Bài thi Học sinh giỏi cấp trường môn Toán Khối 6 - Năm học 2019-2020 (Có lời giải)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
Môn Toán 6
Năm học 2019-2020
Bài 1.
Câu 1. Tính:
Câu 2. Cho 
Tính 
Bài 2.
Câu 1. Tìm số tự nhiên có 3 chữ số. Biết rằng khi chia số đó cho các số thì được các só dư lần lượt là 
Câu 2. Tìm biết: 
Bài 3. Cho là hai số chính phương lẻ liên tiếp
Chứng minh rằng
Bài 4. Tìm số có 4 chữ số biết nó thỏa mãn cả ba điều kiện sau:
 là chữ số tận cùng của 
Bài 5.
Câu 1. Có hay không một số nguyên tố mà khi chia cho 12 thì dư 9 ? Giải thích
Câu 2. Chứng minh rằng: Trong 3 số nguyên tố lớn hơn 3, luôn tồn tại 2 số nguyên tố mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 12.
ĐÁP ÁN
Bài 1.
Bài 2.
Gọi số tự nhiên phải tìm là 
Từ giả thiết suy ra 
là bội chung của 
Tìm được 
Suy ra 
Vì là số tự nhiên có 3 chữ số
Từ giả thiết ta có: 
Vì nên (1) xảy ra
Bài 3.
Chỉ ra dạng của là: và 
Suy ra; 
Từ đó lập luận và 
Mà 
Suy ra 
Bài 4.
Từ giả thiết dẫn đến điều kiện 
Lý luận dẫn đến có chữ số tận cùng là 5
Từ điều kiện , lý luận dẫn đến 
Từ điều kiện:
Mà 
Vậy số cần tìm là 
Bài 5.
Câu 1:
Không thể có một số nguyên tố mà khi chia cho 12 dư 9, vì số này lớn hơn 3 và chia hết cho 3
Câu 2. 
Một số tự nhiên bất kỳ khi chia cho 12 thì có số dư là 1 trong 12 số sau: 
Chứng minh tương tự câu 1 ta có 1 số nguyên tố lớn hơn 3 (bất kỳ) khi chia cho 12 không thể có số dư là 
Suy ra một số nguyên tố lớn hơn 3 khi đem chia cho 12 thì được số dư có 4 giá tri là: 
Chia các số nguyên tố lớn hơn 3 thành 2 nhóm:
+Nhóm 1: Gồm các số nguyên tố khi chia cho 12 thì dư 1 hoặc 11
+Nhóm 2: Gồm các số nguyên tố khi chia cho 12 thì dư 5 hoặc 7
Giả sử là ba số nguyên tố lớn hơn 3. Có ba số nguyên tố, chỉ nằm trong 2 nhóm, theo nguyên lý Dirichle trong trong 3 số nguyên tố trên, tồn tại ít nhất hai nguyên tố cùng thuộc 1 nhóm, chẳng hạn cùng thuộc một nhóm
+Nếu khi chia cho 12 thì có số dư khác nhau (tức là dư 1 và 11, hoặc dư 5 và 7) thì 
Hoặc 
Nếu khi chia cho 12 có số dư bằng nhau thì hiệu