Đề thi Học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Năm học 2017-2018 - Phòng Giáo dục và đào tạo huyện Trực Ninh (Có đáp án)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN TRỰC NINH
ĐỀ CHÍNH THỨC 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2017-2018
MÔN TOÁN LỚP 6
Thi ngày 04 tháng 4 năm 2018
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
Bài 1. (5,0 điểm) Tính hợp lý
Bài 2. (5,0 điểm)
Tìm biết 
Cho thỏa mãn . Chứng tỏ rằng 
Tìm số tự nhiên n trong khoảng 290 đến 360 để phân số rút gọn được
Bài 3. (4,0 điểm)
Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho đều là số chính phương?
Cho 
Chứng tỏ rằng . Tìm chữ số tận cùng của A
Bài 4. (4,0 điểm)
Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2 cm. Lấy điểm C thuộc đường thẳng AB sao cho Tính độ dài đoạn thẳng AC
Cho . Vẽ tia phân giác của . Tính số đo góc 
Giả sử là tia phân giác của , là tia phân giác của , là tia phân giác của . Tính số đo góc 
Bài 5. (2,0 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có 
Viết số dưới dạng tổng của một số số nguyên dương. Gọi T là tổng các lập phương của tất cả các số đó. Tìm số dư của trong phép chia cho 6
----hết-----
ĐÁP ÁN HSG 6 TRỰC NINH_2017-2018
Bài 1.
b) (Có 50 thừa số nên B= 1 
Bài 2.
Vì nên , suy ra là ước nguyên của 10 và lẻ
Lập bảng
1
1
5
-5
10
-10
2
-2
14
-6
6
2
0
-1
2
-3
Vậy 
b) Phải chứng minh 
Đặt Xét tổng 
Nếu mà 
Nếu Chứng tỏ 
Vì 
Nếu 
Nếu 
c) Gọi d là ước nguyên tố chung của và 
Ta có: 
Vì d nguyên tố nên 
Khi đó 
Mà suy ra 
Do , mà k là số tự nhiên nên 
Từ đó tìm được 
Bài 3. 
Do là số chính phương nên khi chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1.
Nếu thì n chia cho 3 dư 2 chia cho 3 dư 2, vô lý.
Do đó chia cho 3 sẽ dư 1
Do là số chính phương lẻ nên chia cho 8 dư 1, suy ra , từ đó 
Do đó là số chính phương lẻ nên chia cho 8 dư 1, suy ra 
Ta thấy mà nên mà n là số nguyên dương
Với thì 
Vậy là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn đề bài
Ta có (tổng A có 2018 số hạng, 
Bài 4.
Trường hợp điểm C thuộc tia đối của tia BA
Điểm C thuộc tia đối của tia BA nên hai tia BA và BC đối nhau, suy ra điểm B nằm giữa hai điểm A và C
Ta có: thay số tính được 
Trường hợp điểm C thuộc tia BA
Trên tia BA, nên điểm A nằm giữa hai điểm B và C
Ta có: Thay số tính được 
Tia là tia phân giác của nên 
Tia là tia phân giác của nên 
Tương tự như trên, tia là tia phân giác của nên 
Bài 5
Ta có 
Với mọi số nguyên dương n thì là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp sẽ chia hết cho 2 và 3 mà nên 
b) Ta có 
Xét hiệu 
Theo câu a ta có nên 
Suy ra T và cùng dư khi chia cho 6
Mặt khác 4321 chi 6 dư 1 nên chia cho 6 cũng dư 1. Vậy T chia 6 dư 1