Bài tập môn Toán Lớp 6 - Chuyên đề 4: Chứng minh chia hết

	CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH CHIA HẾT
Dạng 1: CHỨNG MINH CHIA HẾT
Bài 1: Chứng minh rằng:
a, 	b, (a > b) 	c, 
HD:
a, Ta có :
b, Ta có :
c, Ta có :
Bài 2: Chứng minh rằng:
a, 	b, 	c, không 4,2,5
HD:
a, Ta có:Nếu n là số lẻ thì 
	Nếu n là số chẵn thì , Như vậy với mọi n là số tự nhiên thì : 
b, Ta có:Vì là 3 số tự nhiên liên tiếp nên sẽ có 1 số chia hết cho 2,1 số chia hết cho 3
c, Ta có : là 1 số lẻ nên không cho 4,2 và có chữ số tận cùng khác 0 và 5
Bài 3: Chứng minh rằng:
a, 	b, không 5	c, 
HD:
a, Ta có:Nếu n là số chẵn thì 
	Nếu n lẻ thì , Như vậy với mọi n là số tự nhiên thì 
b, Ta có :, Vì là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chỉ có chữ số tận cùng là : 0, 2, 6, Do đó : sẽ có tận cùng là 6, 8, 2 nên không 5
c, Ta có : chia hết cho 37 
Bài 4: Chứng minh rằng:
a, ,37	b,	c, 
HD:
a, Ta có : chia hết cho a và chia hết cho 37
b, Ta có:Vì a, b là hai số tự nhiên nên a,b có các TH sau:
	TH1: a, b cùng tính chẵn lẻ=> (a+b) là 1 số chẵn nhưu vậy a+b chia hết cho 2
	TH2: a, b khác tính chẵn lẻ thì 1 trong 2 số phải có 1 số chẵn khi đó số đó chia hết cho 2
c, Ta có: 
Bài 5: CMR : 
HD:
Ta có: 
Bài 6: Chứng minh rằng: 
Bài 7: Chứng minh rằng số có dạng : luôn chia hết cho 11
HD :
Ta có :
Bài 8: Tìm n là số tự nhiên để: 
HD:
	Ta có: , Để 
	Ta có: 
	 Và 
	Thử vào ta thấy thỏa mãn yêu cầu đầu bài
Bài 9: CMR : 2x+y9 thì 5x+7y9
HD:
Ta có : 
Bài 10: Chứng minh rằng:
a, Nếu thì 	b, Cho cmr 
HD:
a, Ta có: hay (a+c) – (b+d)11
	Khi đó vì có (a+c) - ( b+d) 11
b, Ta có:
	Ta có mà nên 
Bài 11: Chứng minh rằng:
a, CMR:	b, Cho cmr 	
HD:
a, Ta có:Ta có 
b, Ta có :Ta có 
Nên 	
Bài 12: Chứng minh rằng:
a, nếu 	b, Cmr nếu thì 
HD:
a, Ta có :
b, Ta có :
Bài 13: Chứng minh rằng:
a, Cho cmr 	b, Nếu thì 
HD:
a, Ta có :
b, Ta có :
Bài 14: Chứng minh rằng:m, Nếu thì 
HD :
Ta có :=>
Bài 15: Chứng minh rằng:
a, 2a - 5b+6c 17 nếu a-11b+3c 17 (a,b,c Z)	b, 3a+2b 17 10a+b 17 (a,b Z)
HD:
a, Ta có:a-11b+3c 17 và 17a-34b +51c 17 nên 18a-45b+54c 17 => 9(2a-5b+6c) 17
b, Ta có: 3a+2b 17 và 17a - 34b 17 nên 20a – 32b 17 10a – 16b 17
 10a +17b – 16b 17 10a+b 17
Bài 16: Chứng minh rằng:
a, 	b, 
HD:
a, Ta có :=> 2000a+200b+20c+2d 29
=> 2001a – a +203b - 3b +29c - 9c +29d - 27d 29
=> (2001a+203b+29c+29d)- (a+3b+9c+27d) 29 => (a+3b+9c+27d) 29
b, Ta có:21 =>100a - 84a +10b – 42b + c +63c 21
=> 16a - 32b +64c 21 => 16(a- 2b +4c) 21
Bài 17: Chứng minh rằng:
a, 	b, (c chẵn)
HD:
a, Ta có:Vì 
b, Ta có:Vì 16
=> (992a+ 96b+8c) + (8a+4b+2c+d) 16, mà c chẵn nên 8c 16 => (8a+4b+2c+d) 16
Bài 18: Chứng minh rằng:
a, Cho a - b 7 cmr 4a+3b 7 (a,b Z)	b, Cmr m +4n 13 10m+n 13
HD:
a, Ta có:a – b 7 nên 4(a –b) 7 => 4a – 4b +7b 7 => 4a +3b 7
b, Ta có:m+4n 13 => 10(m+4n) 13 => 10m +40n – 39n13 =>10m+ n 13
Bài 19: Cho a,b là các số nguyên, CMR nếu 6a+11b 31 thì a+7b cũng 31, điều ngược lại có đúng không?
HD:
Ta có :6a +11b 31 => 6( a+7b) - 31b 31 => a+7b 31
Bài 20: Cho a,b là các số nguyên, CMR 5a+2b 17 khi và chỉ khi 9a+7b 17
HD:
Ta có :5a +2b 17 => 5a – 68a +2b -51b 17 => - 63a – 49b 17 => -7( 9a +7b) 17 => 9a+7b 17
Bài 21: Cho a,b là các số nguyên, CMR nếu 2a+3b 7 thì 8a + 5b 7
HD:
Ta có:2a+3b 7 => 4(2a+3b) 7 =>8a +12b 7=> 8a+12b -7b 7=>8a+5b 7
Bài 22: Cho a,b là các số nguyên, CMR nếu a - 2b 7 thì a-9b 7, điều ngược lại có đúng không?
HD:
Ta có:a – 2b 7 => a- 2b -7b 7=> a - 9b 7, Điều ngược lại vẫn đúng
Bài 23: Cho a,b là các số nguyên và 5a+8b 3 cmr
a, - a +2b 3	b, 10a +b (-3)	c, a +16b 3
HD:
a, Ta có:5a +8b 3=> 5a- 6a+8b-6b3=> -a+2b 3
b, Ta có:5a +8b 3 => 2(5a+8b) 3=>10a+16b3=>10a+16b-15b3
c, Ta có:5a +8b 3=> 5(a+16b) – 72b 3 =>a+16b 3
Bài 24: Cho biết a-b 6, CMR các biểu thức sau cũng chia hết cho 6
a, a +5b	b, a +17b	c, a - 13b
HD:
a, Ta có:a-b 6 => a-b+6b6=> a+5b6
b, Ta có:a-b 6 => a-b +18b 6=> a+17b 6
c, Ta có:a - b 6 => a-b-12b 6=> a-13b 6
Bài 25: CMR : nếu thì và ngược lại
Bài 26: Cho hai số nguyên a và b không chia hết cho 3, nhưng khi chia cho 3 thì có cùng số dư: 
CMR: (ab-1) 3
HD:
Ta có:a= 3p+r, b=3q+r (p,q,r Z, r=1,2) khi đó 
ab-1=(3p+r)(3q+r)-1= 3p(3q+r)+r(3q+r) -1 = 9pq+3pr+3qr+r2-1 
Bài 27: Chứng minh rằng nếu viết thêm vào đằng sau 1 số tự nhiên có hai chữ số gồm chính hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại thì được 1 số chia hết cho 11.
HD:
Ta có :Gọi số tự nhiên có 2 chữ số là theo bài ra ta có 
 vì 
Bài 28: Chứng minh rằng tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, còn tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp thì không chia hết cho 4
HD:
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là a,a+1,a+2 xét tổng
	Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là a, a+1,a+2,a+3 xét tổng, ta được 
Bài 29: Chứng minh rằng tổng của 5 số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 10, còn tổng của 5 số lẻ liên tiếp thì không chia hết cho 10
HD:
Gọi 5 số chẵn liên tiếp là a, a+2, a+4, a+6, a+8 xét tổng, ta được:
	 Vì a là số chẵn
	Tương tự với 5 số lẻ liên tiếp : xét tổng ta được :
Bài 30: Khi chi 135 cho 1 số tự nhiên ta được thương là 6 và còn dư, Tìm số chia và thương
HD:
	Gọi số chia là x và số dư là r, Khi đó 
	=>
	Từ 
	Từ , Vậy 
Bài 31: Bạn Thắng học sinh lớp 6A viết 1 số có hai chữ số mà tổng các chữ số của nó là 14 , sau đó bạn Thắng đem chia số đó cho 8 thì đươc dư là 4 , nhưng khi chia cho 12 thì được dư là 3
a, CMR bạn Thắng làm sai ít nhất 1 phép chia
b, Nếu phép chia thứ nhất đúng, thì phép chia cho 12 dư bao nhiêu?
HD:
Gọi số cần tìm là n= 	
a, n chia 8 dư 4 =>n chẵn và n chia 12 dư 3=> n lẻ => mâu thuẫn
	b, Vì a+b=14 nên 3 dư 2 khi đó 4 chia 12 dư 8 
	Nếu phép chia thứ nhất đúng thì chia 8 dư 4=>4 => 312 => n chia 12 dư 8
Bài 32: Chứng minh rằng nếu chia hết cho 37 thì và đều chia hết cho 37
Bài 33: Một số tự nhiên chia cho 7 dư 5, chia cho 13 dư 4. Nếu đem số đó chia cho 91 thì dư bao nhiêu?
Bài 34: Tìm 1 số tự nhiên biết nếu chia cho 17 thì được số dư đúng bằng hai lần bình phương của số thương
Bài 35: Chứng minh rằng không thể tồn tại 1 số tự nhiên khi chia cho 21 dư 7 và khi chia cho 84 lại dư 3
Bài 36: Cho 4 số nguyên dương khác nhau thỏa mãn : tổng của hai số bất kì chia hết cho 2 và tổng của ba số bất kì chia hết cho 3, Tính giá trị nhỏ nhất cảu tổng bốn số đó
Bài 39: Cho số tự nhiên bằng ba lần tích các chữ số của nó, cmr b a
HD:
Ta có:=3ab=>10a+b=3ab=>10a+b a =>ba
Bài 45: Cho , CMR các biểu thức sau chia hết cho 7
a/ 	b/ 	c/ 
HD:
a, Ta có:
b, Ta có:
c, Ta có:
Bài 46: Cho Gồm 20 chữ số 1: hỏi A có chia hết cho 111 không?
HD:
Ta có:, nên để và chia hết cho 37
	Ta có: ( 20 số 1 ) có tổng các chữ số là 1+1+1+...+1=20 
không chia hết cho 3 nên 
Bài 47: CMR: nếu 7x+4y 29 thì 9x+y 29
HD:
Ta có:
Bài 48: CMR nếu thì a+3b+9c+27d chia hết cho 29
HD:
Ta có:
	Khi đó: 
Bài 49: Chứng minh rằng nếu x,y là các số nguyên sao cho thì cũng chia hết cho 13 và ngược lại
HD:
Ta có:. Từ đó ta đi ngược lại là ra
Bài 50: Cho , CMR A không chia hết cho 15 với mọi số tự nhiên n
HD:
, Vì là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chỉ có chữ số tận cùng là : 
0, 2, 6, Do đó : sẽ có tận cùng là 2, 4, 8 nên không 5, vậy A không chia hết cho 35
Bài 51: Cho a,b là hai số chính phương lẻ liên tiếp, CMR : 
HD:
Ta có: Vì a, b là số lẻ nên 
	Đặt 
	Khi đó :, Mà 
Và đều chia hết cho 2 
Nên ,
Khi a, b là số chính phương lẻ liên tiếp
Bài 55: Chứng minh rằng : thì 
HD :
	Vì 
Với: 
TH1 : 
TH2: 
Bài 56: CMR: với mọi n là số nguyên dương
Bài 57: Chứng minh rằng 2x+3y chia hết cho 17 khi và chỉ khi 9x+5y chia hết cho 17
HD:
Ta có :
	Khi đó : , Chứng minh tương tự điều ngược lại
Bài 58: CMR: chia hết cho 12, Với a, b, c, d là các số nguyên
HD:
Ta có :
Trong 4 số a,b,c,d chắc chắn có hai số chia cho 3 có cùng số dư, Nên hiệu của chúng chia hết cho 3, Như vậy M đã chia hết cho 3
Lại có trong 4 số nguyên a,b,c,d hoặc có 2 số chẵn hoặc có 2 số lẻ, Giả sử a,b là số chẵn, c,d là số lẻ Khi đó 
Hoặc nếu không phải như trên thì trong 4 số trên tồn tại 2 số chia 4 có cùng số dư nên hiệu của chúng chia hết cho 4, Khi đó M 4
	Như vậy M chia hết cho cả 3 và 4 nên M chia hết cho 12
Bài 59: Một số chia cho 7 dư 3, Chia cho 17 dư 12 chia 23 dư 7, hỏi số đó chia cho 2737 dư bao nhiêu?
HD:
Gọi số đã cho là A, theo bài ra ta có: A=7a+3=17b+12=23c+7
Mặt khác : a+39=7a+42=17b+51=23c+46=7(a+6)=17(b+3)=23(c+2) vậy a+39 đồng thời chia hết cho 7,17,23
Mà 7,17,23 đôi 1 nguyên tố nên A+39 chia hết cho 7.17.23=2737, vậy A chia 27737 dư 2698
Bài 60: CMR: , chia hết cho 17
HD:
Ta có:A = 
Bài 61: Khi chia 1 số tự nhiên gồm 3 chữ số giống nhau cho 1 số tự nhiên gồm 3 chữ số giống nhau ta được thương là 2 và còn dư, Nếu xóa 1 chữ số ở số bị chia và xóa 1 chữ số ở số bị chia thì thương của phép chia vẫn bằng 2 nhưng số dư giảm hơn trước là 100, Tìm số chia và số bị chi lúc đầu?
HD:
Gọi số bị chia lúc đầu là và số chia lúc đầu là , số dư lúc đầu là r
Ta có: và nên
Do a, b là các chữ số nên ta có bảng:
Bài 62: Cho D=1-2+3-4+...+99-100
a, D có chia hết cho 2 không, cho 3, cho 5 không? vì sao?
b, D có bao nhiêu ước số tự nhiên, bao nhiêu ước số nguyên? 
HD:
a, Ta tính được D= - 50, nên D có chia hết cho 2, và 5 nhưng không chia hết cho 3 
b, D=-50 nên có (1+1)(1+2)=6 ước tự nhiên, và có 12 ước nguyên
Bài 63: CMR : chia hết cho 72
HD:
 Có tổng các chữ số là 9 nên chia hết cho 9, và có chữ số tận cùng là 008 nên chia hết cho 8, Như vậy chia hết cho 8.9 = 72
Bài 64: Cho , CMR A chia hết cho 5
HD:
Ta có : 
Bài 65: Cho 4 số tự nhiên liên tiếp cho 5, khi chia cho 5 được các số dư khác nhau, 
CMR: tổng của chúng 5
Bài 66: Cho , biết , cmr chia hết cho 25
HD:
	Ta có: mà 5 là số nguyên tố
Bài 67: Chứng minh rằng nếu a không là bội của 7 thì chia hết cho 7
Bài 68: Chứng minh rằng 
Bài 69: CMR : , không chia hết cho 121 với mọi số tự nhiên n
Bài 70: Cho a,b là hai số nguyên, CMR : Nếu thì 
Bài 71: CMR nếu a, b là các số tự nhiên sao cho cùng chia hết cho 2003, thì a và b cùng chia hết cho 2013
Bài 72: Chứng minh rằng: chia hết cho 405
Bài 73: Cho a, b , thỏa mãn số chia hết cho 19, Hãy giải thích vì sao M chia hết cho 361
HD:
	Ta có: mà 19 là số nguyên tố nên hoặc 
	Xét 
	+ Nếu mà 	(1) 
	+ Nếu , mà 	(2)
	Từ (1) và (2) suy ra : và 
Bài 73: Cho hai số tự nhiên a và b thỏa mãn : là 1 bội số của 11, CMR : Số m cũng là một bội số của 121
HD:
	Vì 11 là số nguyên tố: mà hoặc 
	Không mất tính tổng quát: giả sử: , ta cần chứng minh 
	Thật vậy: 
	Lại có: 
	Vậy 
Bài 73: Cho a, b là hai số nguyên thỏa mãn: chia hết cho 11, 
Chứng minh rằng : 
Bài 73: Cho a, b là hai số tự nhiên. CMR: 
Bài 73 : Cho a, b là hai số nguyên. CMR: 
Bài 74: Cho a, b là các số nguyên dương sao cho : chia hết cho 6. CMR: 
HD:
	Vì 
	Mà 
	Khi đó ta có: 
	Mà 
Bài 75: Cho , CMR : A không là số tự nhiên
HD:
	Ta quy đồng tổng A, Khi đó mẫu số sẽ là tích của với các thừa số lẻ nhở hơn 40 và lứn hơn 10
	Gọi k11, k12, k13, ..., k40 là các thừa số phụ tương ứng
	Khi đó tổng A có dạng : , Trong 30 phân số của tổng A, chỉ có duy nhất phân số có mẫu chứa , nên trong các thừa số phụ k11, k12, ... k40 chỉ có k32 là số lẻ, còn lại các thừa số phụ khác đều chẵn vì có ít nhất 1 thừa số 2, Khi đó phân số A có Mẫu chia hết cho 2, còn tử không chia hết cho 2 nên A không là số tự nhiên
Bài 76: Cho , CMR : A không là số tự nhiên
HD:
Ta quy đồng tổng A, Khi đó mẫu số sẽ là tích của với các thừa số lẻ nhỏ hơn 100 	
Gọi k1, k2, k3, ..., k100 là các thừa số phụ tương ứng
	Khi đó tổng A có dạng : , 
Trong 100 phân số của tổng A, chỉ có duy nhất phân số có mẫu chứa , 
nên trong các thừa số phụ k1, k2, ... , k100 chỉ có k62 là số lẻ, còn lại các thừa số phụ khác đều chẵn vì có ít nhất 1 thừa số 2, Khi đó phân số A có Mẫu chia hết cho 2, còn tử không chia hết cho 2 nên A không là số tự nhiên
Bài 77: CMR: thì A không là số tự nhiên
HD:
	Ta quy đồng tổng A, Khi đó mẫu số sẽ là tích của với các thừa số lẻ nhỏ hơn 50, lớn hơn 1 	
Gọi k2, k3, k4, ..., k50 là các thừa số phụ tương ứng
	Khi đó tổng A có dạng : , 
Trong 49 phân số của tổng A, chỉ có duy nhất phân số có mẫu chứa, 
nên trong các thừa số phụ k2, k3, ... k50 chỉ có k32 là số lẻ, còn lại các thừa số phụ khác đều chẵn vì có ít nhất 1 thừa số 2, Khi đó phân số A có Mẫu chia hết cho 2, còn tử không chia hết cho 2 nên A không là số tự nhiên
Bài 78: Cho , CMR A không là số tự nhiên?
HD:
	, Theo chứng minh của bài 24 thì A không là số tự nhiên
Bài 79: Cho , Chứng minh rằng 
HD :
	Tách 2431=17.13.11
Quy đồng A ta thấy rằng b=1.2.3.....18 có chứa 17.13.11 
Bài 80: Chứng minh rằng:
abcabc chia hết cho 7, 11 và 13
abcdeg chia hết cho 23 và 29, biết abc = 2.deg
aaa chia hết cho a
Chứng minh rằng số gồm 27 chữ số 1 thì chia hết cho 27
abcd chia hết cho 29 a + 3b + 9c + 27d chia hết cho 29
abc chia hết cho 21 a - 2b + 4c chia hết cho 21
HD :
abcabc chia hết cho 7, 11 và 13
Ta có: abcabc = 1000abc + abc = 1001.abc = 7.11.13.abc 7; 11; 13 (đpcm)
abcdeg chia hết cho 23 và 29, biết abc = 2.deg
Ta có: abcdeg = 1000abc + deg = 1000.2.deg + deg 
= deg(2000 + 1) = deg.2001 = deg.23.29.3 23; 29 (đpcm)
aaa chia hết cho a
aaa = 100.a + 10.a + a = 111.a a (đpcm)
Chứng minh rằng số gồm 27 chữ số 1 thì chia hết cho 27
Gọi A là số gồm 27 chữ số 1, B là số gồm 9 chữ số 1.
Lấy A chia cho B ta được thương là C=10..010..01.
Như vậy : A=B.C , trong đó B chia hết cho 9, C chia hết cho 3
Vậy A chia hết cho 27 (đpcm).
abcd chia hết cho 29 a + 3b + 9c + 27d chia hết cho 29
Ta có: abcd 29
ó 1000.a + 100.b + 10.c + d 29
ó 2000.a + 200.b + 20.c +2d 29
ó 2001.a – a + 203.b – 3.b + 29.c – 9.c + 29.d – 27.d 29
ó (2001.a + 203.b + 29.c + 29.d) – (a + 3.b + 9.c + 27.d) 29
ó (69.29.a + 7.29.b + 29.c + 29.d) - (a + 3.b + 9.c + 27.d) ⋮ 29
ó (a + 3.b + 9.c + 27.d) ⋮ 29 (đpcm)
abc chia hết cho 21 a - 2b + 4c chia hết cho 21
Ta có: 
abc = 100a + 10b + c 
= 100a - 84a +10b - 42b + c + 63c +84a + 42b -63c
= 16a - 32b + 64c + 84a + 42b -63c 
= 16( a-2b+4c) + 84a + 42b -63c
abc chia hết cho 21, 84a + 42b -63c chia hết cho 21 => a-2b+4c (đpcm)
Bài 81: Chứng minh rằng:
Chứng minh rằng tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3.
Chứng minh rằng ∀ n ∈N thì 60n + 45 chia hết cho 15 nhưng không chia hết cho 30.
Chứng minh rằng không có số tự nhiên nào mà chia cho 15 dư 6 và chia 9 dư 1.
Chứng minh rằng: (1005a + 2100b) chia hết cho 15, ∀ a,b ∈N.
Chứng minh rằng: A = n2 + n + 1 không chia hết cho 2 và 5, ∀ n ∈N.
Chứng minh rằng: ∀ n ∈N thì tích (n + 3)(n + 6) chia hết cho 2.
HD :
Chứng minh rằng tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3.
Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là: a; a + 1; a + 2 
Tổng của ba số là: a + a +1 + a +2 = 3.a + 3 ⋮ 3(đpcm) (tính chất chia hết của một tổng)
Chứng minh rằng ∀ n ∈N thì 60n + 45 chia hết cho 15 nhưng không chia hết cho 30.
Ta có:
60 15 => 60n 15 ; 45 15 => 60n + 45 15 (theo tính chất chia hết của một tổng)
60 30 => 60n 30; 45 không chia hết cho 30 => 60n + 45 không chia hết cho 30 ( theo tính chất chia hết của một tổng).
Chứng minh rằng không có số tự nhiên nào mà chia cho 15 dư 6 và chia 9 dư 1.
Giả sử có số a N thỏa mãn cả hai điều kiện trên thì:
a=15q1+6 chia hết cho 3a=15q2+1 không chia hết cho 3 => Mâu thuẫn
Vậy không có số tự nhiên nào thỏa mãn. (đpcm)
Chứng minh rằng: (1005a + 2100b) chia hết cho 15, ∀ a,b ∈N.
Vì 1005 chia hết cho 3 nên 1005.a chia hết cho 3 với mọi a
Vì 2100 chia hết cho 3 nên 2100.b chia hết cho 3 với mọi b
(1005a + 2100b) chia hết cho 3 với mọi a,b
 Vì 1005 chia hết cho 5 nên 1005a chia hết cho 5 với mọi a
Vì 2100 chia hết cho 5 nên 2100b chia hết cho 5 với mọi b
(1005a + 2100b) chia hết cho 5 với mọi a, b
Mà (3;5) = 1 => (1005a + 2100b) chia hết cho 15 với mọi a,b
Chứng minh rằng: A = n2 + n + 1 không chia hết cho 2 và 5, ∀ n ∈N.
Vì n.(n+1) là tích hai số tự nhiên liên tiếp, trong 2 số liên tiếp luôn luôn có 1 số chẵn => n.(n+1) là số chẵn, cộng thêm 1 sẽ là số lẻ => n.(n+1) + 1 là số lẻ, không chia hết cho 2.
Để chứng minh n.(n+1) + 1 không chia hết cho 5 ta thấy hai số n và n+1 có thể có các chữ số tận cùng sau:
 n tận cùng là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; tương ứng số tận cùng của n+ 1 như sau:
n+ 1 tận cùng là 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0
=> tích của n.(n+1) tận cùng là:
 0, 2, 6, 2, 0, 0, 2, 6, 2, 0
Hay là n.(n+1) tận cùng là 0, 2, 6
=> n.(n+1) +1 tận cùng là: 1, 3, 7 không chia hết cho 5
Chứng minh rằng: ∀ n ∈N thì tích (n + 3)(n + 6) chia hết cho 2.
Ta xét các trường hợp:
(+) Nếu n là số lẻ thì n + 3 là số chẵn ; n + 6 là số lẻ. Mà số chẵn nhân với số lẻ có tận cùng là số chẵn => (n+3) (n+6) chia hết cho 2.
(+) Nếu n là số chẵn thì n+3 là số lẻ ; n+6 là số chẵn. Mà tích của 1 số lẻ với 1 số chẵn có tận cùng là số chẵn nên => (n+3)(n+6) chia hết cho 2.
Vậy ∀ n ∈N thì tích (n + 3)(n + 6) chia hết cho 2 (đpcm).
DẠNG 2: TÌM SỐ TỰ NHIÊN THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN NÀO ĐÓ
Bài 1: Tìm số tự nhiên có 4 chữ số chia hết cho 5 và 27, biết rằng hai số giữa của nó là 97
HD:
	Gọi số cần tìm là vì 5 nên b = 0 hoặc b = 5 => 2 trường hợp
TH1: Với , Khi đó số cần tìm là 2970 thỏa mãn chia hết cho 27
TH2: Với , Khi đó số cần tìm là 6975 không chia hết cho 27 
Bài 2: Tìm 1 số có hai chữ số biết số đó chia hết cho tích các chữ số của nó
HD:
Gọi số cần tìm là 
	=> Mà 
	Và , mà do b chia hết cho a=>
	Do k là số có 1 chữ số nên k= 1;2;5
	Với k=1=> a=b, ta có các số 11,22,33,....99, có số 11 thỏa mãn
	Với k=2=>b=2a, ta có các số 12, 24, 36, 48, có các số 12, 24, 36 thỏa mãn
	Với k=5=> b=5a ta có số 15 thỏa mãn.
	Vậy các số cần tìm là 11, 12, 24, 36, 15
Bài 3: Tìm a, b, c biết: 
HD:
Ta có:, Mà 
	Ta có: 
	Mà 
Bài 4: Tìm a,b biết: a-b=3 và 	
HD:
Ta có:Để : 
	mà a và b là số chó 1 chữ số nên 
	kết hợp với a - b =3 để tìm a và b
Bài 5: Tìm a,b biết:c, và a - b=4	
HD:
	Để 
	Do a, b là hai số tự nhiên có 1 chữu số nên: 
, Kết hợp với để tìm a,b
Bài 6: Tìm a,b biết rằng: 
Bài 7: Tìm a biết rằng: 
Bài 8: Tìm số nguyên tố tự nhiên n biết 2n+7 chia hết cho n+1 và 12n+1
HD:
Ta có : 
	Tương tự : 
Bài 9: Tìm x,y nguyên dương biết (x+1) chia hết cho y và (y+1) chia hết cho x
HD:
Ta có : Vì vai trò của x, y bình đẳng nên giả sử : 
	Nếu 
Nếu 
	 là số nguyên dương
	Mà 	(1)
	, Thay vào (1) ta có :
Vậy các cặp số (x ; y) phải tìm là : (1 ;1), (1 ;2), (2 ; 1), (2 ; 3), (3 ;2)
Bài 10: Tìm 1 số có ba chữ số biết số đó chia cho 11 được thương bằng tổng các chữ số của số đó
HD :
Ta có : Gọi số cần tìm là : 
	Theo bài ra ta có : 
, Vì là số có hai chữ số nên 0 < a< 2
	=> a = 1, Khi đó ta có : 
Bài 11:
a)Tìm các chữ số a và b sao cho a – b = 4 và 87ab chia hết cho 9
HD:
a)Tìm các chữ số a và b sao cho a – b = 4 và 87ab chia hết cho 9
Vì a – b = 4 => a = b + 4 mà 87ab chia hết cho 9 => 15 + a + b chia hết cho 9 => 19 + 2b chia hết cho 9 => b = 4; a = 8. 
b)Cho n = 7a5 + 8b4. Biết a – b = 6 và n chia hết cho 9. Tìm a và b
HD:
Cho n = 7a5 + 8b4. Biết a – b = 6 và n chia hết cho 9. Tìm a và b
n chia hết cho 9
 7a5 + 8b4 chia hết cho 9 
 7 + a + 5 + 8 + b + 4 chia hết cho 9
 24 + a + b chia hết cho 9.
Mà a, b 9 a + b 18
 a + b = 3 hoặc a + b = 12.
- a + b = 3
 a = (3 + 6) : 2 = 9/2 không thuộc N (loại)
- a + b = 12
 a = (12 + 6) : 2 = 9 ; b = 9 - 6 = 3 (chọn)
Vậy a = 9 và b = 3.
c)Tìm hai số tự nhiên chia hết cho 9, biết rằng: Tổng của chúng bằng *657 và hiệu của chúng bằng 5*91.
HD:
c)Tìm hai số tự nhiên chia hết cho 9, biết rằng: Tổng của chúng bằng *657 và hiệu của chúng bằng 5*91.
Vì hai số chia hết cho 9 nên tổng của hai số là: *657 ⋮ 9 ó * = 9; và hiệu của chúng bằng 5*91 ⋮ 9 ó * = 3.
Vậy tổng của hai số là 9657 và hiệu của hai số là 5391.
Hai số cần tìm là: 7524 và 2133
d)Tìm chữ số a, biết rằng: 20a20a20a chia hết cho 7
HD:
d)Tìm chữ số a, biết rằng: 20a20a20a chia hết cho 7
Ta có 20a20a20a = 20a20a .1000 + 20a
 = ( 20a.1000 + 20a).1000 + 20a
 = 1001. 20a.1000 + 20a 
 = 7.143. 20a.1000 + 20a ⋮ 7
Mà 7.143. 20a.1000 ⋮ 7 => 20a ⋮ 7
 20a = 200 + a = 196 + 4 + a = 196 + (4 + a) ⋮ 7
Mà 196 ⋮ 7 => 4 + a ⋮ 7 => a = 3
e)Tìm số tự nhiên có hai chữ số, sao cho nếu viết nó tiếp sau số 1999 thì ta được một số chia hết cho 37.
HD:	
e)Tìm số tự nhiên có hai chữ số, sao cho nếu viết nó tiếp sau số 1999 thì ta được một số chia hết cho 37. 
Gọi số phải tìm là ab . Ta có: 
1999ab ⋮ 37 => 199900 +ab ⋮ 37
5402.37 + 26 + ab ⋮ 37
26 + ab ⋮ 37
Vậy ab = {11; 48; 85}
f)Tìm các số tự nhiên chia cho 4 dư 1, còn chia cho 25 thì dư 3
HD:
f)Tìm các số tự nhiên chia cho 4 dư 1, còn chia cho 25 thì dư 3
Gọi thương của số tự nhiên x cần tìm tuần tự là a và b 
Theo đề, ta có: 
x = 4a + 1 
x = 25b + 3 
 4a + 1 = 25b + 3 
4a = 25b + 2 
a = (25b + 2)/4 
b = 2 ; a = 13 x = 53 
b = 6 ; a = 38 x = 153 
b = 10 ; a = 63 x = 253 
b = 14 ; a = 88 x = 353 
b = 18 ; a = 113 x = 453 
... 
Đáp số: 
Tất cả các số tự nhiên, tận cùng là 53 đều thoả mãn điều kiện.
g)Tìm số tự nhiên có 5 chữ số, biết rằng số đó bằng 45 lần tích các chữ số của nó.
HD:
g)Tìm số tự nhiên có 5 chữ số, biết rằng số đó bằng 45 lần tích các chữ số của nó.
Goi số đó là abcde (a, b, c,d, e là các chữ số và a khác 0). Theo đề bài ta có:
abcde = 45*a*b*c*d*e
abcde = 5*9*a*b*c*d*e
abcde chia hết cho 5 nên e = 0 (loại) hoăc e = 5. Dễ thấy e = 5. Số abcd5 là số lẻ nên a, b,c, d, e đầu là các chữ số lẻ.
abcd5 = 5*9*a*b*c*d*5
abcd5 = 25*9*a*b*c*d
Do đó, abcd5 chia hết cho 25. Mà abcd5 = abc*100 + d5. d5 chia hết cho 25 và d lẻ => d = 7.
Ta có abcde = abc75 chia hết cho 9 nên a + b + c + 7 + 5 = a + b + c + 12 chia hết cho 9. Mà 2 < a + b + c < 28.
Do đó: a + b + c = 6; 15 hoặc 24
Vì a, b, c lẻ nên a + b + c lẻ = > a + b + c = 15
Mà 15 = 1 + 5 + 9 = 1 + 7 + 7 = 3 + 3 + 9 = 3 + 5 + 7 = 5 + 5 + 5
Vì ta có 45*a*b*c*7*5 < 100000
nên a*b*c < 64. Do đó ta chỉ còn xét hai trường hợp, ba chữ số a, b, c có tổng là 1 + 5 + 9 và 1 + 7 + 7.
Thử chọn thấy 77175 là thích hợp.
Đ/S: 77175.
h)Tìm số abcd, biết rằng số đó chia hết cho tích các số ab và cd.
HD:
h)Tìm số abcd, biết rằng số đó chia hết cho tích các số ab và cd.
Ta có: abcd = ab00 + cd = 100.ab + cd chia hết cho ab.cd
=> cd chia hết cho ab. Đặt cd = k.ab (1 ≤ k ≤ 9)
có ab.100 + k.ab chia hết cho ab .cd = ab .k.ab 
=> 100 + k chia hết cho k.ab (1) => 100 chia hết cho k
=> k = {1, 2, 4, 5}
+ k = 1; cd = ab; từ (1) => 101 chia hết cho ab vô lí vì 101 nguyên tố
+ k = 2; cd = 2.ab, từ (1) => 102 chia hết cho 2.ab => 51 chia hết cho ab 
ab không thể là 51 (vì nếu thế thì cd = 102 vô lí) => ab = 17 => cd = 34
Số cần tìm là 1734 (dễ kiểm tra 1734 : (17.34) = 3)
+ k = 4; cd = 4.ab => 104 chia hết cho 4.ab => 26 chia hết cho ab => ab = 13,cd = 52 (nhận) hoặc ab = 26, cd = 104 (loại)
+ k = 5; cd = 5.ab, từ (1) => 105 chia hết cho 5.ab => 21 chia hết cho ab 
=> ab = 21 => cd = 105 vô lí
Vậy có hai cặp số thỏa mãn yêu cầu là: 1734 và 1352
i) *63* chia hết cho cả 2,3,5,9
HD:
i)*63* chia hết cho cả 2,3,5,9
*63* chia hết cho 2 và 5 => *63* = *630 .
Vì *63* chia hết cho 9 nên tổng các số phải chia hết cho 9 
* + 6 + 3 + 0 = * + 9 chia hết cho 9
* = 0 (loại) hoặc * = 9.
Số chia hết cho 9 thì sẽ chia hết cho 3. Vậy số cần tìm là: 9630
j) Tìm tất cả các số có 5 chữ số dạng: 34x5y mà chia hết cho 36.
HD:
j) Tìm tất cả các số có 5 chữ số dạng: 34x5y mà chia hết cho 36.
Ta có: 36 = 9.4 mà ƯC(4;9) = 1
Vậy để 34x5y chia hết cho 36 thì 34x5y chia hết cho 4 và 9
34x5y chia hết cho 9 ó 3+4+x+5+y ⋮ 9 ó 12 + x + y ⋮9 (1)
34x5y chia hết cho 4 ó 5y chia hết cho 4 => y = 2 hoặc y = 6
Với y = 2 thay vào (1) => 14 + x ⋮9 => x = 4
Với y = 6 thay vào (1) => 18 + x ⋮9 => x = 0 hoặc x = 9
Vậy các cặp (x, y) cần tìm là: (4; 2), (0; 6), (9; 6).
DẠNG 3 : CHỮ SỐ TẬN CÙNG VÀ ĐỒNG DƯ THỨC
Lý thuyết:
+ 1. Một số có chữ số tận cùng là : 0; 1; 5; 6 khi nâng lên lũy thừa thì được số có chữ số tận cùng là chính nó (0; 1; 5; 6)
+ 2. Số có chữ số tận cùng là 2; 4; 6 khi nâng lên lũy thừa 4 được số có chữ số tận cùng là 6
+ 3. Số có chữ số tận cùng là 3; 7; 9 khi nâng lên lũy thừa 4 được số có chữ số tận cùng là 1
Chú ý 1: 
+ 1 số tự nhiên bất kỳ nâng lên lũy thừa 4k+1 thì chữ số tận cùng không thay đổi
	+ Số có tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa được số có chữ số tận cùng là 7
	+ Số có tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa được số có chữ số tận cùng là 3
	+ Số có tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa được số có chữ số tận cùng là 8
	+ Số có tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa được số có chữ số tận cùng là 2
	+ Còn lại chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9 khi nâng lên lũy thừa được tận cùng là chính nó
+ 4. Nếu a và b có cùng số dư khi chia cho m thì a được gọi là đồng dư với b theo modum m
	KH: 
Ví dụ: 	
+ 5. Một số tính chất về đồng dư:
	+ Nếu: 
	+ Nếu: 
	+ Nếu: 
	+ Nếu: 
	+ Nếu và d là UC(a; b) thỏa mãn: ( d; m) = 1 thì 
	+ Nếu thỏa mãn : 
Chú ý : Không được chia 2 vế của dồng dư thức :
	Ví dụ : , điều này là sai.
Bài tập áp dụng :
Bài 1:Tìm số dư trong phép chia khi chia cho 11
HD:
	Dấu hiệu chia hết cho 11 là hiệu chữ số hàng lẻ với chữ số hàng chẵn tính từ bên trái chia hết cho 11
Ta có: 
Mà 
Vậy chi cho 11 dư 5
Bài 2: Tìm số dư khi chia cho 7
HD:
	Ta có: 
	Mà 
	Vậy hay A chia cho 7 dư 5
Bài 3: Chứng minh rằng: đều là bội số của 7
HD:
	Ta có: 
	Chứng minh tương tự với B
Bài 4: Tìm số dư trong phép chia: khi chia cho 9
HD:
	Ta có: , Nên 
Bài 5: Chứng minh rằng: 
HD:
	Ta có: ,Vì 
Bài 6: Tìm dư trong phép chia: chia cho 13
HD:
	Ta có: , Vậy số dư là 9
Bài 7: Chứng minh rằng : 
HD :
	Ta có : 
Bài 8: Chứng minh rằng : 
HD :
	Ta có : 
	Và , Khi đó : 
	Mà : 
	Xét có , hay 
Bài 9: Tìm dư trong phép chia : khichia cho 12
HD:
	Ta có: 
	Và , Khi đó số dư là 2
Bài 10: Tìm số dư của , khi chia cho 3 và chi cho 5
HD :
	Ta có : 
	 , Khi đó A chia 3 có dư là 2
Mặt khác : 
	Khi đó 
	Mà 
	Vậy hay A chia 5 dư 2
Bài 11: Tìm số dư của khi chia A cho 11 và khi chia cho 13
HD:
	Ta có: 
	Và , Khi đó A chia cho 11 dư 2
	Mặt khác: 
	Và , Khi đó A chia cho13 dư 7
Bài 12: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
Bài 13: Tìm chữ số tận cùng của:
a, 	b, 	
HD:
	a, Ta có: là 1 số lẻ nên chi 4 có 2 TH là 
	TH1 : 
	TH2 : 
	b, Ta thấy : là 1 số lẻ nên chia 4 có 2 TH là : 
Bài 14 : Cho , Tìm chữ số tận cùng của A
HD :
	Ta có : 
Bài 15 : Cho , Chứng minh rằng: 
HD:
	Ta có: 
Bài 16: Chứng minh rằng: 
HD:
	Ta có: 
Bài 17: Chứng minh rằng: 
Bài 18: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 
Bài 19: Chứng minh rằng:
a, 	b, 	c, 
Bài 20: Chứng minh rằng: 
Bài 21: Chứng minh rằng số có dạng: có chữ số tận cùng là 7
HD:
	Ta có: 
Bài 22: Chứng minh rằng số có dạng: 
HD:
	Ta có: 
Bài 23: Chứng minh rằng số có dạng 
HD:
	Ta có: 
Bài 24: Tìm chữ số hàng đơn vị của: 
a, 
b, 
c, 
d, 
Bài 25: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
a, A= 24n - 5 (n > 0, n N)	b, B= 24n+2 + 1 (nN) 	c, C= 74n – 1 (nN )
HD:
a, Ta có :A= 
b, Ta có :
c, Ta có :
Bài 26: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
a, D= 	b, E= 
HD:
a, Ta có :2n =22+n-2 =22.2n-2 =4.2n-2 =>
b, Ta có : 
Bài 27: Chứng minh rằng:
a, A = 	b, B= 	c, C= 
HD:
a, Ta có : 
b, Ta có : Ta có có tận cùng là 6
c, Ta có : 
Bài 28: Chứng minh rằng:
a, E= 	b, F= 	c, H= 
HD:
a, Ta có :
b, Ta có : 
c, Ta có : 
Bài 29: Chứng minh rằng:
a, I= 	b, K=	c, M= 
HD:
a, Ta có :
b, Ta có : 
c, Ta có : 
Bài 30: Chứng minh rằng:
a, D= 	b, G= cả 2 và 5
HD:
a, Ta có :
b, Ta có : 
Bài 31: Trong các số sau số nào chia hết cho 2,5 10
a, 	b, 
HD:
a, Ta có :
b, Ta có : 
Bài 32: Trong các số sau số nào chia hết cho 2,5 10
a, b, 
HD:
a, Ta có : 
b, Ta có : 
Bài 33: Chứng minh rằng:
a, 94260 - 35137 5	b, 995 – 984 +973 – 9622 và 5
HD:
a, Ta có :
b, Ta có :
	 Hiển nhiên chia hết cho cả 2 và 5
Bài 34: Chứng minh rằng:
a, 	b, 
HD:
a, Ta có: thì chia hết cho 10
b, Ta có: nên chia hết cho 10	
Bài 35: Chứng minh rằng:
a, 	b, 
HD:
a, Ta có:
Chia hết cho 5, và ta thấy đpcm
b, Ta có : và có tổng các chữ số là 9 nên chia hết cho 9
	Khi đó chia hết cho 72
Bài 36: Chứng minh rằng:
a, 	b, 
HD:
a, Ta có: 
b, Ta có: 
Bài 37: Chứng minh rằng:
a, 	b, 
HD:
a, Ta có:
b, Ta có:
Bài 38: CMR:
a,	b,
HD:
a, Ta có:
b, Ta có:	
Bài 39: Cho n là số tự nhiên, CMR : A=17n+111...1 (n chữ số 1) 9
HD:
Ta có :
	Số 1111....1 có tổng các chữ số là 1+1+1+1+....+1 có n số 1 nên bằng n
	Khi đó có nên cần 1111....1-n chia hết cho 9
	mà 1111.....1 - n có tổng các chữ số là 0 nên chia hết cho 9
	Vậy A chia hết cho 9
Bài 40: Tìm chữ số tận cùng của tổng sau: 
HD:
	Ta thấy mọi lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 1
Nên tổng S có chữ số tận cùng là: có chữ số tận cùng là 9
Bài 41: Tìm chữ số tận cùng của: 
HD:
	Ta thấy mọi lũy thừa trong T đều có dạng chia 4 dư 3, 
	Nên tổng T có chữ số tận cùng là : 
+
Vậy chữ số tận cùng của T là 9
Bài 42 : Tìm số dư của :
a, khi chia cho 5	
b, khi chia cho 5
Bài 43: Tìm chữ số tận cùng của :
a, 
b, 
Bài 44: Chứng minh rằng chữ số tận cùng của 2 số sau giống nhau:
a, và 
Bài 45: Tìm chữ số tận cùng của:
a, 
b, 
c, 
d, 
e, 
f, 
Bài 46: Tìm chữ số tận cùng của:
a, 	b, 	
Bài 47: Tìm chữ số tận cùng của: 
Bài 48: Tìm số tự nhiên n để 
HD:
	Ta có: 10=4.2+2, nên phải có tận cùng là 9=> n=3 hoặc n=7
Bài 49: CMR: 
Chú ý: 
Đối với tìm 2 chữ số tận cùng:
+ Với các chữ số có tận cùng là 01, 25, 76 thì nâng lên lũy thừa bao nhiên (Khác 0) đều có 2 chữ số tận cùng là chính nó
+ Các số luôn có tận cùng là 76 (n>1)
+ Các số: có tận cùng là 76 và 01
+ Còn lại đưa lên lũy thừa 2,4,5 thì sẽ trở về 76 hoặc 01
Bài 1: Tìm 2 chữ số tận cùng của: 
HD:
	Ta có: Và 
Bài 2: Tìm 2 chữ số tận cùng của : 
HD:
	Ta có: 
Bài 3: Tìm 2 chữ số tận cùng của: 
HD:
	Ta thấy: thấy là 1 số lẻ nên 
Bài 4 :Tìm 2 chứ số tận cùng của : 
Bài 5 : Tìm 2 chữ số của : 
a, 
b, 
c, và 
d, 
HD :
	b, 
Bài 6 : Chứng minh rằng :
a, và 
b, 
c, 
HD:
	c, Có 2 chữ số tận cùng là 76
Bài 7: Chứng minh rằng: 
HD:
	A có chữ số tận cùng là 5 nên A 5