Bài tập môn Toán Lớp 6 - Chuyên đề 6: Phân số

CHUYÊN ĐỀ PHÂN SỐ
Dạng 1: TÌM N ĐỂ PHÂN SỐ TỐI GIẢN
Bài 1: Tìm n N để các phân số tối giản:
a, 	b, 	c, 	d, 
HD:
a, 
 Để A tối giản thì tối giản hay 
b, 
Để A tối giản thì tối giản hay và 
c, Gọi d =UCLN( 2n+3; 4n+1) => 2( 2n+3) - (4n +1) d=> 5 d, 
Để C tối giản thì d # 5 hay 2n+3 # 5k => 2n+8 # 5k=>n # 5k – 4 (k N)
d, Gọi d=UCLN (3n+2; 7n+1) => 7(3n+2) - 3(7n+1) d => 11d, 
Để A tối giản thì d # 11 hay 3n+2 # 11k=> n # 11k+3 (k N)
Bài 2: Tìm n N để các phân số tối giản:
a, 	b, 	c, 	d, 	
HD:
a, Gọi 
Để A tối giản thì n # 31k – 19 (k N)
b, Gọi 
Mà , Nên để C tối giản thì: 
TH1: 
TH2: 
c, Gọi 
	Mà , Nên để A tối giản thì 
	Thấy hiển nhiên 
	Với 
d, Gọi 
	Mà 22 = 2.11, Nên để A tối giản thì: 
	TH1: là số chẵn
	TH2: 
Bài 3: Tìm n N để các phân số tối giản: 
Bài 4: Tìm n để rút gọn được
HD:
Giả sử tử và mẫu cùng chia hết cho số nguyên tố d => 22 d=> d=2 hoặc d=11
	TH1: d=1=> 6n+4 2 với mọi n và 21n +3 2 khi n lẻ
	TH2: d=11=> 21n +311=> n – 3 11=> n = 11k +3 => Với n= 11k+3 => 6n+411
Bài 5: CMR nếu phân số : là số tự nhiên với nN thì các phân số và là các phân số tối giản ?
HD : 
Vì phân số là số tự nhiên với mọi n nên => n lẻ và n không chia hết cho 3
Vậy là các phân số tối giản
Bài 6: Cho biểu thức 
a/ Rút gọn biểu thức
b/ CMR nếu a là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm được của câu a là 1 phân số tối giản
Bài 7: Tìm tất cả các số tự nhiên n để là phân số tối giản
Bài 8: Tìm các giá trị nguyên của n để phân số có giá trị là số nguyên
HD:
Dạng 2: CHỨNG MINH PHÂN SỐ LÀ TỐI GIẢN
Bài 1: Chứng minh các phân số sau tối giản:
a, 	b, 	c, 	d, 	
HD:
a, Gọi 
	b, Gọi 
	c, Gọi 
	d, Gọi 
Bài 2: Chứng minh các phân số sau tối giản:
a,	b, 	c, 	d, 	
HD:
	a, Gọi 
	b, Gọi 
	c, Gọi 
	d, Gọi 
	Vì mà 2n+3 là số lẻ nên d lẻ, vậy loại 
Bài 3: Chứng minh các phân số sau tối giản:
a, 	b, 	c, 
HD:
	a, Gọi 
	b, Gọi 
	c, Gọi 
Bài 4: Tìm n Z để các phân số sau là số nguyên:
a, 	b, 	c, 	d, 	
HD:
	a, Để 
	b, Để 
	c, Để 
	d, Để , Vì 
Bài 5: Tìm n Z để các phân số sau là số nguyên:
a, 	b,	c, 	d, 
HD:
a, Để 
b, Để 
c, Để 
d, Để 
Bài 6: Cho phân số với n N, tìm n để A là số tự nhiên
Bài 7: Tìm n Z để các phân số sau là số nguyên:
a, 	b, 	c, 	d, 
HD :
	a, Ta có : 2n – 8 =2(n-4) => n+10 2 và n+10 n – 4 hay n là số chẵn và 
	b, Ta có : 2n – 2 =2(n – 1)=> n+3 2 và n+3 n – 1 hay n là số lẻ và 
	c, Ta có : 2n+37 => 2n+107= >n+57 => n= 7k – 5 (k 
	d, Ta có : =>7n+2
Bài 8: Tìm n N để sao cho:
a, Có giá trị là số tự nhiên	b, Là phân số tối giản	c, Với n từ 150-170 thì A rút gọn được
HD :
a, để A là số tự nhiên thì 4n+3 U(187) =
b, Để A tối giản thì tối giản hay 187 không chia hết cho 4n+3 hay 4n+3 # 11k và 4n+3 # 17
c, Để A rút gọn được thì n = 11k + 2 hoặc n = 17h – 5=>
Bài 9: CMR nếu (a – 1; b+1) thì là phân số tối giản
HD:
Gọi d=UCLN(3a+5b+2; 5a+8b+3) => 5(3a+5b+2) – 3(5a+8b+3) d=> b+1 d
Và 8(3a+5b+2) – 5(5a+8b+3) d=> a – 1 d => dUC( a – 1; b+1) 
Mà UCLN( a – 1; b+1) =1 => d =1; - 1 
Bài 10: Tìm n Z sao cho cả và là các số nguyên
Bài 11: Cho phân số (n Z, n > 6), Tìm n để phân số có giá trị nguyên dương
Bài 12: Cho phân số (n N*). Tìm n để
a, Phân số A là số tự nhiên 	b, A rút gọn được
Bài 13: Tìm n N để là số nguyên
Bài 14: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau tối giản: 
HD: 
Các phân số đã cho có dạng: với a=1; 2; 3; ...; 2001; 2002
Để tối giản thì UCLN(n+2+a;a) =1, => UCLN(n+2; a)=1=> n+2 và a là nguyên tố cùng nhau
Với mỗi số 1,2,3,..., 2002 và n+2 nhỏ nhất thì n+2=2003( Vì 2003 là số nguyên tố)
Bài 15: Tìm n để tích hai phân số và có giá trị ngyên
Bài 16: Tìm x để giá trị của biểu thức: là số nguyên
Bài 17: Cho , tìm các giá trị nguyên của x để: T có giá trị nguyên, T có giá trị lớn nhất
Bài 19: Cho , biết x là số hữu tỉ âm, và M là số nguyên, Tìm x
Dạng 3: TÌM N ĐỂ PHÂN SỐ CÓ GTLN HOẶC GTNN
Bài 1: Tìm n Z để các phân số sau có GTNN:
a, 	b, 	c, 	d, 
HD:
a, Do n nên 2n+3, Để nhỏ nhất thì số dương lớn nhất 
khi 2n+3 là số nguyên dương nhỏ nhất=> 2n+3 =1=> n = -1
b, Do nnên 3n+2, Để nhỏ nhất thì là số dương lớn nhất 
hay 3n+2 là số nguyên dương bé nhất => 3n+2 =1 =>n = -1/3( loại) nên 3m+2 =2=> n=0
c, Do xnên x+3Để nhỏ nhất thì là số dương lớn nhất 
hay x+3 là số nguyên dương nhỏ nhất hay x+3 =1=> x = - 2 
d, Do xnên x+1 để nhỏ nhất thì là số âm nhỏ nhất 
hay x+1 là số nguyên âm lớn nhất hay x+1 = - 1 => x = - 2 
Bài 2: Tìm n Z để các phân số sau có GTNN:
a, 	b, 	c, 	d, 
HD:
a, Do x nên 2x+4Để nhỏ nhất thì là số âm nhỏ nhất 
hay 2x+4 là số nguyên âm lớn nhất hay 2x+4 = - 1 => x= - 5/2 (loại) khi đó 2x+4 = - 2 => x= - 3
b, Do xnên x-1 Để nhỏ nhất thì là số âm nhỏ nhất 
hay x -1 là số nguyên âm lớn nhất hay x - 1 = - 1=> x=0
c, Do anên 4a+3Để nhỏ nhất thì là số dương lớn nhất 
hay 4a+3 là số nguyên dương nhỏ nhất hay 4a+3 =1=> a =-1/2(loại) 
hay 4a+3 =2 => a = -1/4(loại) hay 4a+3=3=> a=0
d, Do xnên 2x-5 , Đề nhỏ nhất thì 2x – 5 là số nguyên dương bé nhất 
hay 2x – 5 =1=> x =3
Bài 3: Tìm n Z để các phân số sau có GTNN:
a, 	b, 	c, 	d, 
HD:
a, Do nnên 2n+3 , Để A = nhỏ nhất thì là số dương lớn nhất 
=> 2n+3 là số nguyên dương nhỏ nhất => 2n+3=1=> n= - 1 
b, Do nnên n+2 , Để nhỏ nhất thì là số dương lớn nhất 
=> n+2 là số nguyên dương nhỏ nhất=> n+2 =1=> n= - 1 
c, Do x nên x-3, Để nhỏ nhất thì là số âm nhỏ nhất 
=> x – 5 là số nguyên âm lớn nhất => x – 5 = - 1 => x= 4
d, Do nnên 2n-5 , Để nhỏ nhất thì là số dương lớn nhất
=> 2n-5 là số nguyên dương nhỏ nhất => 2n-5 =1=>n=3
Bài 4: Tìm n Z để các phân số sau có GTNN: 
HD :
Do xnên 5x-2, Để nhỏ nhất thì là số âm nhỏ nhất 
=> 5x - 2 là số nguyên âm lớn nhất => 5x - 2= -1 (loại) khi đó 5x - 2= - 2 => x = 0
Bài 5: Tìm n Z để các phân số sau có GTLN
a, 	b, 	c, 	d, 
HD:
a, Do n nên n-2 , Để lớn nhất thì là số dương lớn nhất 
khi đó n – 2 là số nguyên dương nhỏ nhất => n - 2 = 1=> n = 3
b, Do nnên 4 – n , Để lớn nhất thì là số dương lớn nhất 
hay 4 – n là số nguyên dương nhỏ nhất => 4 – n = 1 => n = 3
c, Do xnên x-5, Để lớn nhất thì là số dương lớn nhất 
hay x – 5 là số nguyên dương nhỏ nhất => x – 5 = 1=> x = 6
d, Do xnên 4+x , Để lớn nhất thì là số dương lớn nhất 
hay 4+x là số nguyên dương nhỏ nhất => 4 + x = 1 => x = 3
Bài 6: Tìm n Z để các phân số sau có GTLN
a, 	b, 	c, 
HD:
a, Do x nên x-9 , Để lớn nhất thì là số dương lớn nhất 
hay x – 9 là số nguyên dương nhỏ nhất => x – 9 =1=> x = 10
b, Do xnên 2x-5,Để lớn nhất thì là số ấm nhỏ nhất 
hay 2x -5 là số nguyên âm lớn nhất => 2 x – 5= - 1=> x = 2
c, Do nnên -2n + 3, Để lớn nhất
 hay là số dương lớn nhất, hay -2n + 3 là số nguyên dương bé nhất => -2n+3 =1 => n =1
Bài 7: Tìm n Z để các phân số sau có GTNN:
a, 	b, 	c, 	d, 	
Bài 8: Tìm n Z để các phân số sau có GTNN:
a, 	b, 	c,
Bài 9: Tìm n Z để các phân số sau có GTLN
a, 	b, 	c,	d, 	
Bài 10: Tìm n Z để các phân số sau có GTLN
a, 	b, 	c, 	d,	
Bài 11: Tìm n Z để các phân số sau có GTLN
a, 	b, 	c, 	d, 
Bài 12: Tìm số tự nhiên n để Đạt giá trị lớn nhất, Tìm GTLN đó
HD : 
Bài 13: Tìm số nguyên n sao cho đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 14: Tìm các giá trị nguyên của x để:
a, có giá trị lớn nhất	b, có GTNN
Bài 15: Tìm GTNN của phân số : 
Bài 16: Tìm GTNN của mỗi biểu thức: , nếu x+y=1
Bài 17: Tìm các số tự nhiên a, b nhỏ nhất sao cho (1)
HD:
Từ => vì b N nên a b => a=b.k (k N)
	Và vì a > b => , thay a = b.k vào (1) ta được 
	Mà k 2 => mà b nhỏ nhất nên , khi đó k = 2 => 
Bài 18: Cho số tự nhiên n có hai chữ số, chữ số hàng chục là x, hàng đơn vị là y, Gọi 
a, Tìm n để M=2	b, Tìm n để M nhỏ nhất
HD: 
a, Ta có: , Mà x,y là các chữ số nên x=1 và y=8
b, để M nhỏ nhất thì lớn nhất hay y lớn nhất và x nhỏ nhât
Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN PHÂN SỐ
Bài 1: Tìm a, b, c, d N* , biết : 
Bài 2: Cộng cả tử và mẫu của phân số với cùng 1 số nguyên rồi rút gọn ta được phân số .
Hãy tìm số nguyên đó ?
Bài 3: Khi cộng cả tử và mẫu của phân số với cùng 1 số nguyên x thì được 1 phân số có giá trị bằng . Tìm số nguyên x?
Bài 4: Tìm 1 phân số tối giản, Biết rằng khi cộng cả tử và mẫu của phân số ấy với mẫu của số đó thì được 1 số mới lớn giấp hai lần phân số ban đầu ?
HD: 
Gọi phân số tối giản lúc đầu là , nếu chỉ cộng mẫu số vào mẫu số ta được phân số : 
 phân số này nhỏ hơn phân số là 2 lần, 
Để gấp hai lần phân số ban đầu thì a+b giấp 4 lần a
=> Mẫu số b phải giấp 3 lần tử số a, phân số tối giản thỏa mãn điều kiện trên là 
Bài 5: Tìm phân số tối giản nhỏ nhât khác 0 sao cho khi chia cho mỗi phân số và ta được kết quả là 1 số tự nhiên
Bài 6: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau tối giản: 
HD :
	Các phân số trên có dạng , để tối giản thì :
	n+2 và a là hai số nguyên tố cùng nhau
Với mỗi số : 1,2,3,...,2002 và n+2 nhỏ nhất =>n+2=2003 là số nguyên tố=> n=2001
Bài 7: Cho 50 số tự nhiên: , t/ m : , Chứng minh rằng trong 50 số đó có ít nhất hai số bằng nhau