Bài tập môn Toán Lớp 6 - Dãy số

BÀI TẬP ÔN TẬP TOÁN 6- Dãy số
Bài 1. Phân tích số 8030028 thành tổng của 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp.
Lời giải
 Gọi a là số tự nhiên chẵn, ta có tổng của 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp là: 
	S = a + (a + 2) + ... + (a + 4006) = .
 Khi đó ta có: (a + 2003).2004 = 8030028 a = 2004.	
Vậy ta có: 8030028 = 2004 + 2006 + 2008 + ... + 6010 
Bài 2. Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n.(n + 1)
Lời giải
 Ta thấy mỗi số hạng của tổng trên là tích của hai số tự nhên liên tiếp, khi đó:
	Gọi a1 = 1.2 3a1 = 1.2.3 3a1= 1.2.3 - 0.1.2
 a2 = 2.3 3a2 = 2.3.3 3a2= 2.3.4 - 1.2.3
	 a3 = 3.4 3a3 = 3.3.4 3a3 = 3.4.5 - 2.3.4 
 ..
 an-1 = (n - 1)n 3an-1 =3(n - 1)n 3an-1 = (n - 1)n(n + 1) - (n - 2)(n - 1)n 
	 an = n(n + 1) 3an = 3n(n + 1) 3an = n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1)
 Cộng từng vế của các đẳng thức trên ta có:
	 3(a1 + a2 + + an) = n(n + 1)(n + 2)
	 3 = n(n + 1)(n + 2) A = 
Cách 2: Ta có 
3A = 1.2.3 + 2.3.3 + + n(n + 1).3 = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(3 - 1) + + n(n + 1)[(n - 2) - (n - 1)] = 1.2.3 - 1.2.0 + 2.3.3 - 1.2.3 + + n(n + 1)(n + 2) - 
 - (n - 1)n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2) A = 
	* Tổng quát hoá ta có:
 k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = 3k(k + 1). Trong đó k = 1; 2; 3; 
	Ta dễ dàng chứng minh công thức trên như sau:
 k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = k(k + 1)[(k + 2) - (k - 1)] = 3k(k + 1) 
Bài 3. Tính B = 1.2.3 + 2.3.4 + + (n - 1)n(n + 1)
Lời giải
	 4B = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + + (n - 1)n(n + 1).4
	= 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + + (n - 1)n(n + 1)(n + 2) - 
[(n - 2)(n - 1)n(n + 1)] = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) - 0.1.2.3 = (n - 1)n(n + 1)(n + 2)
	 B = 
Bài 4. Tính C = 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 + + n(n + 3)
Lời giải
	Ta thấy: 1.4 = 1.(1 + 3) 2.5 = 2.(2 + 3) 
 3.6 = 3.(3 + 3) 4.7 = 4.(4 + 3)
 . n(n + 3) = n(n + 1) + 2n
	Vậy C = 1.2 + 2.1 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 2.3 + + n(n + 1) +2n
 = 1.2 + 2 +2.3 + 4 + 3.4 + 6 + + n(n + 1) + 2n
 = [1.2 +2.3 +3.4 + + n(n + 1)] + (2 + 4 + 6 + + 2n)
	3C = 3.[1.2 +2.3 +3.4 + + n(n + 1)] + 3.(2 + 4 + 6 + + 2n) =
	 = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + + n(n + 1).3 + 3.(2 + 4 + 6 + + 2n) =
	 = n(n + 1)(n + 2) +C= =
Bài 5. Tính D = 12 + 22 + 32 + + n2
	 Ta có: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n.(n + 1) = 1.(1 + 1) + 2.(1 + 2) + + 
 + n.(1 + n) = 12 + 1.1 + 22 + 2.1 + 32 + 3.1 + + n2 + n.1 = (12 + 22 + 32 + + n2 ) + (1 + 2 + 3 + + n). Mặt khác theo bài tập 1 ta có:
 A = và 1 + 2 + 3 + + n = 12 + 22 + 32 + + n2 = =- = 
Bài 6. Tính E = 13 + 23 + 33 + + n3
Lời giải; Ta có: B = 1.2.3 + 2.3.4 + + (n - 1)n(n + 1) = (2 - 1).2.(2 + 1) + (3 - 1).3.(3 + 1) 
	+ + (n - 1)n(n + 1) = (23 - 2) + (33 - 3) + + (n3 - n) = 
	= (23 + 33 + + n3) - (2 + 3 + + n) = (13 + 23 + 33 + + n3) - 
 - (1 + 2 + 3 + + n) = (13 + 23 + 33 + + n3) - 
 (13 + 23 + 33 + + n3) = B + Mà ta đã biết B = 
 E = 13 + 23 + 33 + + n3 = + = 
	Cách 2: Ta có: A1 = 13 = 12
	A2 = 13 + 23 = 9 = (1 + 2)2
	A3 = 13 + 23 + 33 = 36 = (1 + 2 + 3)2
Giả sử có: Ak = 13 + 23 + 33 + + k3 = (1 + 2 + 3 + + k)2 (1) Ta chứng minh:
	Ak+1 = 13 + 23 + 33 + + (k + 1)3 = [1 + 2 + 3 + + (k + 1)]2 (2)
Thật vậy, ta đã biết: 1 + 2 + 3 + + k = 
	Ak = []2 (1') Cộng vào hai vế của (1') với (k + 1)3 ta có:
	Ak + (k + 1)3 = []2 + (k + 1)3 Ak+1 = []2 + (k + 1)3
	= Vậy tổng trên đúng với Ak+1, tức là ta luôn có: 
	Ak+1 = 13 + 23 + 33 + + (k + 1)3 = [1 + 2 + 3 + + (k + 1)]2 =
 = . Vậy khi đó ta có:
 E = 13 + 23 + 33 + + n3 = (1 + 2 + 3 + + n)2 = 
Bài 7. Biết rằng 12 + 22 + 32 + + 102 = 385, đố em tính nhanh được tổng
	S = 22 + 42 + 62 + + 202
Lời giải
 Ta có: S = 22 + 42 + 62 + + 202 = (2.1)2 + (2.2)2 + + (2.10)2 = 
	= 12.22 + 22.22 + 22.32 + + 22.102 = 22.(12 + 22 + 32 + + 102) = 4. (12 + 22 + 32 + + 102) = 4.385 = 1540.
 Nhận xét: Nếu đặt P = 12 + 22 + 32 + + 102 thì ta có: S = 4.P. Do đó, nếu cho S thì ta sẽ tính được P và ngược lại. Tổng quát hóa ta có:
	P = 12 + 22 + 32 + + n2 = (theo kết quả ở trên) 
 	Khi đó S = 22 + 42 + 62 + + (2n)2 được tính tương tự như bài trên, ta có:
	S = (2.1)2 + (2.2)2 + + (2.n)2 = 4.( 12 + 22 + 32 + + n2) =
 = = 
 Còn: P = 13 + 23 + 33 + + n3 = . Ta tính S = 23 + 43 + 63 + + (2n)3 như sau: S = (2.1)3 + (2.2)3 + (2.3)3 + + (2.n)3 = 8.(13 + 23 + 33 + + n3) lúc này S = 8P, Vậy ta có: S = 23 + 43 + 63 + + (2n)3 = 
 áp dụng các kết quả trên, ta có bài tập sau:
Bài 8. a) Tính A = 12 + 32 + 52 + ...+ (2n -1)2
 b) Tính B = 13 + 33 + 53 + + (2n-1)3
 Lời giải
 a)Theo kết quả bài trên, ta có: 12 + 22 + 32 + + (2n)2 = 
 Mà ta thấy: 12 + 32 + 52 + ...+ (2n -1)2 = 12 + 22 + 32 + + (2n)2 - [23 + 43 + 63 + + (2n)2] =
 = - = 
 b) Ta có: 13 + 33 + 53 + + (2n-1)3 = 13 + 23 + 33 + + (2n)3 -
 - [23 + 43 + 63 + + (2n)3] . áp dụng kết quả bài tập trên ta có: 
 13 + 23 + 33 + + (2n)3 = n2(2n + 1)2.
 Vậy: B = 13 + 33 + 53 + + (2n-1)3 = n2(2n + 1)2 - 2n2(n + 1)2 = = 2n4 - n2 
Một số bài tập dạng khác
Bài 1. Tính S1 = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 263
Lời giải
	Cách 1: 
 Ta thấy: S1 = 1 + 2 + 22 + 23 + + 263 (1)
 2S1 = 2 + 22 + 23 + + 263 + 264 (2)
 Trừ từng vế của (2) cho (1) ta có: 
	2S1 - S1 = 2 + 22 + 23 + + 263 + 264 - (1 + 2 + 22 + 23 + + 263)
	= 264 - 1. Hay S1 = 264 - 1
	Cách 2: Ta có: S1 = 1 + 2 + 22 + 23 + + 263 = 1 + 2(1 + 2 + 22 + 23 + + 262) (1)
 = 1 + 2(S1 - 263) = 1 + 2S1 - 264 S1 = 264 - 1
Bài 2. Tính giá trị của biểu thức S = 1 +3 + 32 + 33 + + 32000 (1)
Lời giải:
	Cách 1: áp dụng cách làm của bài 1:
 Ta có: 3S = 3 + 32 + 33 + + 32001 (2) Trừ từng vế của (2) cho (1) ta được:
 3S - 2S = (3 + 32 + 33 + + 32001) - (1 +3 + 32 + 33 + + 32000)
 Hay: 2S = 32001 - 1 S = 
	Cách 2: Tương tự như cách 2 của bài trên:
 Ta có: S = 1 + 3(1 +3 + 32 + 33 + + 31999) = 1 + 3(S - 32000) = 1 + 3S - 32001
	 2S = 32001 - 1 S = 
	*) Tổng quát hoá ta có: Sn = 1 + q + q2 + q3 + + qn (1)
	Khi đó ta có: 
	Cách 1: qSn = q + q2 + q3 + + qn+1 (2)
	Trừ từng vế của (2) cho (1) ta có: (q - 1)S = qn+1 - 1 S = 
	Cách 2: Sn = 1 + q(1 + q + q2 + q3 + + qn-1) = 1 + q(Sn - qn)
	 = 1 + qSn - qn+1 qSn - Sn = qn+1 - 1 hay: Sn(q - 1) = qn+1 - 1 S = 
Bài 3. Cho A = 1 + 2 + 22 + 23 + + 29; B = 5.28. Hãy so sánh A và B
	Cách 1: Ta thấy: B = 5.28 = (23 + 22 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1).26 
	 = 29 + 28 + 27 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26
	 = 29 + 28 + 27 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 25 + 25
	(Vì 26 = 2.25). Vậy rõ ràng ta thấy B > A
	Cách 2: áp dụng cách làm của các bài tập trên ta thấy đơn giản hơn, 
 thật vậy:	 A = 1 + 2 + 22 + 23 + + 29 (1)
	 2A = 2 + 22 + 23 + + 29 + 210 (2)
 	Trừ từng vế của (2) cho (1) ta có: 
	 2A - A = (2 + 22 + 23 + + 29 + 210) - (1 + 2 + 22 + 23 + + 29)
	 = 210 - 1 hay A = 210 - 1
	Còn: B = 5.28 = (22 + 1).28 = 210 + 28 Vậy B > A
	* Ta có thể tìm được giá trị của biểu thức A, từ đó học sinh có thể so sánh được A với B mà không gặp mấy khó khăn.
Bài 4. Tính giá trị của biểu thức S = 1 + 2.6 + 3.62 + 4.63 + + 100.699 (1)
 Ta có: 6S = 6 + 2.62 + 3.63 + ... + 99.699 + 100.6100 (2) 
 Trừ từng vế của (2) cho (1) ta được:
	 5S = 6 - 2.6 + (2.62 - 3.62) + (3.63 - 4.63) +.... + (99.699 - 100.699) + 
 + 100.6100 - 1 = 100.6100 - 1 - (6 + 62 + 63 + + 699) (*)
 Đặt S' = 6 + 62 + 63 + . + 699 6S' = 62 + 63 + . + 699 + 6100 
	 S' = thay vào (*) ta có: 5S = 100.6100 - 1 - = 
	 S = 
Bài 5. Người ta viết dãy số: 1; 2; 3; ... Hỏi chữ số thứ 673 là chữ số nào?
Lời giải
 Ta thấy: Từ 1 đến 99 có: 9 + 2.90 = 189 chữ số, theo đầu bài ta còn thiếu số các chữ số của dãy là: 673 - 189 = 484 chữ số, như vậy chữ số thứ 673 phải nằm trong dãy các số có 3 chữ số. Vậy ta xét tiếp:
 Từ 100 đến 260 có: 3.161 = 483 chữ số 
 Như vậy từ 1 đến 260 đã có: 189 + 483 = 672 chữ số, theo đầu bài thì chữ số thứ 673 sẽ là chữ số 2 của số 261.
	Một số bài tập tự giải:
 1. Tính: A = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + + (n - 2) (n + 1)
 2. Tính: B = 1.2.4 + 2.3.5 + + n(n + 1)(n + 3)
 3. Tính: C = 22 + 52 + 82 + ...+ (3n - 1)2 
 4. Tính: D = 14 + 24 + 34 + ... + n4
 5. Tính: E = 7 + 74 + 77 + 710 + + 73001
 6. Tính: F = 8 + 83 + 85 + + 8801 
 7. Tính: G = 9 + 99 + 999 + + 99 9 (chữ số cuối gồm 190 chữ số 9)
 8. Tính: H = 1.1! + 2.2! + + n.n!
 9. Cho dãy số: 1; 2; 3; . Hỏi chữ số thứ 2007 là chữ số nào?
Thể loại toán về phân số:
Bài 1. Tính giá trị của biểu thức A = 
Lời giải
	Ta có: A = sau khi bỏ dấu ngoặc ta có:
	A = 	
	Bài 2. Tính giá trị của biểu thức B = 
	 B = vận dụng cách làm của phần nhận xét, ta có: 7 - 3 = 4 (đúng bằng tử) nên ta có:
 B = = 
Bài 3. Tính giá trị của biểu thức C = 
	 Vậy ta có thể biến đổi: 
 C = = = 
	 = 
Bài 4. Tính giá trị của biểu thức D = 
Lời giải
 Ta lại thấy: 3 - 1 = 2 ≠ 3 ở tử của mỗi phân số trong tổng nên bằng cách nào đó ta đưa 3 ra ngoài và đưa 2 vào trong thay thế.
 Ta có: D = = 
	 = = 
Bài 5. Tính giá trị của biểu thức E = 
Lời giải
 Ta thấy: 7 = 1.7 ; 91 = 13.7 ; 247 = 13.19 ; 475 = 19.25
 775 = 25.31 ; 1147 = 31.37 
 Tương tự bài tập trên ta có:
E = = == 
Bài 6. 	So sánh: A = và
	 B = 
Lời giải
 Lại áp dụng cách làm ở bài trên ta có: A= =
 == =
 = 	 Tương tự cách làm trên ta có: 
	B = 
 Ta lại có: 2A = Từ đây ta thấy ngay 
 B > 2A thì hiển nhiên B > A 
Bài 7. 	So sánh hai biểu thức A và B:
	A = 
	B = 
Lời giải
 Ta có: A = = 
	= 
 Còn B = = =
	= 
	= 
	Vậy A = B
Thể loại toán về phân số (tiếp)
Bài 8. Chứng tỏ rằng: với mọi n N
Lời giải
 Ta không thể áp dụng ngay cách làm của các bài tập trên, mà ta thấy:
	ta phải so sánh: với: 
 Thật vậy:= còn 
nên hiển nhiên < .
 Vậy ta có: 
 Mà: nên:
 =
 là hiển nhiên với mọi số tự nhiên n
 Vậy: hay
Bài 9. Tính giá trị của biểu thức M = 
Lời giải
	Ta có ngay: M = 
	 = = 
Bài 10. Tính giá trị của biểu thức N = 
Lời giải
	Ta có: N = 
	 = 
	 = 
Bài 11. Tính giá trị của biểu thức: H = 
Lời giải
	Ta có: H = 
 = 
	 = 
Bài 12. Chứng minh rằng P = 
Lời giải
	Ta có: P = 
	= =
	= . Vậy P < 
Bài 13. Chứng minh rằng S = 
Lời giải
	Ta thấy: áp dụng cách làm bài tập trên ta có: 
	S < hay S < 2 
Bài 14. Đặt 
	. Chứng minh rằng 
Lời giải
 áp dụng các bài trên, ta có:
	= =
	 = = 
	 = - =
	 = - = 
Còn B = 
Một số bài toán khác
Bài 1. Với n , kí hiệu . 
	Hãy tính tổng a1 + a2 + a3 + + a2007
Lời giải
 Ta thấy: thì: =
 Do đó: a1 + a2 + a3 + + a2007 = a1 + -
	- 
Bài 2. Xét biểu thức: S = Chứng minh rằng S < 4
Lời giải
 Ta có: 2S = =
	 = =
 = 
 S = 4 - hay S < 4	
Bài 3. Ta viết lần lượt các phân số sau: 
	 Sốđứng ở vị trí nào trong các phân số trên?
Lời giải
 Số thứ nhất của dãy số có tổng của tử số và mẫu số bằng 2, hai số tiếp theo có tổng của tử số và mẫu số bằng 3, ba số tiếp theo có tổng của tử và mẫu số bằng 4 
 Lại quan sát tiếp ta thấy: Kể từ phân số đầu, cách 1 phân số đến mẫu số là 2, cách 2 phân số đến mẫu số 3, vậy phân số đứng ở vị trí thứ 1930 và của nhóm các số có tổng của tử và mẫu số bằng 1990 + 1930 = 3920. Số các số đứng trước của nhóm này bằng 1 + 2 + 3 + + 3918 = 1959.3919. Vì nhóm có tổng của tử và mẫu số bằng 3920 thì gồm 3919 số nên nhóm đứng trước nhóm này gồm 3918 số.
 Vậy số đứng ở vị trí n = 1959.3919 + 1930 = 7679251