Đề thi giao lưu Học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Phòng Giáo dục và đào tạo Tam Dương (Có đáp án)

PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC 
ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI TOÁN 6
Năm học 2018-2019
Câu 1. (2,0 điểm) Thực hiện phép tính:
Câu 2. (2,0 điểm)
Cho 
Tính 
Tìm tất cả các số tự nhiên sao cho: là số chính phương
Câu 3. (2,0 điểm)
Tìm các số tự nhiên thỏa mãn 
Tìm 3 số nguyên tố liên tiếp sao cho cũng là số nguyên tố
Câu 4. (2,0 điểm)
	Cho Vẽ tia phân giác của vẽ tia sao cho 
Tính số đo các góc : 
Ot có phải là tia phân giác của không ? Vì sao ?
Câu 5. (2,0 điểm)
Cho và 
Chứng tỏ rằng khi biểu diễn dưới dạng các số tự nhiên thì số chữ số của và số chữ số của B là bằng nhau
Ký hiệu là tổng các chữ số của số tự nhiên 
Tìm sao cho 
ĐÁP ÁN
Câu 1.
Ta có: với 
Do đó:
Ta có:
Câu 2.
Ta có: 
Suy ra: 
Vậy 
b) Xét 
Với thì là một số tự nhiên có chữ số tận cùng là 0. Nên cộng vơi một số có tân cùng là 0 ra số tận cùng là 3 nên không phải là số chính phương
Vậy chỉ có 2 giá trị thỏa đề
Câu 3.
Ta thấy : là các số tự nhiên khác 0
Do có vai trò như nhau nên không mất tính tổng quát, giả sử
Ta có: 
Với thì Không tồn tại thỏa mãn
Với ta có: 
Do nên 
Kiểm tra các trường hợp ta thấy thì thì (thỏa mãn)
Các trường hợp còn lại của không thỏa mãn
Với 
Ta có: 
Do nên 
Kiểm tra các trường hợp của ta thấy các giá trị của đều không thỏa mãn 
Vậy các bộ số thỏa mãn đề bài là và các hoán vị của chúng.
Vì nên 
Do vậy là số nguyên tố thì phải là số lẻlà các số lẻ là các số nguyên tố lẻ
Trong ba số phải có ít nhất 1 số chia hết cho 3 vì nếu không có số nào chia hết cho 3 thì chia 3 đều dư 1, khi đó chia hết cho 3 (mâu thuẫn)(p là số nguyên tố lẻ và nhỏ nhất trong 3 số)
Kiểm tra là số nguyên tố (thỏa mãn)
Câu 4.
Tia là phân giác góc nên 
Xét hai trường hợp:
*Trường hợp 1: nằm giữa Oz và Oy
Mà và nằm giữa nên 
Vì nằm giữa và nằm giữa nên Oz nằm giữa 
*Trường hợp 2: nằm giữa 
Tia nằm giữa Oz, Ot nên 
Vì Oz nằm giữa và nằm giữa nên nằm giữa 
–Trường hợp nằm giữa Oz, Ot thì Ot không là phân giác của 
-Trường hợp Ot nằm giữa ta có: và nên là phân giác của 
Câu 5.
Giả sử số khi biểu diễn dưới dạng số tự nhiên có chữ số, ta có:
Giả sử khi số biểu diễn dưới dạng số tự nhiên thì số A có nhiều hơn n chữ số, tức là A ít nhất có chữ số, suy ra:
, do 
Điều này là vô lý vì là số lẻ, còn là số chẵn
Do đó số chữ số của không nhiều hơn số chữ số của B
Giả sử khi biểu diễn số tự nhiên n dưới dạng số thập phân, ta có:
(với là các chữ số, 
Mà 
Từ (1) và (2) suy ra 
Thử với ta có: 
(thỏa mãn)
Vậy số tự nhiên cần tìm là