Bài tập môn Toán Lớp 6 - Chuyên đề 13: Đồng dư thức

Chuyên đề 
ĐỒNG DƯ THỨC
A.Tóm tắt các kiến thức cơ bản :
I/Định nghĩa :
 Cho m là số nguyên dương. Hai số nguyên a và b được gọi đồng với nhau theo module m, nếu a - b chia hết cho m ( a - b )| m hay m\(a - b) 
Ký hiệu : a ≡ b (mod m) được gọi là một đồng dư thức.
Ví dụ : 3 ≡ - 1 (mod 4)
 5 ≡ 17 (mod 6)
18 ≡ 0 (mod 6)
Điều kiện a ≡ 0 (mod m) có nghĩa là a là bội của m, k/h: a m (a | m) 
hay m là ước của a ( m \ a) .
Nếu a - b không chia hết cho m, ta viết a ≡ b (mod m)
II/ Các tính chất cơ bản :
1) Với mọi số nguyên a, ta có a ≡ a (mod m)
2) a ≡ b (mod m) => b ≡ a (mod m)
3) a ≡ b (mod m) và b ≡ c (mod m) => a ≡ c (mod4) 
 a ≡ b (mod m) và c ≡ d (mod m) => a + c ≡ b + d (mod m)
Hệ quả : a1 ≡ b1 (mod m) , a2 ≡ b2 (mod m) , ... , an ≡ bn (mod m) 
=> a1 + a2 + a3 + ... + an ≡ b1 + b2 + b3 + ... + bn(mod m) 
5) a ≡ b (mod m) và c ≡ d (mod m) => a.c ≡ b.d (mod m)
Hệ quả : a) a1 ≡ b1 (mod m) , a2 ≡ b2 (mod m) , ... , an ≡ bn (mod m) 
 => a1.a2.a3. ... .an ≡ b1.b2.b3. ... .bn(mod m)
 b) a ≡ b (mod m) => an ≡ bn (mod m) - với mọi n Î N
+Nhận xét : 
a) * a ≡ 1 (mod 2) và b ≡ 1 (mod 2) => a + b ≡ 2 (mod 2)
Mà 2 ≡ 0 (mod 2) => a + b ≡ 0 (mod 2)
 * a ≡ 1 (mod 2) và b ≡ 1 (mod 2) => a.b ≡ 1(mod 2)
Điều này có nghĩa : Tổng của hai số lẻ là một số chẵn, tích của hai số lẻ là một số lẻ.
b)a ≡ 3 (mod 7) => a2 ≡ 9 (mod 7) ≡ 2 (mod 2)
Điều này có nghĩa : Nếu một số chia 7 dư 3 thì bình phương số đó chia 7 dư 2.Chú ý : 
a)Không được chia hai vế của một đồng dư thức .
Ví dụ : * 2 ≡ 12 (mod 10) nhưng 1 ≡ 6 (mod 10).
 b) a ≡ 0 (mod m) và b ≡ 0 (mod m), nhưng a.b có thể đồng dư với 0 theo module m.
Ví dụ : 2 ≡ 0 (mod 10) và 5 ≡ 0 (mod 10), nhưng 2.5 = 10 ≡ 10 (mod 10).
Như vậy để phép chia hai vế của đồng thức đòi hỏi phải kèm theo một số điều kiện .
6) Nếu a ≡ b (mod m) và d là ước chung của a, b sao cho (d, m) = 1 
 thì : a : d ≡ b : d (mod m) ( ≡ (mod m) )
7)Nếu a ≡ b (mod m) và d là số nguyên là ước chung của ba số a, b, m 
thì ≡ (mod )
B/Áp dụng :
Dạng 1 : Tìm số dư của phép chia
Bài 1 : Tìm số dư trong phép chia 20042004 cho 11
Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 11 : Một số được gọi là chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa các tổng chữ số ở hàng lẻ và tổng các chữ số hàng chẵn kể từ trái sang phải chia hết cho 11.
Ví dụ : Xét xem số 5016 có chia hết cho 11 ?
Ta có (5 + 1) - (0 + 6) = 0. Vì 0 11 = > 5016 11
Giải :
Ta có 2002 11 => 2004 - 2 11 => 2004 ≡ 2 (mod 11) 
 => 20042004 ≡ 22004 (mod 11) , mà 210 ≡ 1 (mod 11) (vì 1024 - 1 11)
 => 20042004 = 24.22000 = 24.(210)200 ≡ 24 ≡ 5 (mod 11) 
Vậy 20042004 chia 11 dư 5.
Bài 2 : Tìm số dư khi chia A = 19442005 cho 7
Giải :
Ta có : 1944 ≡ -2 (mod 7) => 19442005 ≡ (-2)2005 (mod 7) 
Mà (-2)3 ≡ - 1 (mod 7) => (-23)668 ≡ 1668 (mod 7) hay (-23)668 ≡ 1 (mod 7) 
=> (-23)668.(-2) ≡ - 2 (mod 7) hay (-2)2005 ≡ - 2 (mod 7) 
Vậy 19442005 cho 7 dư 5.
Bài 3: Tìm số dư khi chia cho 7
Giải
Ta có: 
Ta thấy: (1)
 (2)
Từ (1) và (2) 
Vậy chia cho 7 dư 4.
* Cách 2: 
+ (1)
+ mà 
Do đó, (2)
Từ (1) và (2) 
Vậy chia cho 7 dư 4.
Bài 4 : CMR các số A = 61000 - 1 và B = 61001 + 1 đều là bội số của 7
Giải :
Ta có 6 ≡ - 1 (mod 7) => 61000 ≡ 1 (mod 7) => 61000 - 1 7
Vậy A là bội của 7
Từ 61000 ≡ 1 (mod 7) => 61001 ≡ 6 (mod 7) , mà 6 ≡ - 1 (mod 7)
=> 61001 ≡ -1 (mod 7) => 61001 + 1 7
Vậy B là bội của 7
Bài 5: Tìm số dư khi chia tổng cho 13
Giải
* Tìm số dư khi chia cho 13: là tìm số tự nhiên nhỏ hơn 13, đồng dư với theo modun 13
Ta có: 
+) (1)
+) 
 (2)
Từ (1) và (2) (1)
Mặt khác: 
Mà Hay (2)
Từ (1) và (2) 
Vậy tổng chia cho 13 dư 4
Bài 6 : Tìm số dư trong phép chia 15325 - 1 cho 9
Giải :
Ta có 1532 ≡ 2 (mod 9) => 15325 ≡ 25 (mod 9) , mà 25 ≡ 5 (mod 9)
=> 15325 ≡ 5 (mod 9) => 15325 - 1 ≡ 4(mod 9) 
Vậy 15325 - 1 chia cho 9 dư là 4.
Bài 7: Chứng minh rằng: chia hết cho 13
Giải:
Ta có: 3012 = 13 . 231 + 9
Do đó: Mà 
Nên Hay 
Vậy 
Hay chia hết cho 13
Bài 8 : Chứng minh rằng A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19
Giải :
Ta có A = A = 7.52n + 12.6n = A = 7.25n + 12.6n 
Vì 25 ≡ 6 (mod 19) => 25n ≡ 6n (mod 19)
=>7.25n ≡ 7.6n (mod 19) => 7.25n + 12.6n ≡ 7.6n + 12.6n ≡ 19.6n ≡ 0 (mod 19) . Điều này chứng tỏ A chia hết cho 19.
Bài 9: Tìm dư trong phép chia 32003 cho 13.
Giải :
Ta có 33 ≡ 1 (mod 13) mà 2003 = 3.667 + 2 => 32003 = (33)667. 32 
 33 ≡ 1 => (33)667 ≡ 1667 => (33)667. 32 ≡ 1.32 (mod 13) (33)667. 32 ≡ 9 
 => 32003 ≡ 9 (mod 13).
Vậy 32003 chia cho 13 dư 9 .
Bai 10 : Chứng minh rằng 22002 - 4 chia hết cho 31
Giải :
Ta có 25 ≡ 1 (mod 31) , mà 2002 = 5.400 + 2
 Nên 22002 = (25)400 .22 
Vì 25 ≡ 1 (mod 31) => (25)400 ≡ 1400 (mod 31) => (25)400.22 ≡ 1.22 (mod 31)
=> 22002 ≡ 4 (mod 31) => 22002 - 4 chia hết cho 31
Bài 11 : Chứng minh rằng : 22225555 + 55552222 chia hết cho 7
Giải :
Ta có 2222 + 4 7 => 2222 ≡ - 4 (mod 7) => 22225555 ≡ (- 4)5555(mod 7) 
 5555 - 4 7 => 5555 ≡ 4 (mod 7) => 55552222 ≡ 42222 (mod 7) 
=> 22225555 + 55552222 ≡ (- 4)5555 + 42222 (mod 7) 
Mà 42222 = (-4)2222 => (- 4)5555 + 42222 = (-4)2222. 43333 + 42222 
 = (-4)2222. 43333 - (- 4)2222 = (-4)2222(43333 - 1) ≡ (43) - 1(mod 7) (1)
Ta lại có : 43 ≡ 1(mod 7) => 43 - 1= 63 7 => 43 - 1 ≡ 0 (mod 7) (2)
Nên (- 4)5555 + 42222 ≡ 0 (mod 7) 
Từ (1) và (2) => 22225555 + 55552222 chia hết cho 7.
Bài 12 : Tìm dư trong phép chia 570 + 750 cho 12
Giải :
Ta có 52 ≡ 1(mod 12) => (52)35 ≡ 1 (mod 12) hay 570 ≡ 1(mod 12) (1)
72 ≡ 2 (mod 12) => (72)25 ≡ 1(mod 12) hay 750 ≡ 1(mod 12) (2)
Từ (1) và (2) => 570 + 750 chia cho 12 dư 2.
Bài 13 : Tìm số dư của A = 776776 + 777777 + 778778 khi chia cho 3 và khi chia cho 5?
Giải :
+Ta có 776 ≡ - 1(mod 3) => 776776 ≡ -1(mod 3) => 776776 ≡ 1 (mod 3)
 777 ≡ 0 (mod 3) => 777777 ≡ 0 (mod 3)
 778 ≡ 1 (mod 3) => 778778≡ 1 (mod 3)
=> 776776 + 777777 + 778778 khi chia cho 3 dư 2.
+Ta có 776 ≡ 1 (mod 5) => 776776 ≡ 1 (mod 5)
 777 ≡ - 3 (mod 5) => 777777 ≡ - 3777 (mod 5)
 778 ≡ 3 (mod 5) => 778778 ≡ 3778 (mod 5)
=> 776776 + 777777 + 778778 ≡ 1 - 3777 + 3778 (mod 5)
Hay 776776 + 777777 + 778778 ≡ 1 + 3.3777 - 3777 (mod 5)
776776 + 777777 + 778778 ≡ 1 + 3777(3 - 1) (mod 5)
776776 + 777777 + 778778 ≡ 1 + 2.3777
Mà 32 ≡ - 1(mod 3) => (32)388.3 ≡ 3 (mod 5)
Vậy A = 776776 + 777777 + 778778 ≡ 1 + 2.3 ≡ 2 (mod 5)
Vậy A chia cho 5 dư 2.
Bài 14 : Tìm số dư của A = 32005 + 42005 khi chia cho 11 và khi chia cho 13 ?
Giải :
+Ta có : 35 ≡ 1 (mod 11) => (35)401 ≡ 1 (mod 11)
 Và 45 ≡ 1 (mod 11) => (45)401 ≡ 1 (mod 11)
=> A = 32005 + 42005 ≡ 2 (mod 11) 
=> A chia cho 11 dư 2
+Ta có : 33 ≡ 1 (mod 13) => (33)668. 3 ≡ 1.3 (mod 13) => 32005 ≡ 3 (mod 13) 
 Và 43 ≡ -1 (mod 13) =>(43)668 .4≡ 1.4 (mod 13) => 42005 ≡ 4 (mod 13) 
=> A = 32005 + 42005 ≡ 7 (mod 13) 
=> A chia cho 13 dư 7 .
Bài 15 : Giả sử m là số nguyên dương. Chứng minh rằng : Nếu ac1 ≡ ac2 (mod m) và (a, m) = 1 thì c1 ≡ c2 (mod m)
Giải :
Ta có : ac1 ≡ ac2 (mod m) => m \ ac1 - ac2 => m \a(c1 - c2)
Vì (a, m) = 1 => m \ c1 - c2 => c1 ≡ c2 (mod m)
Bài 16 :Chứng minh rằng : Nếu p là một số nguyên tố và không là ước của số nguyên a thì ap - 1 ≡ 1 (mod p) 
Giải :
Xét dãy số 1; 2; 3; ... ; p - 1. Tất cả các số này đôi một không đồng dư với nhau theo môđun p. Do đó các số a, 2a, 3a, ... ; (p - 1)a cũng đôi một không đồng dư với nhau rtheo môđun p. Bởi vì ngược lại nếu có r1a ≡ r2a (mod p) mà (a, p) = 1 => r1 ≡ r2 (mod p) - với r1, r2 là hai số nào đó của dãy số 1, 2, 3, ... , p - 1 (vô lí) 
Hơn nửa mõi một số của dãy a, 2a, 3a, ... , (p - 1)a đồng dư với đúng một trong các số 1, 2, 3, ... , p - 1 theo môđun p
=> a.2a.3a. ... .(p- 1)a ≡ 1.2.3. ... (p - 1) (mod p) hay (p - 1)!ap - 1 ≡ (p - 1)! (mod p).
Vì (p, (p - 1)!) = 1 => ap - 1 ≡ 1 (mod p) 
Bài 17 : CMR : Nếu c là số nguyên dương : a ≡ b (mod m) => ac ≡ bc (mod c.m) 
Giải :
a ≡ b (mod m) => a - b = m.q => ac - bc = mc.q => ac ≡ bc (mod c.m) 
Bài 18 :
Bạn Thắng học sinh lớp 6A đã viết một số có hai chữ số mà tổng các chữ số của nó là 14. Bạn Thắng đem số đó chia cho 8 thì được số dư là 4, nhưng khi chia cho 12 thì được số dư là 3.
a)Chứng minh rằng bạn Thắng đã làm sai ít nhất một phép tính chia.
b)Nếu phép chia thứ nhất cho 8 là đúng thì phép chia thứ hai cho 12 có ó dư là bao nhiêu ? Hãy Tìm số bị chia.
Giải :
a)Gọi số đó là n = ab 
Vì n chia cho 8 dư 4, nên n = 8p + 4
Và n chia cho 12 dư 3, nên n = 12q + 3
=> 8p + 4 = 12q + 3 (Mà 8p + 4 là số chẵn, còn 12q + 3 là số lẻ). Do vậy bạn Thắng đã làm sai một phép chia.
b)Vì a + b = 14 => ab ≡ 2 (mod 3) => 4ab ≡ 8 (mod 12) (1)
Nếu ab ≡ 0 (mod 4) => 3ab ≡ 0 (mod 12) (2)
Từ (1) và (2) => ab ≡ 8 (mod 12) => n chia cho 12 dư 8
Do n = 8p + 4 là số chẵn mà n = ab => b Î{0; 2; 4; 6; 8}
Nếu 	b = 0 => a = 14 (loại - vì a là số có một chữ số khác 0)
b = 2 => a = 12 (loại)
b = 4 => a = 10 (loại)
b = 6 => a = 8
b = 8 => a = 6
=> Số cần tìm là 86 hoặc 68 => Số bị chia là 68.
Bài 19: Biết rằng ngày 20 / 11/1994 là ngày chủ nhật. Tính xem:
a) Ngày 20 / 11/1996 là ngày thứ mấy?
b) Ngày 20 / 11/2011 là ngày thứ mấy?
Giải
a) Vì 1996 chia hết cho 4 nên năm 1996 là năm nhuận, có 366 ngày. 
Từ 20 / 11/1994 đến 20 / 11/1996 là 2 năm, có:
365 . 2 + 1 (nhuận) = 731 (ngày)
Biết rằng cứ mõi tuần lễ có 7 ngày.
Ta có: 731 = 7. 104 + 3 hay 
Như vậy, 731 ngày gồm 104 tuần và lẻ 3 ngày.
Do đó, nếu ngày 20 / 11/1994 là ngày chủ nhật thì 20 / 11/1996 là ngày thứ 4.
b) Từ 20 / 11/1994 đến 20 / 11/2011 là 17 năm có 4 năm nhuận là 1996, 2000, 2004, 2008. Vậy Từ 20 / 11/1994 đến 20 / 11/2011 có:
365 . 17 + 4 (nhuận) = 6209 (ngày)
Biết rằng cứ mõi tuần lễ có 7 ngày.
Ta có: 6209 = 7 . 887 Hay 
Như vậy, 6209 ngày gồm 887 tuần 
Do đó, nếu ngày 20 / 11/1994 là ngày chủ nhật thì 20 / 11/1996 cũng là ngàychủ nhật.
Dạng 2 : Tìm chữ số tận cùng của một số
a)Tìm một chữ số tận cùng của an :
-Nếu a có chữ số tận cùng là 0; 1; 5 hoặc 6 thì an lần lượt có chữ số tận cùng lần lượt là 0; 1; 5 hoặc 6.
-Nếu a có chữ số tận cùng là 2, 3 hoặc 7, ta vận dụng nhận xét sau với k Î Z
24k ≡ 6 (mod 10)
34k ≡ 1 (mod 10)
74k ≡ 1 (mod 10)
Do đó để tìm chữ số tận cùng của an với a có chữ số tận cùng là 2; 3; 7 ta lấy n chia cho 4. Giả sử n = 4k + r với r Î {0; 1; 2; 3}
Nếu a ≡ 2 (mod 10) thì an ≡ 2n = 24k + r ≡ 6.2r (mod 10) 
Nếu a ≡ 3 (mod 10) hoặc a ≡ 7 (mod 10) thì an ≡ a4k + r ≡ ar (mod 10) 
Ví dụ 1 : Tìm chữ số tận cùng của các số :
a) 62009 , 	b) 92008 , 	c) 32009 , 	d) 22009
Giải :
a) 62009 có chữ số tận cùng là 6 (vì 6 khi nâng lên luỹ thừa với số mũ tự nhiên khác 0 vẫn bằng chính số 6)
b) 92008 = (92)1004 = 811004 = 1 có chữ số tận cùng là 1
91991 = 91990.9 = (92)995.9 = 81995.9 = ( 1).9 = 9 có chữ số tận cùng là 9 
Nhận xét : Số có chữ số tận cùng là 9 khi nâng lên luỹ thừa với số mũ tự nhiên chẵn khác 0 nào thì chữ số tận cùng là 1, khi nâng lên luỹ thừa với số mũ tự nhiên lẻ thì có số tận cùng là 9.
c) 32009 = (34)502.3 = 81502.3 = ( 1).3 = 3 có chữ số tận cùng là 3.
d) 22009 = 22008.2 = (24)502.2 = 16502.2 = ( 6).2 = 2 có chữ số tận cùng là 2
Ví dụ 2 : Tìm chữ số tận cùng của các số sau :
a) 421 , b) 3103 , c) 84n + 1 (n Î N) d) 1423 + 2323 + 7023
Giải :
a) 430 = 42.15 = (42)15 = 1615 = 6 có chữ số tận cùng là 6
 421 = 420 + 1 = (42)10.4 = 1610.4 = ( 6).4 = 4 có chữ số tận cùng là 4 
Nhận xét : Số nào có số tận cùng là 4 thì khi nâng lên luỹ thừa với số mũ tự nhiên chẵn thì có số tận cùng là 6, khi nâng lên với số mũ tự nhiên lẻ có số tận cùng là 4)
b) 3103 = 3102.3 = (32)51.3 = 951.3 = ( 9).3 = 7 có chữ số tận cùng là 7
c) 84n + 1 = 84n.8 = (23)4n.8 = 212n.8 = (24)3n.8 = 163n.8 = ( 6).8 = . 8 có chữ số tận cùng là 8
d) 1423 = 1422.14 = ( 6).14 = . 4
2323 = 2322.23 = (232)11.23 = ( 9).23 = 7
7023 = 0
Vậy : 1423 + 2323 + 7023 = 4 + 7 + 0 = 1 có chữ số tận cùng là 1
b)Tìm hai số tận cùng của số an :
Ta có nhận xét sau :
220 ≡ 76 (mod 100)
320 ≡ 01 (mod 100)
65 ≡ 76 (mod 100)
74 ≡ 01 (mod 100)
Mà 76n ≡ 76 (mod 100) với n ≥ 1
 5n ≡ 25 (mod 100) với n ≥ 2
Suy ra kết quả sau với k là số tự nhiên khác 0.
a20k ≡ 00 (mod 100) nếu a ≡ 0 (mod 10)
a20k ≡ 01 (mod 100) nếu a ≡ 1; 3; 7; 9 (mod 10)
a20k ≡ 25 (mod 100) nếu a ≡ 5 (mod 10)
a20k ≡ 76 (mod 100 nếu a ≡ 2; 4; 6; 8 (mod 10)
Vậy để tìm hai chữ số tận cùng của an, ta lấy số mũ n chia cho 20
Bài 1 : Tìm hai chữ số tân cùng của 22003
Giải :
Ta có : 220 ≡ 76 (mod 100) => 220k ≡ 76 (mod 100)
Do đó : 22003 = 23.(220)100 = 8.(220)100 = ( 76).8 = 08
Vậy 22003 có hai chữ số tận cùng là 08.
Bài 2: Tìm hai chữ số tận cùng của:
a) 
b) 
Giải
a) Ta thấy (1)
mà 
Ta có: 
Hay 21000 chia cho 25 dư 1, do đó hai chữ số tận cùng của 21000 có thể là 01; 26; 51; 75, nhưng 21000 là bội của 4 nên hai chữ số tận cùng của nó phải là 76 (2)
Từ (1) và (2) ta thấy số 76 chia 2 thì hai chữ số tận cùng là 38 (= 76:2) hoặc 88(=186:2) nhưng cũng do 2999 cũng là bội của 4 nên hai chữ số tận cùng của 2999 là 88.
b) 
Ta có: 34 = 81
, nghĩa là hai chữ số tận cùng của 31000 là 01. Số 31000 là bội của 3 nên chữ số hang trăm của nó khi chia cho 3 phải dư 2( Chia tiếp thì số 201 chia hết cho 3, nếu số dư là 0 hay 1 thì số 001, 101 không chia hết cho 3)
Vậy có hai chữ số tận cùng là 76 (= 201 : 2)