Nâng cao phát triển và bồi dưỡng học sinh giỏi theo chuyên đề môn Toán Lớp 6

NÂNG CAO PHÁT TRIỂN & BỒI DƯỠNG HSG THEO CHUYÊN ĐỀ
MÔN TOÁN LỚP 6
CHUYÊN ĐỀ 1: TẬP HỢP VÀ CỦNG CỐ VỀ SỐ TỰ NHIÊN
Giáo viên giảng dạy: Thầy Thích
DẠNG 1: TẬP HỢP TRÊN SỐ TỰ NHIÊN
Bài 1: Viết các tập hợp sau rồi tìm số phần tử của mỗi tập hợp đó:
Tập hợp A các số tự nhiên x mà 8 : x = 2
Tập hợp B các số tự nhiên x mà x + 3 < 5
Tập hợp C các số tự nhiên x mà x – 2 = x + 2
Tập hợp D các số tự nhiên x mà x : 2 = x : 4
Tập hợp E các số tự nhiên x mà x + 0 = x
Bài 2: Viết các tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của nó:
Tập hợp A các số tự nhiên có hai chữ số, trong đó chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2.
Tập hợp B các số tự nhiên có ba chữ số mà tổng các chữ số bằng 3.
Bài 3: Cho các tập hợp:
	A = {1; 2; 3; 4}, B = {3; 4; 5}
Viết các tập hợp vừa là tập hợp con của A, vừa là tập hợp con của B.
Bài 4: Cho tập hợp: 
	A = {1; 2; 3; 4}
Viết các tập hợp con của A mà mọi phần tử của nó đều là số chẵn
Viết các tập hợp con của A.
DẠNG 2: ĐẾM
Bài 1: Trong các số tự nhiên từ 1 đến 100, có bao nhiêu số:
Chia hết cho 2 mà không chia hết cho 3?
Chia hết cho ít nhất một trong hai số 2 và 3?
Không chia hết cho 2 và không chia hết cho 3?
Bài 2: Trong các số tự nhiên từ 1 đến 1000, có bao nhiêu số:
Chia hết cho ít nhất một trong các số 2, 3, 5?
Không chia hết cho tất cả các số tự nhiên từ 2 đến 5?
Bài 3: Trong số 100 học sinh có 75 học sinh thích học Toán, 60 học sinh thích Văn.
Nếu có 5 học sinh không thích cả Toán lẫn Văn thì có bao nhiêu học sinh thích cả hai môn Văn và Toán?
Có nhiều nhất bao nhiêu học sinh thích cả hai môn Văn và Toán?
Có ít nhất bao nhiêu học sinh không thích cả hai môn Văn và Toán?
Bài 4: Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 4 gồm bốn chữ số, chữ số tận cùng bằng 2?
Bài 5: Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số trong đó có đúng một chữ số 5?
Bài 6: Để đánh số trang của một cuốn sách, người ta viết dãy số tự nhiên bắt đầu từ 1 và phải dùng tất cả 1998 chữ số.
Hỏi cuốn sách có bao nhiêu trang?
Chữ số thứ 1010 là chữ số nào?
Bài 7: Trong các số tự nhiên có ba chữ số, có bao nhiêu số:
Chứa đúng một chữ số 4?
Chứa đúng hai chữ số 4?
Chia hết cho 5, có chứa chữ số 5?
Chia hết cho 3, không chứa chữ số 3?
Bài 8: Viết dãy số tự nhiên từ 1 đến 999 ta được một số tự nhiên A.
Số A có bao nhiêu chữ số?
Tính tổng các chữ số của số A?
Chữ số 1 được viết bao nhiêu lần?
Chứ số 0 được viết bao nhiêu lần?
Bài 9: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, lập tất cả các số tự nhiên mà mỗi chữ số trên đều có mặt đúng một lần. Tính tổng các số ấy.
DẠNG 3: TÌM SỐ TỰ NHIÊN
Bài 1: Tìm số tự nhiên có năm chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 2 vào đằng sau số đó thì được số lớn gấp ba lần số có được bằng các viết thêm chữ số 2 vào đằng trước số đó.
Bài 2: Tìm số tự nhiên có tận cùng bằng 3, biết rằng nếu xóa chữ số hàng đơn vị thì số đó giảm đi 1992 đơn vị.
Bài 3: Tìm ba chữ số khác nhau và khác 0, biết rằng nếu dùng cả ba chữ số này lập thành các số tự nhiên có ba chữ số thì hai số lớn nhất có tổng bằng 1444.
Bài 4: Hiệu của hai số là 4. Nếu tăng một số gấp ba lần, giữ nguyên số kia thì hiệu của chúng bằng 60. Tìm hai số đó.
Bài 5: Tìm hai số, biết rằng tổng của chúng gấp 5 lần hiệu của chúng, tích của chúng gấp 24 lần hiệu của chúng.
Bài 6: Tích của hai số là 6210. Nếu giảm một thừa số đi 7 đơn vị thì tích mới là 5265. Tìm các thừa số của tích.
Bài 7: Một học sinh nhân một số với 463. Vì bạn đó viết các chữ số tận cùng của các tích riêng ở cùng một cột nên tích bằng 30524. Tìm số bị nhân?
Bài 8: Tìm thương của một phép chia, biết rằng nếu thêm 15 vào số bị chia và thêm 5 vào số chia thì thương và số dư không đổi?
Bài 9: Khi chia một số tự nhiên gồm ba chữ số như nhau cho một số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau, ta được thương là 2 và còn dư. Nếu xóa một chữ số ở số bị chia và xoát một chữ số ở số chia thì thương của phép chia vẫn bằng 2 nhưng số dư giảm hơn trước là 100. Tìm số bị chia và số chia lúc đầu.
HƯỚNG DẪN – LỜI GIẢI – ĐÁP SỐ
DẠNG 1: TẬP HỢP TRÊN SỐ TỰ NHIÊN
Bài 1: Viết các tập hợp sau rồi tìm số phần tử của mỗi tập hợp đó:
Tập hợp A các số tự nhiên x mà 8 : x = 2
x = 8 : 2 = 4
A ={4} 
Tập hợp B các số tự nhiên x mà x + 3 < 5
x < 2
A ={0; 1}
Tập hợp C các số tự nhiên x mà x – 2 = x + 2
0.x = 4
A = 
Tập hợp D các số tự nhiên x mà x : 2 = x : 4
x = 0
A ={0}
Tập hợp E các số tự nhiên x mà x + 0 = x
x = x 
A ={0; 1; 2; 3; .}
Bài 2: Viết các tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của nó:
Tập hợp A các số tự nhiên có hai chữ số, trong đó chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2.
A ={20; 31; 42; 53;64; 75; 86; 97}
Tập hợp B các số tự nhiên có ba chữ số mà tổng các chữ số bằng 3.
B ={102; 120; 111; 201; 210}
Bài 3: Cho các tập hợp:
	A = {1; 2; 3; 4}, B = {3; 4; 5}
Viết các tập hợp vừa là tập hợp con của A, vừa là tập hợp con của B.
; {3; 4}; {3}; {4}.
Bài 4: Cho tập hợp: 
	A = {1; 2; 3; 4}
Viết các tập hợp con của A mà mọi phần tử của nó đều là số chẵn
B ={2; 4}, B1 = {2}, B2 = {4}
Viết các tập hợp con của A.
C ={1}; D ={2}; E ={3}; F ={4}
G ={1; 2}; H ={1; 3}; I={1; 4}; K ={2; 3}; L ={3; 4} ; M ={2; 4}
N ={1; 2; 3}; O ={1; 3; 4} ; P ={2; 3; 4}; T = {1; 2; 4}
Q = 
A ={1; 2; 3; 4}
DẠNG 2: ĐẾM
Bài 1: Trong các số tự nhiên từ 1 đến 100, có bao nhiêu số:
Chia hết cho 2 mà không chia hết cho 3?
Các số chia hết cho 2:1; 2; 4; ; 100
số các số chia hết cho 2 là: + 1 = 50 số
Các số chia hết cho 2 và 3: 6; 12; 18; 24; ; 96
số các số chia hết cho cả 2 và 3 là : +1 = 16 số
Vậy từ 1 – 100 có 50 – 16 = 34 số chia hết cho 2 mà không chia hết cho 3 
Chia hết cho ít nhất một trong hai số 2 và 3?
Các số chia hết cho 3 là: 3; 6; 9; 12; 15; ; 99
số các số chia hết cho 3 là: + 1 = 33 số
Vậy các số chia cho ít nhất một trong hai số 2 và 3 là : 50 + 33 – 16 = 67 số
Không chia hết cho 2 và không chia hết cho 3?
Các số không chia hết cho 2 và cho 3 là: 100 – 67 = 33 số
Bài 2: Trong các số tự nhiên từ 1 đến 1000, có bao nhiêu số:
Chia hết cho ít nhất một trong các số 2, 3, 5?
Gọi A, B, C, D, E, G, H là tập hợp các số từ 1 đến 1000 mà theo thứ tự chia hết cho 2, chia hết cho 3, chia hết cho 5, chia hết cho 2 và 3, chia hết cho 2 và 5, chia hết cho 3 và 5, chia hết cho cả 3 số. số phần tử của các tập hợp đó theo thứ tự bằng s1, s2, s3, s4, s5, s6, s7.
Ta có: 
s1 = 1000 : 2 = 500
s2 = [1000 : 3] = 333
s3 = 1000 : 5 = 200
s4 = [1000 : 6] = 166
s5 = 1000 : 10 = 100
s6 = [1000 : 15] = 66
s7 = [1000 : 30] = 33.
Các số phải tìm gồm: s1 + s2 +s3 – s4 – s5 –s6 +s7 = 734 số.
Không chia hết cho tất cả các số tự nhiên từ 2 đến 5?
Còn lại 1000 – 734 = 266 số
Bài 3: Trong số 100 học sinh có 75 học sinh thích học Toán, 60 học sinh thích Văn.
HƯỚNG DẪN:
Gọi số học sinh thích cả hai môn Văn và Toán là x, số học sinh thích Toán mà k thích Văn là 75 – x.
Nếu có 5 học sinh không thích cả Toán lẫn Văn thì có bao nhiêu học sinh thích cả hai môn Văn và Toán?
Ta có: 75 – x + 60 + 5 = 100
x = 40
vậy có 40 học sinh thích cả hai môn.
Có nhiều nhất bao nhiêu học sinh thích cả hai môn Văn và Toán?
60 học sinh ( nếu tất cả số thích văn đều thích toán)
Có ít nhất bao nhiêu học sinh không thích cả hai môn Văn và Toán?
75 – x + 60 ≤ 100 => x ≥ 35. Có ít nhất 35 học sinh thích cả hai môn Văn và Toán.
Bài 4: Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 4 gồm bốn chữ số, chữ số tận cùng bằng 2?
HƯỚNG DẪN:
Các số phải đếm có dạng 
Chữ số a có 9 cách chọn
Với mỗi cách chọn a, chữ số b có 10 cách chọn
Với mỗi cách chọn a, b chữ số c có 5 cách chọn (1, 3, 5, 7, 9) để tạo với chữ số 2 tận cùng làm thành số chia hết cho 4.
Tất cả có: 9. 10 . 5 = 450 số.
Bài 5: Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số trong đó có đúng một chữ số 5?
HƯỚNG DẪN:
Chia ra 3 loại số:
Số đếm có dạng : : chữ số a có 9 cách chọn, chữ số b có 9 cách chọn. các số thuộc loại này có: 9.9 = 81 số.
Số đếm có dạng : chữ số a có 8 cách chọn, chữ số b có 9 cách chọn. các số thuộc loại này có : 8.9 = 72 số
Số đếm có dạng : các số thuộc loại này có: 8.9 = 72 số.
Vậy số số tự nhiên có ba chữ số trong đó có đúng một chữ số 5 là: 81 + 72 +72 = 225 số
Bài 6: Để đánh số trang của một cuốn sách, người ta viết dãy số tự nhiên bắt đầu từ 1 và phải dùng tất cả 1998 chữ số.
Hỏi cuốn sách có bao nhiêu trang?
Ta có : Từ trang 1 đến trang 9 phải dùng 9 chữ số ( viết tắt c/s )
Từ trang 10 đến trang 99 phải dùng (99-10)+1=90 số có 2 c/s = 180 c/s
Vì còn các trang gồm các số có 3 c/s
 Còn lại: 1998 - (180 +9 ) = 1809 c/s là đánh dấu các trang có 3 c/s
 Có: 1809:3=603 số có 3 c/s
Vậy:
 Cuốn sánh đó có : 603 + 99 =702 ( vì từ trang 1->99 có 99 trang )
Cuốn sách có 702 trang
Chữ số thứ 1010 là chữ số nào?
Chữ số thứ 1010 là chữ số 7 của 374.
Bài 7: Trong các số tự nhiên có ba chữ số, có bao nhiêu số:
Chứa đúng một chữ số 4?
Các số phải đếm có 3 dạng:
 có 9.9 = 81 số
 có 8.9 = 72 số
 có 8.9 = 72 số
Tất cả có: 81 +72 +72 = 225 số 
Chứa đúng hai chữ số 4?
Các số phải đếm gồm 3 dạng: , , , có 26 số
Chia hết cho 5, có chứa chữ số 5?
Số có ba chữ số, chia hết cho 5 gồm 180 số. trong đó số không chứa chữ số 5 có dạng , a có 8 cách chọn, b có 9 cách chọn, c có 1 cách chọn (là 0) gồm 8.9 = 72 số
Vậy có: 180 – 72 = 108 số phải đếm
Chia hết cho 3, không chứa chữ số 3?
Số phải tìm có dạng , a có 8 cách chọn, b có 9 cách chọn, c có 3 cách chọn ( nếu a + b = 3k thì c = 0; 3; 6; 9, nếu a + b = 3k + 1 thì c = 2; 5; 8
Nếu a + b = 3k + 2 thì c = 1; 4; 7), có 8.9.3 = 216 số 
Bài 8: Viết dãy số tự nhiên từ 1 đến 999 ta được một số tự nhiên A.
HƯỚNG DẪN:
Số A có bao nhiêu chữ số?
Từ 1 đến 9 có 9 số gồm: 1.9 = 9 chữ số
Từ 10 đến 99 có 90 số gồm: 90.2 = 180 chữ số
Từ 100 đến 999 có 900 số gồm : 900.3 = 2700 chữ số
Số A có: 9 + 180 + 2700 = 2889 chữ số.
Tính tổng các chữ số của số A?
Giả sử ta viết số B là các số tự nhiên từ 000 đến 999(mỗi số đều viết bởi 3 chữ số), thế thì tổng các chữ số của B cũng bằng tổng các chữ số của A.
B có: 3.1000 = 3000 chữ số, mỗi chữ số từ 0 đến 9 đều có mặt
3000 : 10 = 300 (lần)
Tổng các chữ số của B (cũng là của A):
(0+1+2+ +9).300 = 45.300= 13500
Chữ số 1 được viết bao nhiêu lần?
Cần đếm số chữ số 1 trong 1 dãy:
1, 2, 3, , 999 (1)
Ta xét dãy: 000, 001, 002, , 999 (2)
Số chữ số 1 trong hai dãy như nhau. Ở đây dãy (2) có 1000 số, mỗi số gồm 3 chữ số, số lượng mỗi chữ số từ 0 đến 9 đều như nhau. Mỗi chữ số (từ 0 đến 9) đều có mặt:
3. 1000 : 10 = 300 (lần)
Vậy ở dãy (1) chữ số 1 cũng được viết 300 lần.
Chữ số 0 được viết bao nhiêu lần?
Ở dãy (2) chữ số 0 có mặt 300 lần.
So với dãy (1) thì ở dãy (2) ta viết thêm các chữ số 0:
Vào hàng tram 100 lần ( chữ số hàng tram của các số từ 000 đến 099);
Vào hàng chục 10 lần (chữ số hàng chục của các số thừ 000 đến 009);
Vào hàng đơn vị 1 lần (chữ số hàng đơn vị của 000).
Vậy chữ số 0 ở dãy (1) được viết là: 300 – 111 = 189 (lần)
Bài 9: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, lập tất cả các số tự nhiên mà mỗi chữ số trên đều có mặt đúng một lần. Tính tổng các số ấy.
HƯỚNG DẪN:
Ta lập được 4.3.2.1 = 24 số tự nhiên bao gồm cả bốn chữ số 1, 2, 3, 4. Mỗi chữ số có mặt 6 lần ở mỗi hàng. Tổng của 24 số nói trên bằng: 
60 + 600 + 6000 + 60000 = 66660.
DẠNG 3: TÌM SỐ TỰ NHIÊN
Bài 1: Tìm số tự nhiên có năm chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 2 vào đằng sau số đó thì được số lớn gấp ba lần số có được bằng cách viết thêm chữ số 2 vào đằng trước số đó.
HƯỚNG DẪN:
Gọi số cần tìm là: (a khác 0)
Theo bài ra ta có: = 3. 
10. +2 = 3.200000 + 3. 
7. = 599998
 = 85714
 Thử lại: 857142 = 3. 285714
Vậy số cần tìm là 857142
Bài 2: Tìm số tự nhiên có tận cùng bằng 3, biết rằng nếu xóa chữ số hàng đơn vị thì số đó giảm đi 1992 đơn vị.
HƯỚNG DẪN:
Vì rằng nếu xóa chữ số hàng đơn vị thì số đó giảm đi 1992 đơn vị nên số tự nhiên cần tìm có 4 chữ số.
Gọi số tự nhiên cần tìm là . (a≠ 0)
Theo bài ra ta có – 1992 = 
10. + 3 - 1992 = 
9. = 1989
 = 221
Vậy số cần tìm là 2213
Bài 3: Tìm ba chữ số khác nhau và khác 0, biết rằng nếu dùng cả ba chữ số này lập thành các số tự nhiên có ba chữ số thì hai số lớn nhất có tổng bằng 1444.
HƯỚNG DẪN:
Gọi ba chữ số cần tìm là: a, b , c (a > b > c > 0).
Theo bài ra ta có:
 + = 1444
100a + 10b + c + 100a + 10c + b = 1444
200a + 11b + 11c = 1444 
200a + 11(b + c) = 1400 + 11.4
a = 7; b =3; c =1
Vậy 3 số cần tìm là 1; 3; 7
Bài 4: Hiệu của hai số là 4. Nếu tăng một số gấp ba lần, giữ nguyên số kia thì hiệu của chúng bằng 60. Tìm hai số đó.
HƯỚNG DẪN:
Gọi 2 số đó là a, b (a>b)
Theo bài ra ta có: a – b = 4 => b = a – 4 (1)
Nếu tăng một số gấp ba lần, giữ nguyên số kia thì hiệu của chúng bằng 60
3a – b = 60(2)
Thay (1) vào (2) ta có:
3a – (a – 4) = 60
3a – a + 4 = 60
2a = 56
a = 28
b = 24
Vậy số cần tìm là 28; 24. 
Bài 5: Tìm hai số, biết rằng tổng của chúng gấp 5 lần hiệu của chúng, tích của chúng gấp 24 lần hiệu của chúng.
HƯỚNG DẪN:
Theo đầu bài. Nếu biểu thị hiệu là 1phần thì tổng là 5 phần và tích là 24 phần. 
Số lớn là: 
( 5 + 1 ) : 2 = 3 ( phần ) 
Số bé là: 
5 - 3 = 2 ( phần ) 
Vậy tích sẽ bằng 12 lần số bé. 
Ta có: 
Tích = Số lớn x Số bé 
Tích = 12 x Số bé 
Suy ra Số lớn là 12. 
Số bé là: 
12 : 3 x 2= 8 
Đáp số: 
SL: 12 
SB: 8 
Bài 6: Tích của hai số là 6210. Nếu giảm một thừa số đi 7 đơn vị thì tích mới là 5265. Tìm các thừa số của tích.
HƯỚNG DẪN:
Gọi thừa số được giảm là a , thừa số còn lại là b. theo đề bài ta có:
a.b = 6210
(a – 7).b = 5265
a.b – 7.b = 5265
6210 – 7.b = 5265
7.b = 6210 – 5265
7.b = 945
b= 945 : 7 = 135
a= 6210 : 135 = 46
Vậy hai thừa số cần tìm là 46; 135
Bài 7: Một học sinh nhân một số với 463. Vì bạn đó viết các chữ số tận cùng của các tích riêng ở cùng một cột nên tích bằng 30524. Tìm số bị nhân?
HƯỚNG DẪN:
Do đặt sai vị trí các tích riêng nên bạn học sinh đó chỉ nhân số bị nhân với 4 + 6+ 3. Vậy số bị nhân bằng : 30524 : 13 = 2348.
Bài 8: Tìm thương của một phép chia, biết rằng nếu thêm 15 vào số bị chia và thêm 5 vào số chia thì thương và số dư không đổi?
HƯỚNG DẪN:
Gọi số bị chia, số chia, thương và số dư lần lượt là a, b, c, d. Ta có:
a : b=c (dư d)
 a=c.b+d
(a+15) : (b+5)=c (dư d)
 a+15=c.(b+5)+d
 a+15=c.b+c.5+d
Mà a=c.b+d nên:
a+15=c.b+c.5+d
=c.b+d+15=c.b+c.5+d
 15=c.5
 c=3
Bài 9: Khi chia một số tự nhiên gồm ba chữ số như nhau cho một số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau, ta được thương là 2 và còn dư. Nếu xóa một chữ số ở số bị chia và xoát một chữ số ở số chia thì thương của phép chia vẫn bằng 2 nhưng số dư giảm hơn trước là 100. Tìm số bị chia và số chia lúc đầu.
HƯỚNG DẪN:
Gọi số bị chia lúc đầu là , số chia lúc đầu là số dư lúc đầu là r.
Ta có: =2. + r (1)
 = 2. + r – 100 (2)
Từ (1) và (2) => - = 2.( - ) + 100
 = 2. + 100
Ta có:
b
1
2
3
4
a
3
5
7
9
Thử từng trường hợp ta được 3 đáp số:
555 và 222; 777 và 333; 999 và 444
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: Viết liên tiếp các số tự nhiên thành dãy 12345 Hỏi chữ số 1 ở hàng đơn vị của số 1991 đứng ở hàng thứ bao nhiêu?
Bài 2: Viết liên tiếp các số tự nhiên chẵn thành dãy 246810 Hỏi chữ số thứ 2000 là chữ số gì?
Bài 3: Cho dãy số 4, 7, 10, 13, 16, 
Tìm số thứ 100, số thứ n của dãy số đó.
Các số 45723 và số 3887 có mặt trong dãy đó không?
Bài 4: Cho dãy số 7, 12, 17, 22, 27, 
Tìm số thứ 1000 của dãy số trên.
Các số 38246 và 795841 có mặt trong dãy đó không?
Bài 5: Có bao nhiêu số có ba chữ số mà có ít nhất hai chữ số giống nhau?
Bài 6: Tính nhẩm:
9.24.25
12.125.54
64.125.875
425.7.4 – 170.60
8.9.14 + 6.17.12 + 19.4.18
Bài 7: Tìm số lớn nhất có ba chữ số mà khi chia cho 75 có thương và số dư bằng nhau?
Bài 8: Có bao nhiêu số năm chữ số mà tổng các chữ số của nó bằng 2?
Bài 9: Tính nhanh:
1992.19911991 – 1991.19921992
Bài 10: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất mà tổng các chữ số của nó bằng 21.
Bài 11: Tổng số trang của 8 quyển vở loại 1, 9 quyển vở loại 2 và 5 quyển vở loại 3 là 1980 trang. Số trang của một quyển vở loại 2 chỉ bằng số trang cảu một quyển vở loại 1. Số trang của 4 quyển vở loại 3 bằng số trang của 3 quyển vở loại 2. Tính số trang của mỗi quyển vở mỗi loại.
Bài 12: Trong một cuộc thi có 20 câu hỏi. Mỗi câu trả lời đúng được 10 điểm, còn sai bị trừ đi 15 điểm. Một học sinh được tất cả 50 điểm. Hỏi bạn đấy đã trả lời đúng mấy câu?
Bài 13: Tổng hai số bằng 270. Nếu gạch bỏ chữ số 6 ở hàng đơn vị của một trong hai số thì ta được số thứ hai. Tìm hai số đó.
Bài 14: Một số có hai chữ số được tăng lên bao nhiêu lần nếu viết tiếp vào số đó hai chữ số ấy?
CHUYÊN ĐỀ 2: DẤU HIỆU CHIA HẾT – CHIA CÓ DƯ
Giáo viên giảng dạy: Thầy Thích
Tel: 0919.281.916 
Email: doanthich@gmail.com 
LÝ THUYẾT
Định nghĩa.
Với mọi a, bÎN (b¹0) ta luôn tìm được số tự nhiên r sao cho
a = bq + r (0 £ r < b)
a là số bị chia, b là số chia, q là thương, r là số dư
- Nếu r = 0 ta được phép chia hết, tanói rằng a chia hết cho b (a: b), hay a là bội của b, hay b chia hết a, hay b là ước của a (b/a).
- Nếu r > 0,ta được phép chia có dư, ta nói rằng a không chia hết cho b (a:b).
2. Các tính chất về phép chia hết. (10 tính chất)
Số 0 chia hết cho mọi số b¹0.
Số a chia hết cho mọi a¹0.
Nếu a b, b c thì ac.
Nếu a và b cùng chia hết cho m thì a+b và a-b đều chia hết cho m.
Nếu một trong hai số a và b chia hết cho m, số kia không chia hết cho m thì a+b và a-b đều không chia hết cho m.
Nếu tổng hoặc hiệu hai số chia hết cho m và một trong hai số ấy chia hết cho m thì số còn lại cũng chia hết cho m.
Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m.
Suy ra a m thì an m (nÎN*).
Nếu a m, b n thì ab mn
Suy ra nếu a b thì an bn.
Nếu một số chia hết cho hai số nguyên tố cùng nhau thì nó chia hết cho tích của hai số đó.
Nếu tích ab chia hết cho m, trong đó b và m là hai số nguyên tố cùng nhau thì a chia hết cho m.
Nếu một tích chia hết cho số nguyên tố p thì tồn tại một thừa số của tích chia hết cho p. Suy ra nếu an p, p là ngyên tố thì a p.
Dấu hiệu chia hết cơ bản:
Dấu hiệu chia hết cho 2: Các số có chữ số tận cùng là: 0,2,4,6,8
Dấu hiệu chia hết cho 5: Các số có chữ số tận cùng là: 0,5
Dấu hiệu chia hết cho 3: Tổng các chữ số của số đó phải chia hết cho 3
Dấu hiệu chia hết cho 9: Tổng các chữ số của số đó phải chia hết cho 9
Dấu hiệu chia hết cho các số khác:
Dấu hiệu chia hết cho 4(25): Hai chữ số tận cùng tạo thành một số chia hết cho 4(25)
Dấu hiệu chia hết cho 8(125): Ba chữ số tận cùng tạo thành một số chia hết cho 8(125)
Dấu hiệu chia hết cho 11: Tổng các chữ số hàng lẻ trừ đi tổng chữ số hàng chẵn chia hết cho 11 hoặc ngược lại.
CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ CHỨNG MINH
Bài 1: Chứng minh rằng:
A = 1 + 3 + 32 + + 311 chia hết cho 4
B = 165 + 215 chia hết cho 33
C = 5 + 52 + 53 + + 58 chia hết cho 30
D = 45 + 99 + 180 chia hết cho 9
E = 1 + 3 + 32 + 33 + + 3119 chia hết cho 13.
F = 1028 + 8 chia hết cho 72
G = 88 + 220 chia hết cho 17
H = 2 + 22 + 23 + + 260 chia hết cho 3, 7, 15
I = E = 1 + 3 + 32 + 33 + + 31991 chia cho 13 và 41.
J = 10n + 18n – 1 chia hết cho 27
K = 10n + 72n – 1 chia hết cho 81
Bài 2: Chứng minh rằng:
 chia hết cho 7, 11 và 13
 chia hết cho 23 và 29, biết = 2.
 chia hết cho a
Chứng minh rằng số gồm 27 chữ số 1 thì chia hết cho 27
 chia hết cho 29 a + 3b + 9c + 27d chia hết cho 29
 chia hết cho 21 a - 2b + 4c chia hết cho 21
Bài 3: Chứng minh rằng:
Chứng minh rằng tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3.
Chứng minh rằng thì 60n + 45 chia hết cho 15 nhưng không chia hết cho 30.
Chứng minh rằng không có số tự nhiên nào mà chia cho 15 dư 6 và chia 9 dư 1.
Chứng minh rằng: (1005a + 2100b) chia hết cho 15, .
Chứng minh rằng: A = n2 + n + 1 không chia hết cho 2 và 5, .
Chứng minh rằng: thì tích (n + 3)(n + 6) chia hết cho 2.
DẠNG 2: TÌM SỐ TỰ NHIÊN THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN NÀO ĐÓ
Tìm các chữ số a và b sao cho a – b = 4 và chia hết cho 9
Cho n = + . Biết a – b = 6 và n chia hết cho 9. Tìm a và b
Tìm hai số tự nhiên chia hết cho 9, biết rằng: Tổng của chúng bằng và hiệu của chúng bằng .
Tìm chữ số a, biết rằng: chia hết cho 7
Tìm số tự nhiên có hai chữ số, sao cho nếu viết nó tiếp sau số 1999 thì ta được một số chia hết cho 37.
Tìm các số tự nhiên chia cho 4 dư 1, còn chia cho 25 thì dư 3
Tìm số tự nhiên có 5 chữ số, biết rằng số đó bằng 45 lần tích các chữ số của nó.
Tìm số , biết rằng số đó chia hết cho tích các số và .
 chia hết cho cả 2,3,5,9
 Tìm tất cả các số có 5 chữ số dạng: mà chia hết cho 36.
DẠNG 3: BÀI TOÁN ĐẾM SỐ TỰ NHIÊN THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN
Từ 1 đến 100 có bao nhiêu số chia hết cho 2, bao nhiêu số chia hết cho 5?
Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 100 chia hết cho 5 và dư 3?
Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số và chia hết cho 3?
Trong các số tự nhiên nhỏ hơn 1000, có bao nhiêu số chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 5?
HƯỚNG DẪN – LỜI GIẢI – ĐÁP SỐ
DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ CHỨNG MINH
Bài 1: Chứng minh rằng:
A = 1 + 3 + 32 + + 311 chia hết cho 4
A = (1 + 3) + 32.(1 + 3) + + 310(1 + 3)
A = 4 + 32.4 + + 310.4
A = 4.(1 + 32 + 310) 4(đpcm)
B = 165 + 215 chia hết cho 33
B = (24)5 + 215
B = 220 + 215 
B = 215.(1 + 25)
B = 215.33 33 (đpcm)
C = 5 + 52 + 53 + + 58 chia hết cho 30
C = (5 + 52) + 52.(5 + 52) + + 56.(5 + 52)
C = 30 + 52.30 + + 56.30
C = 30.(1 + 52 + + 56) 30 (đpcm)
D = 45 + 99 + 180 chia hết cho 9
Ta có: 45 9; 99 9; 180 9 nên D = 45 + 99 + 180 9 (đpcm) (tính chất chia hết của một tổng)
E = 1 + 3 + 32 + 33 + + 3119 chia hết cho 13.
E = (1 + 3 + 32) + 33.(1 + 3 + 32) + + 3117.(1 + 3 + 32)
E = 13 + 33.13 + + 3117.13
E = 13.(1 + 33 + + 3117) 13 (đpcm)
F = 1028 + 8 chia hết cho 72
Ta thấy: 72 = 8.9
Ta có: 
1028 + 8 9 vì tổng các chữ số bằng 9
1028 + 8 8 vì có tận cùng là 008
Mà (8;9) = 1 nên 1028 + 8 8.9 = 72 (đpcm)
G = 88 + 220 chia hết cho 17
G = (23)8 + 220
G = 224 + 220
G = 220.(24 + 1) 
G = 220.17 17 (đpcm)
H = 2 + 22 + 23 + + 260 chia hết cho 3, 7, 15
Ta có:
H = 2.(1 + 2) + 23.(1 + 2) + + 259.(1+2)
H = 2.3 + 23.3 + + 259.3
H = 3.(2 + 23 + .. . + 259) 3
Ta có:
H = 2.(1 + 2 + 22) + 24.(1 + 2 + 22) + + 258.(1 + 2 + 22) 
H = 2.7 + 24.7 + + 258.7
H = 7.(2 + 24 + + 258) 7
Ta có:
H = 2.(1 + 2 + 22 + 23) + 25.(1 + 2 + 22 + 23) + + 257.(1 + 2 + 22 + 23) 
H = 2.15 + 25.15 + + 257.15
H = 15.(2 + 25 + + 257) 15
Vậy H chia hết cho 3, 7, 15.
I = 1 + 3 + 32 + 33 + + 31991 chia cho 13 và 41.
Ta có:
I = (1 + 3 + 32) + 33.(1 + 3 + 32) + + 31989.(1 + 3 + 32)
I = 13 + 33.13 + + 31989.13
I = 13.(1 + 33 + + 31989) 13 (đpcm)
Ta có:
I = (1 + 32 + 34 + 36) + (3 + 33 + 35 + 37) + + (31984 + 31986 + 31988 + 31990 ) + (31985 + 31987 + 31989 + 31991 )
I = (1 + 32 + 34 + 36) + 3.(1 + 32 + 34 + 36) + + 31984.(1 + 32 + 34 + 36) + 31985.(1 + 32 + 34 + 36) 
I = 820.(1 + 3+ + 31984 + 31985) 
I = 41.20.(1 + 3+ + 31984 + 31985) 41
Vậy I chia hết cho 13, 41.
J = 10n + 18n – 1 chia hết cho 27
Ta có: 
J = 10n + 18n – 1 = (10n - 1) + 18n 
J = 99...9 + 18n (số 99...9 có n chữ số 9) 
j = 9(11...1 + 2n) (số 11...1 có n chữ số 1) 
J = 9.L 
Xét biểu thức trong ngoặc
 L = 11...1 + 2n = 11...1 - n + 3n (số 11...1 có n chữ số 1). 
Ta đã biết một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó sẽ có cùng số dư trong phép chia cho 3. Số 11...1 (n chữ số 1) có tổng các chữ số là 1 + 1 + ... + 1 = n (vì có n chữ số 1). 
=> 11...1 (n chữ số 1) và n có cùng số dư trong phép chia cho 3 
=> 11...1 (n chữ số 1) - n chia hết cho 3 
=> L chia hết cho 3 
=> 9.L chia hết cho 27 hay J =10n + 18n – 1 chia hết cho 27 (đpcm)
K = 10n + 72n – 1 chia hết cho 81
Ta có:
K = 10n + 72n – 1 
K =10n - 1 + 72n 
K =(10-1)[10n-1 + 10n-2+...+ 10 + 1] + 72n 
K =9.[10n-1 + 10n-2+...+ 10 + 1] - 9n + 81n 
K =9. [10n-1 + 10n-2+...+ 10 + 1- n] + 81n 
K =9[(10n-1 - 1)+(10n-2 - 1)+...+(10-1) + (1 – 1)] + 81n 
Ta có:
 10k - 1 = (10-1)[10k-1 + ... + 10 +1] chia hết cho 9 
=>9[(10n-1 - 1)+(10n-2 - 1)+...+(10-1) + (1 – 1)] chia hết cho 81 
=>9[10n-1 + 10n-2+...+ 10 + 1- n] + 81n chia hết cho 81 
=>K = 10n + 72n – 1 81 (đpcm).
Bài 2: Chứng minh rằng:
 chia hết cho 7, 11 và 13
Ta có: = 1000 + = 1001. = 7.11.13. 7; 11; 13 (đpcm)
 chia hết cho 23 và 29, biết = 2.
Ta có: = 1000 + = 1000.2. + 
= (2000 + 1) = .2001 = .23.29.3 23; 29 (đpcm)
 chia hết cho a
 = 100.a + 10.a + a = 111.a a (đpcm)
Chứng minh rằng số gồm 27 chữ số 1 thì chia hết cho 27
Gọi A là số gồm 27 chữ số 1, B là số gồm 9 chữ số 1.
Lấy A chia cho B ta được thương là C=10..010..01.
Như vậy : A=B.C , trong đó B chia hết cho 9, C chia hết cho 3
Vậy A chia hết cho 27 (đpcm).
 chia hết cho 29 a + 3b + 9c + 27d chia hết cho 29
Ta có: 29
ó 1000.a + 100.b + 10.c + d 29
ó 2000.a + 200.b + 20.c +2d 29
ó 2001.a – a + 203.b – 3.b + 29.c – 9.c + 29.d – 27.d 29
ó (2001.a + 203.b + 29.c + 29.d) – (a + 3.b + 9.c + 27.d) 29
ó (69.29.a + 7.29.b + 29.c + 29.d) - (a + 3.b + 9.c + 27.d) 29
ó (a + 3.b + 9.c + 27.d) 29 (đpcm)
 chia hết cho 21 a - 2b + 4c chia hết cho 21
Ta có: 
 = 100a + 10b + c 
= 100a - 84a +10b - 42b + c + 63c +84a + 42b -63c
= 16a - 32b + 64c + 84a + 42b -63c 
= 16( a-2b+4c) + 84a + 42b -63c
 chia hết cho 21, 84a + 42b -63c chia hết cho 21 => a-2b+4c (đpcm)
Bài 3: Chứng minh rằng:
Chứng minh rằng tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3.
Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là: a; a + 1; a + 2 
Tổng của ba số là: a + a +1 + a +2 = 3.a + 3 3(đpcm) (tính chất chia hết của một tổng)
Chứng minh rằng thì 60n + 45 chia hết cho 15 nhưng không chia hết cho 30.
Ta có:
60 15 => 60n 15 ; 45 15 => 60n + 45 15 (theo tính chất chia hết của một tổng)
60 30 => 60n 30; 45 không chia hết cho 30 => 60n + 45 không chia hết cho 30 ( theo tính chất chia hết của một tổng).
Chứng minh rằng không có số tự nhiên nào mà chia cho 15 dư 6 và chia 9 dư 1.
Giả sử có số a N thỏa mãn cả hai điều kiện trên thì:
 => Mâu thuẫn
Vậy không có số tự nhiên nào thỏa mãn. (đpcm)
Chứng minh rằng: (1005a + 2100b) chia hết cho 15, .
Vì 1005 chia hết cho 3 nên 1005.a chia hết cho 3 với mọi a
Vì 2100 chia hết cho 3 nên 2100.b chia hết cho 3 với mọi b
(1005a + 2100b) chia hết cho 3 với mọi a,b
 Vì 1005 chia hết cho 5 nên 1005a chia hết cho 5 với mọi a
Vì 2100 chia hết cho 5 nên 2100b chia hết cho 5 với mọi b
(1005a + 2100b) chia hết cho 5 với mọi a, b
Mà (3;5) = 1 => (1005a + 2100b) chia hết cho 15 với mọi a,b
Chứng minh rằng: A = n2 + n + 1 không chia hết cho 2 và 5, .
Vì n.(n+1) là tích hai số tự nhiên liên tiếp, trong 2 số liên tiếp luôn luôn có 1 số chẵn => n.(n+1) là số chẵn, cộng thêm 1 sẽ là số lẻ => n.(n+1) + 1 là số lẻ, không chia hết cho 2.
Để chứng minh n.(n+1) + 1 không chia hết cho 5 ta thấy hai số n và n+1 có thể có các chữ số tận cùng sau:
 n tận cùng là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; tương ứng số tận cùng của n+ 1 như sau:
n+ 1 tận cùng là 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0
=> tích của n.(n+1) tận cùng là:
 0, 2, 6, 2, 0, 0, 2, 6, 2, 0
Hay là n.(n+1) tận cùng là 0, 2, 6
=> n.(n+1) +1 tận cùng là: 1, 3, 7 không chia hết cho 5
Chứng minh rằng: thì tích (n + 3)(n + 6) chia hết cho 2.
Ta xét các trường hợp:
(+) Nếu n là số lẻ thì n + 3 là số chẵn ; n + 6 là số lẻ. Mà số chẵn nhân với số lẻ có tận cùng là số chẵn => (n+3) (n+6) chia hết cho 2.
(+) Nếu n là số chẵn thì n+3 là số lẻ ; n+6 là số chẵn. Mà tích của 1 số lẻ với 1 số chẵn có tận cùng là số chẵn nên => (n+3)(n+6) chia hết cho 2.
Vậy thì tích (n + 3)(n + 6) chia hết cho 2 (đpcm).
DẠNG 2: TÌM SỐ TỰ NHIÊN THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN NÀO ĐÓ
Tìm các chữ số a và b sao cho a – b = 4 và chia hết cho 9
Vì a – b = 4 => a = b + 4 mà chia hết cho 9 => 15 + a + b chia hết cho 9 => 19 + 2b chia hết cho 9 => b = 4; a = 8. 
Cho n = + . Biết a – b = 6 và n chia hết cho 9. Tìm a và b
n chia hết cho 9
 + chia hết cho 9 
 7 + a + 5 + 8 + b + 4 chia hết cho 9
 24 + a + b chia hết cho 9.
Mà a, b 9 a + b 18
 a + b = 3 hoặc a + b = 12.
- a + b = 3
 a = (3 + 6) : 2 = 9/2 không thuộc N (loại)
- a + b = 12
 a = (12 + 6) : 2 = 9 ; b = 9 - 6 = 3 (chọn)
Vậy a = 9 và b = 3.
Tìm hai số tự nhiên chia hết cho 9, biết rằng: Tổng của chúng bằng và hiệu của chúng bằng .
Vì hai số chia hết cho 9 nên tổng của hai số là: 9 ó * = 9; và hiệu của chúng bằng 9 ó * = 3.
Vậy tổng của hai số là 9657 và hiệu của hai số là 5391.
Hai số cần tìm là: 7524 và 2133
Tìm chữ số a, biết rằng: chia hết cho 7
Ta có = .1000 + 
 = (.1000 + ).1000 + 
 = 1001..1000 + 
 = 7.143..1000 + 7
Mà 7.143..1000 7 => 7
 = 200 + a = 196 + 4 + a = 196 + (4 + a) 7
Mà 196 7 => 4 + a 7 => a = 3
Tìm số tự nhiên có hai chữ số, sao cho nếu viết nó tiếp sau số 1999 thì ta được một số chia hết cho 37. 
Gọi số phải tìm là . Ta có: 
 37 => 199900 + 37
 + 26 + 37
26 + 37
Vậy = {11; 48; 85}
Tìm các số tự nhiên chia cho 4 dư 1, còn chia cho 25 thì dư 3
Gọi thương của số tự nhiên x cần tìm tuần tự là a và b 
Theo đề, ta có: 
x = 4a + 1 
x = 25b + 3 
 4a + 1 = 25b + 3 
4a = 25b + 2 
a = (25b + 2)/4 
b = 2 ; a = 13 x = 53 
b = 6 ; a = 38 x = 153 
b = 10 ; a = 63 x = 253 
b = 14 ; a = 88 x = 353 
b = 18 ; a = 113 x = 453 
... 
Đáp số: 
Tất cả các số tự nhiên, tận cùng là 53 đều thoả mãn điều kiện.
Tìm số tự nhiên có 5 chữ số, biết rằng số đó bằng 45 lần tích các chữ số của nó.
Goi số đó là (a, b, c,d, e là các chữ số và a khác 0). Theo đề bài ta có:
= 45*a*b*c*d*e
 = 5*9*a*b*c*d*e
 chia hết cho 5 nên e = 0 (loại) hoăc e = 5. Dễ thấy e = 5. Số abcd5 là số lẻ nên a, b,c, d, e đầu là các chữ số lẻ.
 = 5*9*a*b*c*d*5
 = 25*9*a*b*c*d
Do đó, chia hết cho 25. Mà = abc*100 + d5. d5 chia hết cho 25 và d lẻ => d = 7.
Ta có = chia hết cho 9 nên a + b + c + 7 + 5 = a + b + c + 12 chia hết cho 9. Mà 2 < a + b + c < 28.
Do đó: a + b + c = 6; 15 hoặc 24
Vì a, b, c lẻ nên a + b + c lẻ = > a + b + c = 15
Mà 15 = 1 + 5 + 9 = 1 + 7 + 7 = 3 + 3 + 9 = 3 + 5 + 7 = 5 + 5 + 5
Vì ta có 45*a*b*c*7*5 < 100000
nên a*b*c < 64. Do đó ta chỉ còn xét hai trường hợp, ba chữ số a, b, c có tổng là 1 + 5 + 9 và 1 + 7 + 7.
Thử chọn thấy 77175 là thích hợp.
Đ/S: 77175.
Tìm số , biết rằng số đó chia hết cho tích các số và .
Ta có: = + = 100. + chia hết cho .
=> chia hết cho . Đặt = k. (1 ≤ k ≤ 9)
có .100 + k. chia hết cho . = .k. 
=> 100 + k chia hết cho k. (1) => 100 chia hết cho k
=> k = {1, 2, 4, 5}
+ k = 1; = ; từ (1) => 101 chia hết