Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Đề 1 (Có đáp án)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2018-2019
MÔN TOÁN LỚP 6
(Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (5,0 điểm) . Cho 
 a) Tính A.
 b) Tìm số tự nhiên n biết 
 c) Tìm số dư trong phép chia A cho 100.
Bài 2: (3,0 điểm). Tìm số tự nhiên x ,biết:
Bài 3: (5,0 điểm)
 a) Cho số chia hết cho 37. Chứng minh rằng số cũng chia hết cho 37.
 b) Tìm số x, y nguyên biết 
Bài 4 (3,0 điểm): Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho: a chia cho 2 dư 1, a chia cho 3 dư 1, a chia cho 5 dư 4, a chia cho 7 dư 3.
Bài 5: (4,0 điểm)
Cho 30 điểm phân biệt trong đó có a điểm thẳng hàng, cứ qua 2 điểm ta vẽ được 1 đường thẳng. Tìm a, biết số đường thẳng tạo thành là 421 đường thẳng.
Vẽ đoạn thẳng . Lấy hai điểm C và D nằm giữa A và B sao cho 
 a) Chứng tỏ D nằm giữa A và C.
 b) Tính độ dài đoạn thẳng CD ?
--- Hết ---
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018-2019
MÔN TOÁN LỚP 6
Bài 1: (4,0 điểm)
Đáp án
Điểm
 

 
0,25
 
0,25
Suy ra 
0,50
 Vậy 
0,25
Tìm số tự nhiên n biết 

Ta có mà nên 
0,25
Suy ra .Vậy 
0,25
c). Tìm số dư trong phép chia A cho 100.

 ( có 26 số hạng)
0,25
 
0,25
 
0,25
 
0,25
 
0,25
 
0,50
 
0,25
 Suy ra A chia cho 100 dư 24.
0,25

Bài 2: (3,0 điểm). Tìm số tự nhiên x ,biết:
Đáp án
Điểm


Với mọi x Î N ta có 2x – 1 là số lẻ
0,25
Đặt 
Þ A là tổng của các số lẻ liên tiếp từ 1 đến 2x – 1 
0,25
Số số hạng của A là: (Số hạng)
0,25
 
0,25
Mà 
0,25
 Vậy 
0,25
 

 
0,25
 
0,25
Đặt 
0,25
 Ta được 
Suy ra 
0,25
Vậy ta có 
0,25
.Vậy 
0,25

Bài 3: (5,0 điểm).
Đáp án
Điểm
a) Cho số chia hết cho 37. Chứng minh rằng số cũng chia hết cho 37.

 Ta có 
0,50
 
0,25
 
0,25
 
0,25
 Mà 
0,25
 
0,25
Vậy nếu thì 
0,25
 b) Tìm số x, y nguyên biết 

 Ta có 
0,25
 
0,25
 
0,25
 
0,25
Vì nên 
0,25
Do đó từ là các ước của -11
0,25
Các ước của -11 là -11; -1;1;11
0,25
+) Với thì Suy ra ( Thỏa mãn)
0,25
+) Với thì Suy ra ( Thỏa mãn)
0,25
+) Với thì Suy ra ( Thỏa mãn)
0,25
+) Với thì Suy ra ( Thỏa mãn)
0,25
Vậy 
0,25

Bài 4: (3,0 điểm).
Đáp án
Điểm
Vì a chia cho 2 dư 1, a chia cho 3 dư 1, a chia cho 5 dư 4, a chia cho 7 dư 3
0,25
 Nên 
 
0,25
 
0,50
 
0,25
 Mà a là số tự nhiên nhỏ nhất 
0,25
 
0,25
Mà các số 2; 3; 5; 7 nguyên tố cùng nhau
0,25
 
0,25
 
0,25
 
0,25
 Vậy số tự nhiên cần tìm là 199.
0,25

Bài 5: (4,0 điểm)
Đáp án
Điểm
– Giả sử trong 30 điểm phân biệt không có 3 điểm nào thẳng hàng :
0,25
 + Chọn một điểm bất kì trong 30 điểm đã cho. Qua điểm đó và từng điểm trong 29 điểm còn lại ta vẽ được 29 đường thẳng.
 + Làm như vậy với 30 điểm thì ta vẽ được tất cả là 29.30 đường thẳng.
0,25
 + Nhưng mỗi đường thẳng đã được tính hai lần nên số đường thẳng thực tế vẽ được là đường thẳng.

0,25
 Vậy qua 30 điểm phân biệt mà không có 3 điểm nào thẳng hàng ta vẽ được 435 đường thẳng.
 – Tương tự như trên, giả sử trong a điểm phân biệt không có 3 điểm nào thẳng hàng ta vẽ được đường thẳng.
0,25
Nhưng qua a điểm thẳng hàng ta chỉ vẽ được một đường thẳng nên số đường thẳng bị giảm đi là đường thẳng.
0,25
Theo bài ra ta có : 
0,25
 
0,25
Vì a-1 và a là hai số tự nhiên liên tiếp và nên 
0,25
2. Hình vẽ :


a) Chứng tỏ D nằm giữa A và C.

 Vì D nằm giữa A và B nên: 
0,25
 Thay ta có .
0,25
 Lại có hay 
0,25
 Trên tia AB có : suy ra D nằm giữa A và C
0,25
 b) Tính độ dài đoạn thẳng CD ?

 Vì D nằm giữa A và C suy ra 
0,25
Lại có , suy ra 
0,25
 Hay 
0,25
Thay , ta có . Vậy 
0,25

Chú ý: Học sinh giải theo cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tương ứng với từng câu, từng bài theo hướng dẫn trên./.
 ------------ Hết -------------------