Đề cương môn Toán Lớp 6 - Năm học 2018-2019

ĐỀ CƯƠNG TOÁN 6-ARCHIMEDES 2018-2019
Bài 1.
Viết mỗi tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử
x là số chẵn có 1 chữ số}
Lời giải.
Bài 2.
Hãy viết tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đó
a)
b) 
c) 
d) 
Lời giải.
a) x là số lẻ, }
b) 
c) 
d) 
Bài 3.
Viết tập hợp :
a) Viết tập hợp A các số tự nhiên x sao cho và .
b) Viết tập hợp B các số tự nhiên y sao cho Ư(45) và .
c) Viết tập hợp C các số tự nhiên z sao cho và Ư(45).
Lời giải.
a) Vì nên 
Vì nên .
Do đó 
b) Vì Ư(45) nên .
Vì nên . Do đó 
c) Vì nên 
Vì Ư(45) nên . Do đó .
Bài 4.
Cho tập hợp 
Viết tập hợp bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần từ của tập hợp đó.
Xét xem ; có thuộc tập hợp không?
Tập hợp có mối quan hệ gì với tập hợp ?
Tập hợp được viết theo thứ tự tăng dần. Hãy tìm phần tử thứ của tập .
Tính số phần tử của .
Tính tổng các phần tử của bằng cách thích hợp.
Lời giải.
 hay là tập hợp các số nguyên dương lẻ nhỏ hơn .
, .
Do nên .
Phần tử thứ ứng với , phần tử đó là .
 có phần tử.
Xét 
Bài 5.
Tìm các chữ số , sao cho:
 chia hết cho , và . 
 chia hết cho , và . 
 chia hết cho và chia cho dư .
 chia hết cho và chia cho dư .
 chia hết cho , và không chia hết cho .
Lời giải.
Do chia hết cho và nên .
Ta có .
Do chia hết cho và nên .
Ta có .
Do chia cho dư nên .
Nếu : ta có .
Nếu : ta có 
Do chia cho dư nên .
Nếu : ta có .
Nếu : ta có .
Do chia hết cho và không chia hết cho nên .
Ta có .
Bài 6.
Tính hợp lý
Lời giải.
Bài 7.
Tính hợp lý:
Lời giải.
Bài 8.
Thực hiện phép tính:
d) 
e) 
f) 
Lời giải.
d) 
e) 
f) 
Bài 9.
Tìm x
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
Lời giải.
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
Bài 10.
Cho x∈Z biết:
a) 	
b) 
c) 
d) 	
e) 
	f) 
Lời giải.
a) 
b) 
c) 
 d) 
 (vô lí)
⇒ Không có giá trị x nào
e) 
 (vô lí)
⇒ Không có giá trị x nào
f) 
Bài 11.
Cho x∈N biết: 
a) x∈UC(36, 24)	 c) x∈BC(9, 8) và x nhỏ nhất
b) x∈UC(54, 12) và x lớn nhất 	 d) x∈BC(6, 9, 15) và 200 £ x £ 300
Lời giải.
a) 
b) và x lớn nhất 
Mà và x lớn nhất 
c) và x nhỏ nhất
Mà và nhỏ nhất
d) và 
Mà và 
Bài 12.
Tìm UCLN(18,30,42)	, UCLN(75,15,105), 	UCLN(37,8,15)	
BCNN(27,45)	BCNN(300,50,1250)	BCNN(12,5,17)
Lời giải.
UCLN(18, 30, 42)
	 UCLN(75,15,105)	
	UCLN(37, 8, 15)	
Bài 13.
Tìm số tự nhiên , biết:
a) c) e) 
b) d) f) 
Lời giải.
a) 
b) 
Mà nên .
c) 
Mà nên . Do đó : .
d) 
.
e) 
Mà nên 
Do đó : 
f) 
Bài 14.
Tìm cặp số biết:
a) c) e) 
b) d) f) 
Lời giải.
a) thuộc Ư(7) mà Ư
Ta lập được bảng giá trị sau:
-1
-7
1
7
0
-6
2
8
-7
-1
7
1
-10
-4
-2
4
Vậy: Các cặp số thỏa mãn là: (0; -10); (-6; -4); (2; -2); (8; 4)
b) và thuộc Ư(55). 
Mà Ư
Ta lập được bảng giá trị sau:
-1
-5
-11
-55
1
5
11
55
-1
-3
-6
-28
0
2
5
27
-55
-11
-5
-1
55
11
5
1
-3
-1
19
1
Vậy: Các cặp số thỏa mãn là: (-3; -3); (-6; -1); (0; 19); (27; 1)
c) 
 và thuộc Ư(16). Mà Ư
Ta lập được bảng giá trị sau: 
-1
-2
-4
-8
-16
1
2
4
8
16
1
0
-2
-6
-14
3
4
6
10
18
-16
-8
-4
-2
-1
16
8
4
2
1
-14
-6
-2
0
1
18
10
6
4
3
Vậy: Các cặp số thỏa mãn là:
(1; -14); (0; -6); (-2; -2); (-6; 0); (-14; 1); (3; 18); (4; 10); (6; 6); (10; 4); (18; 3)
d) 
 và thuộc Ư(16). Mà Ư
Ta lập được bảng giá trị sau:
-1
-2
-4
-8
-16
1
2
4
8
16
-6
-7
-9
-13
-21
-4
-3
-1
3
11
-16
-8
-4
-2
-1
16
8
4
2
1
-17
-9
-5
-3
-2
15
7
3
1
0
Vậy: Các cặp số thỏa mãn là:
(-6; -17); (-7; -9); (-9; -5); (-13; -3); (-21; -2); (-4; 15); (-3; 7); (-1; 3); (3; 1); (11; 0)
e) 
 và thuộc Ư(25). Mà Ư
Ta lập được bảng giá trị sau:
-1
-5
-25
1
5
25
1
-3
-23
3
8
27
-25
-5
-1
25
5
1
-28
-8
-4
22
5
-2
Vậy: Các cặp số thỏa mãn là: 
(1; -28); (-3; -8); (-23; -4); (3; 22); (8; 5); (27; -2)
f) 
 và thuộc Ư(13). Mà Ư
Ta lập được bảng giá trị sau:
-1
-13
1
13
0
-4
-13
-1
13
1
-14
-2
12
0
Vậy: Các cặp số thỏa mãn là: (0; -14); (-4; -2).
Bài 15.
Tìm hai số tự nhiên biết:
a) và UCLN 
b) và UCLN và có một số chia hết cho 5.
c) và UCLN và 
d) và UCLN
e) và UCLN
f) và BCNN
g) BCNN và UCLN
h) và BCNN
Lời giải.
a) Giả sử , ta có UCLN nên hai số , có dạng : , với , UCLN và .
.
Lập bảng:
1
7
5
35
3
5
15
25
Vậy: Hai số tự nhiên cần tìm là: 5 và 35; 15 và 25.
b) Giả sử , ta có UCLN nên hai số , có dạng : , với , UCLN và . 
.
Do trong hai số có một số chia hết cho 5 nên hoặc phải chia hết cho 5.
Lập bảng:
1
10
6
60
5
6
30
36
Vậy: Hai số tự nhiên cần tìm là: 6 và 60; 30 và 36.
c) Ta có và UCLN nên hai số có dạng : , với , UCLN và .
.
Do nên .
Lập bảng:
7
3
84
36
5
1
60
12
Vậy: Hai số tự nhiên cần tìm là: 84 và 37; 60 và 12.
d) Ta có và UCLN nên hai số có dạng : , với , UCLN và .
.
Vậy: Hai số tự nhiên cần tìm là: 84 và 24.
e) Giả sử và UCLN nên hai số có dạng : , với , UCLN và .
.
Lập bảng:
1
225
6
1350
9
25
54
150
Vậy: Hai số tự nhiên cần tìm là: 6 và 1350; 54 và 150.
f) Ta có: UCLN.BCNNUCLNBCNN.
Giả sử và UCLN nên hai số có dạng : , với , 
UCLN và .
.
Lập bảng:
1
3
5
15
Vậy: Hai số tự nhiên cần tìm là: 6 và 1350; 54 và 150.
g) Ta có: UCLN.BCNN
Giả sử và UCLN nên hai số có dạng : , với , 
UCLN và .
.
Lập bảng:
1
20
8
160
4
5
32
40
Vậy: Hai số tự nhiên cần tìm là: 8 và 160; 32 và 40.
h) Giả sử , gọi UCLN. Ta có với , UCLN và .
BCNN.
Mà .
Suy ra : .
Vậy: Hai số tự nhiên cần tìm là: 10 và 50.
Bài 16.
Tìm số nguyên tố sao cho:
a) và là số nguyên tố.
b) là số nguyên tố
Lời giải.
Số có các dạng: 
Nếu Khi đó:
 là số nguyên tố
 là số nguyên tố
 thỏa mãn.
Nếu Khi đó:
 là hợp số.
Nếu Khi đó:
 là hợp số.
Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Số q có các dạng: 
Nếu Khi đó:
 là số nguyên tố
 là số nguyên tố.
 là số nguyên tố.
 là số nguyên tố.
 thỏa mãn.
Nếu Khi đó:
 là hợp số.
Nếu Khi đó:
 là hợp số.
Nếu Khi đó:
 là hợp số.
Nếu . Khi đó:
 là hợp số.
Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 17.
Tìm số tự nhiên sao cho:
 b) 
Lời giải.
Vậy 
Vì mà nên ta có các trường hợp sau:
TH1: và 
 và 
 và 
TH2: và 
 và 
 và 
TH3: và 
 và 
 và 
TH4: và 
 và 
 và 
Vậy có các cặp số thỏa mãn là: 
Bài 18.
Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương:
 b) 
Lời giải.
Ta cần chứng minh công thức 
Ta có: 
Vì là số chính phương nên đặt 
Áp dụng công thức 
Vì và nên:
Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vì là số chính phương nên đặt 
Vì và nên:
Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 19.
Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức sau:
Lời giải.
Ta có: 
Vậy GTLN của biểu thức A là 300 tại x=-10. 
Ta có: 
Vậy GTLN của biểu thức B là 51 tại x=2. 
Ta có:
Vậy GTLN của biểu thức C là 2010 tại x=2 và y=4 
Ta có:
Vậy GTNN của biểu thức D là 360 tại x=-5 và y=10 
Bài 20.
Người ta muốn chia 374 quyển vở, 68 thước kẻ và 918 nhãn vở thành một số phần thưởng như nhau. Hỏi có thể chia nhiều nhất thành bao nhiêu nhất thành bao nhiêu phần thưởng? Mỗi phần thưởng có bao nhiêu quyển vở, thước kẻ và nhãn vở?
Lời giải.
Gọi số phần thưởng có thể chia nhiều nhất là a (phần thưởng, a N*)
Vì mỗi phần thưởng có số quyển vở, thước kẻ và nhãn vở là đều như nhau nên ta có:
 là UCLN(68,918,374)
 UCLN(68,918,374)=2.17=34 
Vậy số phần thưởng có thể chia nhiều nhất là 34 phần thưởng
Mỗi phần thưởng có số thước kẻ, quyển vở, nhãn vở là: 
Bài 21.
Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài 150m, chiều rộng là 120m. Người ta muốn trồng cây xung quanh vườn sao cho mỗi góc vườn có một cây và khoảng cách giữa hai cây liên tiếp bằng nhau. Tính khoảng cách lớn nhất giữa 2 cây liên tiếp, khi đó tổng số cây trồng được là bao nhiêu? (khoảng cách giữa hai cây là số tự nhiên và đơn vị tính bằng m).
Lời giải.
Gọi khoảng cách lớn nhất giữa hai cây liên tiếp là a (cây, a N*)
Vì mỗi góc vườn có một cây và khoảng cách giữa hai cây liên tiếp là bằng nhau nên ta có:
 là UCLN(150,120)
 UCLN(150,120)=2.3.5=30 
Vậy khoảng cách lớn nhất giữa hai cây liên tiếp là 30m.
Tổng số cây trồng được là: 5.4=20 (cây)
Bài 22.
Nhà trường tổ chức cho học sinh đi tham quan bảo tàng. Tính số học sinh đi tham quan biết rằng nếu xếp mỗi xe hay học sinh đều vừa đủ và số học sinh trong khoảng từ đến em.
Lời giải.
Gọi số học sinh đi tham quan là (học sinh, ; )
Theo bài ra ta có:
Ta có : 
Vì và .
Vậy số học sinh đi tham quan là học sinh.
Bài 23.
Số học sinh của một trường khi xếp hàng đều thừa học sinh. Tính số học sinh của trường đó biết số học sinh nằm trong khoảng từ đến học sinh.
Lời giải.
Gọi số học sinh của trường đó là (học sinh, ; ).
Theo bài ra ta có:
Ta có : 
Vì và .
Vậy số học sinh đi tham quan là học sinh.
Bài 24.
Một số sách khi xếp thành từng bó cuốn, cuốn, cuốn đều thừa cuốn. Tính số sách biết số sách trong khoảng từ đến cuốn.
Lời giải.
Gọi số cuốn sách có là (cuốn sách, )
Theo bài ra ta có:
Ta có : 
Vì và 
Vậy số cuốn sách có là cuốn.
Bài 25.
Một đơn vị bộ đội khi xếp hàng hoặc đều dư người. Nhưng xếp hàng thì vừa đủ. Tính số người của đơn vị đó, biết số người chưa đến .
Lời giải.
- Gọi là số người của đơn vị cần tìm.
- Vì khi xếp hàng hoặc đều dư người nên chia hết cho và ,
Do đó , hay .
- Ta có ; , suy ra .
Do đó .
Mà nên 
- Vì khi xếp hàng thì vừa đủ nên và nên .
Vậy đơn vị đó có tất cả người. 
Bài 26.
Số học sinh khối xếp thành hàng thì thừa học sinh, nếu xếp thành hàng thì thừa học sinh. Tính số học sinh khối biết rằng số học sinh trong khoảng từ đến học sinh. 
Lời giải.
- Gọi là số học sinh khối cần tìm.
- Vì khi xếp hàng thì thừa học sinh nên ,
 khi xếp hàng thì thừa học sinh nên .
Do đó , hay .
- Ta có ; , suy ra .
Do đó .
Mà nên 
- Vì nên .
Vậy khối 6 tất cả học sinh.
II. PHẦN HÌNH HỌC:
Bài 27.
Trên tia , lấy hai điểm sao cho .
a) Điểm có nằm giữa hai điểm và không ? Vì sao ?
b) Tính độ dài . 
c) Điểm có là trung điểm của không ? Vì sao ? 
Lời giải.
a) Trên tia , ta thấy và (vì ) nên điểm có nằm giữa hai điểm và . 
b) Theo câu a) vì điểm có nằm giữa hai điểm và nên ta có:
Vậy .
c) - Theo câu a) ta có điểm có nằm giữa hai điểm và . 
 - Theo câu b) ta có và nên . 
- Từ và suy ra điểm có là trung điểm của .
Bài 28.
Trên tia Ox lấy hai điểm A và B sao cho OA=3cm, OB=5cm.
a) Tính AB
b) Lấy điểm C trên tia đối của tia Ox sao cho OC=3cm. Chứng tỏ rằng O là trung điểm AC.
c) So sánh AC và OB.
Lời giải.
a) Có A, B thuộc tia Ox, OA < OB nên A nằm giữa O và B. Do đó 
b) Do hai tia OA và OC đối nhau nên O nằm giữa A và C. Mặt khác OA=OC (= 2cm) nên O là trung điểm của AC
c) Do O là trung điểm của AC nên 
Bài 29.
Cho đường thẳng xy, lấy O thuộc xy. Lấy điểm A, D trên tia Ox sao cho OA=5cm, OD=4cm. Lấy điểm B, E trên Oy sao cho OB =2cm, OE=4cm.
a) Chỉ ra các đoạn thẳng trên hình vẽ.
b) Có điểm nào là trung điểm của đoạn thẳng không?Vì sao?
Lời giải.
a) Các đoạn thẳng trên hình vẽ là 
b) Có B, E thuộc tia Oy, OB < OE nên B nằm giữa O và E (1). Do đó (2). Từ (1) và (2) suy ra B là trung điểm của OE 
Do hai tia OE và OD đối nhau nên O nằm giữa E và D. Mặt khác OE=OD (= 4cm) nên O là trung điểm của DE.
Bài 30.
Cho đoạn thăng AB=8cm. Trên tia AB lấy P, Q sao cho AP=4cm, AQ=6cm. 
a) Tính độ dài đoạn thẳng PQ,PB.
b) P có là trung điểm đoạn thẳng AB không?Vì sao?
c) Q có là trung điểm đoạn thẳng PB không?Vì sao?
Lời giải.
a) Có P, Q thuộc tia AB, AP < AQ nên P nằm giữa A và Q . Do đó .
Có P, B thuộc tia AB, AP < AB nên P nằm giữa A và B . Do đó .
b) Có P nằm giữa A và B (chứng minh trên), PA=PB (= 4 cm) suy ra P là trung điểm của AB
c) Có suy ra Q là trung điểm của PB.
Bài 31.
Trên tia Ox lấy 2 điểm A, B sao cho cm, cm. M là trung điểm của AB.
Tính AB, AM, OM.
Trên tia đối của Ox lấy điểm C sao cho O là trung điểm của AC. Tính đoạn thẳng CM.
Lời giải.
a) Vì nên A nằm giữa O và B, ta có 
 (cm)	 
M là trung điểm của AB nên ta có (cm) 
Vì A nằm giữa O và M nên ta có 
 (cm)	 
O là trung điểm của AC nên ta có (cm)
Và (cm) 
Bài 32.
Trên tia Om vẽ ba đoạn thẳng OM, ON, OP sao cho cm, cm, cm.
Tính độ dài NP.
Trong ba điểm M, N, P điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại? Vì sao?
Điểm N có là trung điểm của đoạn thẳng MP hay không? Vì sao?
Lời giải.
a) Vì ON < OP nên N nằm giữa O và P, ta có 
 (cm)	 
b) Vì nên M nằm giữa O và P, ta có 
 (cm)	 
Vì nên N nằm giữa M và P, ta có 
 (cm)	
Suy ra N là trung điểm của MP 
Bài 33.
Trên tia Ax, lấy điểm B và C sao cho cm, cm
Tính BC.
Trên tia đối của tia lấy điểm E sao cho cm. Điểm B có là trung điểm của đoạn thẳng EC không? Vì sao?
Lời giải.
a) Vì nên B nằm giữa A và C, ta có 
 (cm)	 
b) A nằm giữa E và B, ta có 
 (cm)	
 Vì B nằm giữa E và C
Và (cm) nên B là trung điểm của EC. 
Bài 34.
Trên tia Ox vẽ hai điểm M, N sao cho 
So sánh độ dài OM và MN.
Điểm M có là trung điểm của đoạn thẳng ON không ? Vì sao ?
Lời giải
Vì M, N cùng thuộc tia Ox nên M, N nằm cùng phía đối với điểm O
Mà M nằm giữa hai điểm O và N 
Vì M nằm giữa hai điểm O và N 
Thay ta có: 
Vì M nằm giữa hai điểm O và N (câu a)
Mà cm và cm và.
Suy ra M là trung điểm của đoạn thẳng ON.
Bài 35.
Vẽ đoạn Biết E là trung điểm của CD.
Tính CE.
Lấy M trên CE sao cho Điểm M có là trung điểm của CE không ?
Lời giải.
Vì E là trung điểm của CD 
Vì M nằm trên đoạn CE nên M nằm giữa hai điểm C và E
M nằm giữa hai điểm C và E 
Thay ta có: 
Suy ra M là trung điểm của CE.
Bài 36.
Trên tia Ox lấy điểm B và C sao cho Chứng minh rằng:
C là trung điểm của OB.
Tia Oy là tia đối của tia Ox. Trên tia Oy lấy điểm D sao cho So sánh DC và OB.
Điểm E thuộc tia Oy sao cho Tính OE.
Lời giải.
Hình 1
Vì B, C cùng thuộc tia Ox nên B, C nằm cùng phía đối với điểm O
Mà C nằm giữa hai điểm O và B 
Vì C nằm giữa hai điểm O và B 
Thay ta có: 
Suy ra C là trung điểm của đoạn thẳng OB
Vì mà Ox và Oy là 2 tia đối nhau O nằm giữa hai điểm C và D
O nằm giữa hai điểm C và D 
* Trường hợp 1: E nằm giữa hai điểm O và D (hình 1) 
E nằm giữa hai điểm O và D 
* Trường hợp 2: D nằm giữa hai điểm O và E (hình 2) 
Hình 2
D nằm giữa hai điểm O và E.