, 1,5 điểm.	để chứng minh A ta xét chữ số tận cùng của A bằng việc xét chữ số tận cùng của từng số hạng
Ta có: 31999 = ( 34)499 . 33 = 81499 . 27
Suy ra: 31999 có tận cùng là 7 
	71997 = ( 74)499 .7 = 2041499 . 7	 7 1997 Có tận cùng là 7
Vậy A có tận cùng bằng 0 A 5
b, (1,5 điểm) Ta thấy:	 đến có 40 phân số.
Vậy	 	
	= + .+ 	(1) 
Vì ..> và > > > 	(2)
Ta có .+ + + + .+ 
	= 	(3)
Từ (1) , (2), (3) Su