Đề khảo sát Học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Năm học 2016-2017 - Phòng Giáo dục và đào tạo Tiền Hải (Có đáp án)

PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO 
TIỀN HẢI
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2016-2017
MÔN TOÁN 6
Bài 1. (4,0 điểm)
Tính giá trị biểu thức 
Tìm số tự nhiên biết: 
Bài 2. (4,0 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì 
Chứng minh rằng: Nếu là số nguyên tố lớn hơn 3 và cũng là số nguyên tố thì là hợp số
Bài 3. (4,0 điểm)
Chứng minh rằng số viết bởi chữ số giống nhau thì chia hết cho 27
Tìm số tự nhiên có 4 chữ số biết rằng là số chính phương và là bội của 147
Bài 4. (6,0 điểm)
Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OA vẽ các tia sao cho Gọi OM là tia phân giác của 
Tính AOM
Vẽ tia là tia đối của tia OM. Chứng minh rằng là tia phân giác của góc 
Trên nửa mặt phẳng bờ là tia Ox, vẽ các tia sao cho góc Tìm số n nhỏ nhất để trong các tia đã vẽ có một tia là tia phân giác chung của 2017 góc.
Bài 5. (2,0 điểm) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất để các phân số sau đều tối giản.
ĐÁP ÁN
Bài 1.
Ta có:
 b) Ta có:
Vậy 
Bài 2.
Gọi là UCLN và 
 và 
 và 
Vậy 
Vì là số nguyên tố, không chia hết cho 3
Ta có 
Theo bài ra và là số nguyên tố không chia hết cho 3. Suy ra không chia hết cho 3.
Mà là ba số tự nhiên liên tiếp nên tồn tại một số chia hết cho 3, do đó chia hết cho 3.
Vì nên là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước.
Suy ra là hợp số.
Bài 3.
Trước hết ta chứng minh số gồm 27 chữ số 1 thì chia hết cho 27
Thật vậy: 
Mà và 
Từ đó suy ra nếu một số viết bởi 27 chữ số thì số đó bằng nên số đó chia hết cho 27.
Vì là số tự nhiên có 4 chữ số nên 
Theo bài ra là bội của 147 nên 
Do là số chính phương nên khi phân tích ra thừa số nguyên tố thì lũy thừa các thừa số nguyên tố phải có số mũ chẵn 
Để n là số chính phương thì m là số chính phương 
Suy ra các số tự nhiên cần tìm là : 
Bài 4.
Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA có 
 Tia OC nằm giữa hai tia và OB
Vì là tia phân giác của 
Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia có nên tia OM nằm giữa hai tia OA và OB
 hay 
Vì là hai tia đối nhau nên hai góc và là hai góc kề bù
Suy ra 
Vì hai tia OM và ON nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là tia OA nên tia OA nằm giữa hai tia OM và ON (2)
Từ (1) và (2) suy ra tia là tia phân giác của 
Trên nửa mặt phẳng bờ là tia Ox, vẽ các tia sao cho 
Vậy khi nhỏ nhất là thì lúc đó là tia phân giác chung của góc: 
Bài 5.
Các phân số đã cho đều có dạng , vì các phân số này đều tối giản nên và phải là hai số nguyên tố cùng nhau.
Như vậy phải là số nguyên tố cùng nhau với lần lượt các số và phải là số nhỏ nhất.
Nên là số nguyên tố nhỏ nhất lớn hơn 100