Đề thi học sinh giỏi Toán học Lớp 6 (Có đáp án)

ĐỀ SỐ 1
Bài 1 (4.0 điểm) : Tính giá trị biểu thức
a/ 
b/ 
Bài 2 (4.0 điểm) : 
a/ Tìm x, y nguyên biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55
b/ Chứng minh rằng : 
Bài 3 (3.0 điểm ) : Cho biểu thức : 
a/ Tìm n để A nhận giá trị nguyên.
b/ Tìm n để A là phân số tối giản
Bài 4 (3.0 điểm) : Tìm số nguyên tố ( a > b > 0 ), sao cho là số chính phương
Bài 5 (4.0 điểm) : Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA và OB.
a/ Vẽ tia OC tạo với tia OA một góc bằng ao, vẽ tia OD tạo với tia OCC một góc bằng (a + 10)o và với tia OB một góc bằng (a + 20)o
Tính ao
b/ Tính góc xOy, biết góc AOx bằng 22o và góc BOy bằng 48o
c/ Gọi OE là tia đối của tia OD, tính số đo góc kề bù với góc xOD khi góc AOC bằng ao
Bài 6 (3.0 điểm) : Cho 
a/ Chứng minh rằng A chia hết cho 24
b/ Chứng minh rằng A không phải là số chính phương.
---------------------------------- Hết ----------------------------------
ĐÁP ÁN
CÂU
NỘI DUNG
ĐIỂM
Câu 1
a/ 
2.0
b/ 
2.0
Câu 2
a/ Tìm x, y nguyên biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55
=>(3y – 1)(2x + 1) = -55
=> (1)
Để x nguyên thì 3y – 2 Î Ư(-55) = 
+) 3y – 2 = 1 => 3y = 3 => y = 1, thay vào (1) => x = 28
+) 3y – 2 = 5 => 3y = 7 => y = (Loại)
+) 3y – 2 = 11 => 3y = 13 => y = (Loại)
+) 3y – 2 = 55 => 3y = 57 => y = 19 , thay vào (1) => x = -1
+) 3y – 2 = - 1 => 3y = 1 => y = (Loại)
 +) 3y – 2 = -5 => 3y = -3 => y = -1, thay vào (1) => x = 5
+) 3y – 2 = -11 => 3y = -9 => y = -3 , thay vào (1) => x = 2
+) 3y – 2 = -55 => 3y = -53 => y =(Loại)
Vậy ta có 4 cặp số x, y nguyên thoả mãn là 
(x ; y ) = (28 ; 1) , (-1 ; 19) , (5 ; -1), (2 ; -3)
2.0
b/ Chứng minh rằng : 
Ta có
 (ĐPCM)
2.0
Câu 3
Cho biểu thức : 
a/ Tìm n để A nhận giá trị nguyên.
Ta có : 
(2)
A nguyên khi n – 3 ÎƯ(4) = => n Î
1.0
b/ Tìm n để A là phân số tối giản
Ta có : (Theo câu a)
Xét n = 0 ta có phân số A = là phân số tối giản
Xét n ¹ 0 ; 3 
Gọi d là ước chung của (n + 1) và (n – 3)
=> (n + 1) d và (n – 3) d
=> (n + 1) - (n – 3) chia hết cho d => 4 chia hết cho d => d = ±1 ; ±2; ±4
=> d lớn nhất bằng 4 => A không phải là phân số tối giản
Kết luận : Với n = 0 thì A là phân số tối giản
1.0
Câu 4
Tìm số nguyên tố ( a > b > 0 ), sao cho là số chính phương
Ta có : 
Vì => a,b => 1 £ a- b £ 8
Để là số chính phương thì a – b = 1; 4 
+) a – b = 1 (mà a > b) ta có các số là : 98 ; 87 ; 76; 65; 54 ; 43; 32; 21
Vì là số nguyên tố nên chỉ có số 43 thoả mãn
+) a – b = 4 (mà a > b) ta có các số là : 95 ; 84 ; 73; 62; 51 
Vì là số nguyên tố nên chỉ có số 73 thoả mãn
Kết luận : Vậy có hai số thoả mãn điều kiện bài toán là 43 và 73
3.0
Câu 6
Hình vẽ
Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA và OB.
a/ Vẽ tia OC tạo với tia OA một góc bằng ao, vẽ tia OD tạo với tia OCC một góc bằng (a + 10)o và với tia OB một góc bằng (a + 20)o.Tính ao
Do OC, OD nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và . Nên tia OC nằm giữa hai tia OA v à OD
=> 
=> ao + (a + 10)o + (a + 20)o = 180o
=> 3.ao + 30o = 180o => ao = 50o
2.0
b/ Tính góc xOy, biết góc AOx bằng 22o và góc BOy bằng 48o
Tia Oy nằm giữa hai tia OA v à OB
Ta có : 
Nên tia Ox nằm giữa hai tia OA và Oy
=> 
1.0
c/ Gọi OE là tia đối của tia OD, tính số đo góc kề bù với góc xOD khi góc AOC bằng ao
V ì tia OC nằm giữa hai tia OA và OD nên
Vì nên tia Ox nằm giữa hai tia OA và OD
=> 
Vậy số đo góc kề bù với góc xOD có số đo là : 180o – 88o = 92o
1.0
Câu 6
Cho 
a/ Chứng minh rằng A chia hết cho 24
Ta có : 
 (1)
Ta lại có các số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 có tổng tổng các chữ số bằng 1, nên các số 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 khi chia cho 3 đều có số dư bằng 1
8 chia cho 3 dư 2.
Vậy A chia cho 3 có số dư là dư của phép chia (1 + 1 + 1 + 1 + 2) chia cho 3
Hay dư của phép chia 6 chia cho 3 (có số dư bằng 0)
Vậy A chia hết cho 3
Vì 8 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau nên A chia hết cho 8.3 = 24
1.5
b/ Chứng minh rằng A không phải là số chính phương.
Ta có các số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 đều có chữ số tận cùng là 0
Nên có chữ số tận cùng là 8
Vậy A không phải là số chỉnh phương vì số chính phương là những số có chữ số tận cùng là 1 ; 4; 5 ; 6 ; 9
1.5