20 Chuyên đề ôn thi học sinh giỏi môn Toán Khối 6

CHUYÊN ĐỀ .CHỮ SỐ TẬN CÙNG
A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Tìm 1 chữ số tận cùng
Tính chất 1: 
a) Các số có chữ số tận cùng là khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. 
b) Các số có chữ số tận cùng là khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. 
c) Các số có chữ số tận cùng là khi nâng lên lũy thừa bậc thì chữ số tận cùng là. 
d) Các số có chữ số tận cùng là khi nâng lên lũy thừa bậc thì chữ số tận cùng là. 
Chú ý: Muốn tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên , trước hết ta xác định chữ số tận cùng của :
- Nếu chữ số tận cùng của là thì cũng có chữ số tận cùng là . 
- Nếu chữ số tận cùng của là:
Phân tích: với 
Từ tính chất 1c chữ số tận cùng của chính là chữ số tận cùng của . 
- Nếu chữ số tận cùng của là : cũng như trường hợp trên
Từ tính chất 1d chữ số tận cùng của chính là chữ số tận cùng của . 
Tính chất 2:
Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. 
Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa được xác định bằng cách tính tổng các chữ số tận cùng của từng lũy thừa trong tổng. 
Tính chất 3:
a) Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc sẽ có chữ số tận cùng là 7; số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc sẽ có chữ số tận cùng là 3. 
b) Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc sẽ có chữ số tận cùng là 8; số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc sẽ có chữ số tận cùng là 2. 
c) Các số có chữ số tận cùng là khi nâng lên lũy thừa bậc sẽ không thay đổi chữ số tận cùng. 
Tính chất 4: 
	Nếu và thì chia hết cho 125. 
Chứng minh: 
Do chia hết cho 25 nên khi chia cho 25 có cùng số dư là 1
 chia hết cho 5. 
Vậy chia hết cho 125. 
* Phương pháp dùng cấu tạo số để tìm chữ số tận cùng của số với .
- Giả sử . Khi đó, với 
Suy ra, chữ số cuối cùng của chính là chữ số cuối cùng của số .
- Nếu thì là hai chữ số cuối cùng của .
- Nếu thì là ba chữ số cuối cùng của .
- Nếu thì là chữ số cuối cùng của .
2. Tìm hai chữ số tận cùng
Việc tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên chính là việc tìm số dư của phép chia cho 100.
Phương pháp tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên :
Trước hết, ta có nhận xét sau:
Mà: với ,
 với .
Suy ra kết quả sau với 
 nếu ,
 nếu ,
 nếu ,
 nếu .
Vậy để tìm hai chữ số tận cùng của ta lấy số mũ chia cho .
Một số trường hợp cụ thể về 2 chữ số tận cùng	
	- Các số có tận cùng bằng nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 
	- Các số (hoặc ); có tận cùng bằng .
	- Các số có tận cùng bằng .
	- Số có tận cùng bằng .
- Các số có chữ số tận cùng là khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì khác 0 thì hai chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. (1)
- Các số có chữ số tận cùng là 01. (2)
- Các số có chữ số tận cùng là 76. (3)
- Số có chữ số tận cùng là 76. (4)
Như vậy, muốn tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên , trước hết ta xác định chữ số tận cùng của a.
CHÚ Ý:
- có 2 chữ số tận cùng là 76.
- có 2 chữ số tận cùng là 25.
- có 2 chữ số tận cùng là 76.
- có 2 chữ số tận cùng là 01.
3. Tìm ba chữ số tận cùng trở lên
Việc tìm ba chữ số tận cùng của số tự nhiên chính là việc tìm số dư của phép chia cho 1000. 
Giả sử với , khi đó: .
Giả sử: , 
Ta có: 
Vậy 3 chữ số tận cùng của cũng chính là 3 chữ số tận cùng của 
Dùng quy nạp với mọi , ta có:
,
.
- Nếu thì 
- Nếu thì 
- Nếu ta có tương ứng: 
- Nếu thì .
Ta có: nên (Định lí Euler).
Giả sử 3 chữ số tận cùng của là ta có:
 và 
Trong các số (các số có 3 chữ số chia cho 125 dư 1) chỉ có duy nhất một số chia hết cho 8 là 376. Vậy 
Do đó ta có kết quả sau:
 nếu 
 nếu 
 nếu 
 nếu 
Vậy để tìm ba chữ số tận cùng của ta tìm 2 chữ số tận cùng của số mũ .
Một số trường hợp cụ thể về 3 chữ số tận cùng
v	Các số có tận cùng bằng nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng .
v	Các số có tận cùng bằng 0625 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 0625.
II. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1:	 Tìm 1 chữ số tận cùng
Ví dụ 1.1:	 Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
Phân tích:
- Ta biết rằng các số tận cùng là khi nâng lên lũy thừa 4n đều cho tận cùng là .
Còn các số tận cùng là khi nâng lên lũy thừa 4n đều cho tận cùng là 1.
- Để đưa về lũy thừa thì em cần viết số mũ dưới dạng công thức của phép chia có dư với số chia là .
- Để tìm chữ số tận cùng của mỗi lũy thừa trên ta chỉ cần tìm chữ số tận cùng của hàng đơn vị.
Lời giải
a) Để tìm chữ số tận cùng của ta tìm chữ số tận cùng của 
Ta xét , ta có 
Vậy có chữ số tận cùng là .
b) Để tìm chữ số tận cùng của ta tìm chữ số tận cùng của 
Ta xét, ta có 
Vậy có tận cùng là .
c) Chữ số tận cùng của cũng là chữ số tận cùng của 
Ta có 
Vậy chữ số tận cùng của là .
d) Chữ số tận cùng của cũng là chữ số tận cùng của 
Ta có 
Vậy chữ số tận cùng của là .
Bình luận:
Với phần d) ta có thể giải như sau:
Vì chữ số tận cùng là mà khi nâng lên lũy thừa chẵn sẽ ra tận cùng là 1, do vậy có tận cùng là .
Với cách giải này ta hoàn toàn có thể mở rộng số cho phần d), chẳng hạn số , , 
Ví dụ 1.2:	 Tìm chữ số tận cùng của 
Phân tích:
Để tìm được chữ số tận cùng của số trên ta phải đưa về số có tận cùng là hoặc .
Lời giải
Ta thấy , số tận cùng bằng nâng lên bậc lũy thừa nào cũng có chữ số tận cùng bằng nên ta phân tích .
Vậy số có chữ số tận cùng bằng .
Ví dụ 1.3:	 Tìm chữ số tận cùng của các số sau
Phân tích:
Trong bài này ta không thể viết ngay số mũ ở dạng , để cho dễ biểu diễn ta dùng đồng dư thức để tìm dư của phép chia số mũ cho .
Lời giải
a) Trước hết ta tìm số dư của phép chia khi chia cho .
Ta có 
Suy ra, 
Vậy có tận cùng là .
Nhận xét: Trong phần này rõ ràng dựa vào nhận xét ‘Số có tận cùng là khi nâng lên lũy thừa bất kỳ luôn có tận cùng là ’ thì lời giải rất đơn giản.
b) Tương tự, ta tìm số dư khi chia số mũ của cho . 
Ta có 
Do đó 
Vậy có tận cùng là .
c) Trước hết ta tìm số dư trong phép chia khi chia cho . 
Ta có 
Suy ra 
Mà là số lẻ nên 
Từ đó ta có 
Vậy có tận cùng là .
Bình luận:
Với bài toán ở dạng lũy thừa tầng thì ta luôn chú ý tìm cách viết số mũ dưới dạng công thức của phép chia có dư với số chia là . Tuy nhiên, nếu tận cùng là một trong các số đặc biệt như: thì ta nhận xét ngay mà không cần quan tâm đến giá trị của số mũ. Còn nếu tận cùng là hoặc thì ta có thể xem xét tính chẵn lẻ của số mũ để suy ra kết quả.
Ví dụ 1.4:	 Tìm chữ số tận cùng của 
Lời giải
a) Ta có: nên số này có số tận cùng bằng . 
	 nên số này có số tận cùng bằng . 
	Vậy số có chữ số tận cùng bằng 
b) Ta có: nên số này có số tận cùng bằng . 
	 nên số này có số tận cùng bằng . 
	Vậy số có chữ số tận cùng bằng .
Ví dụ 1.5:	 Tìm chữ số tận cùng của các tích sau:
Phân tích:
Để tìm chữ số tận cùng của tích ta có thể tìm chữ số tận cùng của từng thừa số hoặc nhóm các thừa số.
Lời giải
a) Ta thấy có tận cùng là , mà số tận cùng là nâng lên lũy thừa bao nhiêu vẫn tận cùng là . Do đó, có tận cùng là .
Có 
Suy ra 
Vậy tích có tận cùng là .
Khai thác: - Vì tích có tận cùng là nên ta có thể yêu cầu khác như sau:
Chứng minh rằng số là số tự nhiên.
- Nếu để ý đến công thức lũy thừa của một tích ta có thể làm như sau:
b) Ta biết rằng tích của với bất kỳ số lẻ nào cũng có tận cùng là , do đó tích sẽ có tận cùng là . Mặt khác, số có tận cùng là khi nâng lên lũy thừa bất kỳ vẫn tận cùng là . Vậy có tận cùng là .
Khai thác: Ta biết rằng tích của hai số tự nhiên liên tiếp sẽ có tận cùng là trong các số sau: do đó, ta có thể ra bài toán như sau:
Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho:
c) Đặt . Số thừa số của tích này là: (số hạng) (1)
Ta thấy tích thừa số có tận cùng là sẽ có tận cùng là . Vì có thừa số ta kết hợp được nhóm mỗi nhóm có thừa số, tích mỗi nhóm này có chữ số tận cùng là . Do đó kết quả của tích A 
có chữ số tận cùng là . Mà số có tận cùng là nâng lên lũy thừa bất kỳ sẽ có tận cùng là , suy ra sẽ có tận cùng là .
Vậy lũy thừa của tích có tận cùng là .
Khai thác: - Ta để ý, chữ số tận cùng của A cũng là chữ số tận cùng của ( thừa số), do đó ta có thể quy về việc tìm chữ số tận cùng của 
- Ta có mở rộng bài toán bằng cách cho tăng số lượng các thừa số của tích.
- Hoàn toàn tương tự, ta cũng có thể thay đổi chữ số tận cùng của mỗi thừa số trong tích bởi một chữ số khác.
Chẳng hạn, tìm chữ số tận cùng của các số sau:
d) Ta để ý rằng các nhóm đều có tận cùng giống nhau, nên ta đi tìm chữ số tận cùng của nhóm. 
Ta có 
Có số nhóm là: (nhóm)
Suy ra 
Vậy nên có tận cùng là .
Khai thác: Ta thấy tất cả các thừa số của tích đều không chia hết cho , nên ta có thể thay đổi cách phát biểu bài toán như sau:
Cho số , sau khi gạch bỏ tất cả các số chia hết cho của A, ta được số B. Tìm chữ số tận cùng của .
- Bài toán trên có thể thay đổi các thừa số lẻ bằng các thừa số chẵn, chẳng hạn: Tìm chữ số tận cùng của số 
Ví dụ 1.6:	 Tìm chữ số tận cùng của các tổng sau:
Phân tích:
Trong dạng bài này ta phải tìm được quy luật của tổng, quy luật ở đây chính là số mũ của các số hạng trong S, các số mũ này đều chia dư . Mà ta biết các số khi nâng lên lũy thừa dạng sẽ có tận cùng không đổi.
Lời giải:
Nhận xét: Mọi lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho thì dư (các lũy thừa đều có dạng , thuộc )
Theo tính chất, suy ra mọi lũy thừa trong S và các cơ số tương ứng đều có chữ số tận cùng giống nhau, bằng chữ số tận cùng của tổng:
.
Vậy chữ số tận cùng của tổng S là .
Tổng quát hóa:
Tìm chữ số tận cùng của tổng sau:
Ví dụ 1.7:	 Tìm chữ số tận cùng của tổng 
Lời giải:
Nhận xét: Mọi lũy thừa trong T đều có số mũ khi chia cho thì dư (các lũy thừa đều có dạng , thuộc )
Theo quy tắc thì có chữ số tận cùng là ; có chữ số tận cùng là ; có chữ số tận cùng là ;
Như vậy, tổng T có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng: 
Vậy chữ số tận cùng của tổng T là 
Tương tự hóa: 
Tìm chữ số tận cùng của 
Ví dụ 1.8:	 Tìm số dư của phép chia:
a) cho 
b) cho 
Lời giải:
a) Nhận xét: Mọi lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho thì dư (các lũy thừa đều có dạng , thuộc )
Theo quy tắc 2, Chữ số tận cùng của tổng Q các lũy thừa bằng cách tính tổng các chữ số tận cùng của từng lũy thừa trong tổng S.
Mọi lũy thừa trong Q và các cơ số tương ứng đều có chữ số tận cùng giống nhau, bằng chữ số tận cùng của tổng:
Vậy chữ số tận cùng của tổng Q là nên chia không có dư.
b) Nhận xét: Mọi lũy thừa trong R đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 3 (các lũy thừa đều có dạng , thuộc )
Theo quy tắc 3 thì có chữ số tận cùng là ; có chữ số tận cùng là ; có chữ số tận cùng là 
Như vậy, tổng R có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng: 
Vậy chữ số tận cùng của tổng R là nên chia không có dư.
Ví dụ 1.9:	 Cho được viết bởi các số tự nhiên liên tiếp và có chữ số. Số có chữ số tận cùng là chữ số nào?
Phân tích: 
Trước hết ta phải tìm được chữ số tận cùng của H, muốn vậy ta phải tính xem với chữ số thì chữ số cuối cùng được viết là chữ số nào. Ta dựa vào bài toán ngược của bài toán “Đánh số trang sách”.
Lời giải:
Ta có từ đến có số, mỗi số gồm chữ số.
Từ đến có số, mỗi số gồm chữ số nên khi viết chúng liên tiếp ta có (chữ số).
Mà nên chữ số tận cùng của H phải ở số có hai chữ số.
Số chữ số của các số có chữ số viết ở H là: (chữ số)
Số các số có chữ số viết viết ở H là 
Số thứ kể từ có chữ số là: 
suy ra chữ số tận cùng của H là chữ số (là chữ số hàng đơn vị của số ). 
Mặt khác, có tận cùng là . Vậy chữ số tận cùng của là chữ số .
Tổng quát hóa: 
Bài toán có thể mở rộng cho số các chữ số của số đã cho.
Cho được viết bởi các số tự nhiên liên tiếp và có chữ số (). Số có chữ số tận cùng là chữ số nào? 
Với mỗi giá trị của ta được một bài toán mới.
Ví dụ 1.10: Tìm số tự nhiên x thỏa mãn với A là số tự nhiên khác .
Phân tích:
 Rõ ràng ta không thể tính được giá trị vế phải, để ý rằng x chính là chữ số tận cùng của biểu thức nên ta suy nghĩ theo hướng tìm chữ số tận cùng của vế phải.
Lời giải
Ta biết rằng, số có tận cùng là (hoặc ) khi nâng lên lũy thừa chẵn cho tận cùng là (hoặc ), còn khi nâng lên lũy thừa lẻ sẽ tận cùng không đổi.
Do đó, chữ số tận cùng của là , chữ số tận cùng của là 
Mặt khác, 
suy ra chữ số tận cùng của là . 
Do vậy, chữ số tận cùng của vế phải giống chữ số tận cùng của , tức là .
Ta thấy có tận cùng là nên có tận cùng bằng tận cùng của 
Vì không có số nào lũy thừa bậc lên để có tận cùng là , nên không tìm được thỏa mãn.
Vậy không có thỏa mãn.
Bình luận:
Việc phát hiện ra là chữ số tận cùng của biểu thức trong ngoặc là mấu chốt để giải bài toán.
Tổng quát hóa:
Vì không có số nào lũy thừa với số mũ khác hoặc lại có tận cùng là , nên ta có thể tổng quát bài toán như sau:
Với mỗi số tự nhiên , hãy tìm số tự nhiên thỏa mãn:
a) với A là số tự nhiên khác .
b) với A là số tự nhiên khác .
Ví dụ 1.11:	Chứng minh không phải là số chính phương với mọi là số nguyên dương.
Lời giải
Ta có nên số này có số tận cùng bằng 
 nên số này có số tận cùng bằng 
 nên số này có số tận cùng bằng 
 số này có số tận cùng bằng 
Suy ra số có chữ số tận cùng bằng , mà số chính phương không có chữ số tận cùng bằng .
Vậy số không là số chính phương.
Ví dụ 1.12:	Tồn tại hay không số tự nhiên n sao cho chia hết cho 
Lời giải:
 tận cùng bởi chữ số nên chia hết cho . Vì vậy, ta đặt vấn đề là liệu có chia hết cho không?
Ta có là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chữ số tận cùng của chỉ có thể là Þ chỉ có thể tận cùng là Þ không chia hết cho . 
Vậy không tồn tại số tự nhiên n sao cho chia hết cho 
Sử dụng tính chất: “ một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số ”, ta có thể giải được bài toán sau:
Ví dụ 1.13:	Cho là số nguyên tố lớn hơn . Chứng minh rằng chia hết cho .
Lời giải:
Theo tính chất trên, ta có là số nguyên tố lớn hơn vậy chữ số tận cùng của là các chữ số , các lũy thừa của có dạng Þ Chữ số tận cùng của là .
Vậy chữ số tận cùng của là 0 nên chia hết cho (dpcm).
Dạng 2: Tìm hai chữ số tận cùng
Ví dụ 2.1:	 Tìm hai số tận cùng của 
Lời giải
Chú ý rằng: bình phương của số có tận cùng bằng 24 thì tận cùng bằng 76, số có tận cùng bằng 76 thì nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 76. 
Do đó 
Vậy hai chữ số tận cùng của là 76.
Ví dụ 2.2:	 Tìm hai chữ số tận cùng của 
Lời giải
Ta thấy: số có tận cùng bằng 01 nâng lên lũy thừa nào cũng tận cùng bằng 01. 
Do đó: 
Vậy có hai chữ số tận cùng là 43.
Bài toán tương tự
Tìm hai chữ số tận cùng của:
	a) 	b) 	c) 	d) 
Hướng dẫn:
a) .
b) .
c).
d) 
.
Ví dụ 2.3:	 Tìm 2 chữ số tận cùng của 
Lời giải
Ta thấy:
Chữ số tận cùng của cũng là chữ số tận cùng của mà 
Chữ số tận cùng của cũng là chữ số tận cùng của mà 
Suy ra: 
Vậy có 2 chữ số tận cùng là 00.
Ví dụ 2.4:	 Tìm hai chữ số tận cùng của số 
Lời giải
Ta có: suy ra 
Ta lại có suy ra 
Do đóchữ số tận cùng là nhưng 
Suy ratận cùng là 76 tận cùng là 38 hoặc 88 vì 
Vậy tận cùng là 88
Vậy có hai chữ số tận cùng là 88.
Ví dụ 2.5:	 Tìm hai chữ số tận cùng của các tổng 
a)
b) 
Phân tích:
Trong bài tập này ta sử dụng tính chất sau:
Nếu và thì . (*)
Lời giải
a) Dễ thấy, nếu a chẵn thì chia hết cho 4 ; nếu a lẻ thì chia hết cho 4 ; nếu a chia hết cho 5 thì chia hết cho 25. 
Mặt khác, từ tính chất (*) ta suy ra với mọi và ta có 
Vậy với mọi ta có . 
Do đó 
Nên hai chữ số tận cùng của tổng S1 cũng chính là hai chữ số tận cùng của tổng 
Ta có: 
, tận cùng là 30. 
Vậy hai chữ số tận cùng của tổng S1 là 30. 
b) Hoàn toàn tương tự như câu a, 
Nên hai chữ số tận cùng của tổng S2 cũng chính là hai chữ số tận cùng của tổng
Áp dụng công thức: 
, tận cùng là 00. 
Vậy hai chữ số tận cùng của tổng S2 là 00.
Ví dụ 2.6:	 Tìm 2 chữ số tận cùng của 
Lời giải
Do 4 là số chẵn nên ta tìm số nhỏ nhất để . Ta tìm được thỏa mãn.
Mặt khác 
Nên 
Vậy chữ số tận cùng của là 56.
Ví dụ 2.7:	 Tìm 2 chữ số tận cùng của 
Lời giải
Ta có nên . Khi đó theo quy tắc (1) chữ số tận cùng của là 01.
Ví dụ 2.8:	 Tìm 2 chữ số tận cùng của	a) 	b) 
Lời giải
a) Ta có: nên 
Chữ số tận cùng của là 43.
b) ta có 
Bình luận:
Ở ví dụ này ta đã áp dụng tính chất:
Nếu A có 2 chữ số tận cùng là và B có 2 chữ số tận cùng làthì 2 chữ số tận cùng của A.B là 2 chữ số tận cùng của tích và 
Ví dụ 2.9:	 Tìm 2 chữ số tận cùng của
a) 	b) 
Phân tích:
+ Ta thấy 2 chữ số tận cùng của cũng là 2 chữ số tận cùng của 
+ tương tự ta thấy 2 chữ số tận cùng của cũng là 2 chữ số tận cùng của .
Lời giải
a)Ta có: mà:
Vậy 2 chữ số tận cùng của là 92.
b) ta có: .
Mà
Vậy 2 chữ số tận cùng của là 96.
Dạng 3: Tìm ba chữ số tận cùng
Ví dụ 3.1:	 Tìm 3 chữ số tận cùng của 
Phân tích: 
Nhận thấy rằng nên ta sẽ áp dụng tính chất 4, khi đó chia hết cho 125.
Lời giải:
+ Vì nên áp dụng tính chất ta có chia hết cho 125.	(1)
+ Ta lại có chia hết cho 8 (2)
Vì (8;125)=1 và kết hợp (1),(2) ta có chia hết cho 1000
Khi đó 
Vậy 3 chữ số tận cùng của là 123
Ví dụ 3.2:	 Tìm 3 chữ số tận cùng của 
Phân tích:
Cách 1: Ta dễ dàng chứng minh được chia hết cho 8, khi đó ta sẽ tìm 3 chữ số tận cùng bằng cách gián tiếp: tìm dư phép chia số đó cho 125 từ đó suy ra các khả năng 3 chữ số tận cùng , cuối cùng kiểm tra điều kiện chia hết cho 8
+ Ta có nên suy ra chia hết cho 8
+ Ta lại có (2014,5) = 1 nên => 
Hay ( chia hết cho 125 khi đó số có các khả năng 3 chữ số tận cùng là 126;251;376;501;626;751;876
Vì chia hết cho 8 nên số đó có chữ số tận cùng là 376
Cách 2. 
Ta thấy 
Vậy số đó có chữ số tận cùng là 376
Từ bài toán trên ta có bài toán tổng quát:
Cho A là một số chẵn không chia hết cho 10. Tìm 3 chữ số tận cùng của 
Phân tích: 
Vì A là một số chẵn không chia hết cho 10 nên (A,5)=1. Khi đó ta áp dụng tính chất ta có chia hết cho 125.
Lời giải:
+ Do A là một số chẵn nên (với n và (n;5)=1)
Suy ra chia hết cho 8 	(1)
+ Vì A là một số chẵn không chia hết cho 10 nên (A,5)=1. Khi đó áp dụng tính chất ta có => 
Hay ( chia hết cho 125 khi đó số có các khả năng 3 chữ số tận cùng là 126;251;376;501;626;751;876
Vì chia hết cho 8 nên số đó có chữ số tận cùng là 376
Bình luận:
Bài toán tổng quát này cũng có thể coi là phần chứng minh ý (4) trong phần chú ý
Ví dụ 3.3:	 Tìm 3 chữ số tận cùng của 
Lời giải
- Tìm 2 chữ số tận cùng của 
Ta có 
- Khi đó ta có 
Vậy 3 chữ số tận cùng là 912
Ví dụ 3.4:	 Tìm 3 chữ số tận cùng của 
Lời giải
Ta có 
Khi đó 1.
Vậy 3 chữ số tận cùng của là 187
Ví dụ 3.5:	 Cho (a, 10) = 1. Chứng minh rằng ba chữ số tận cùng của a101 cũng bằng ba chữ số tận cùng của a. 
Phân tích:
Để chứng minh ba chữ số tận cùng của a101 cũng bằng ba chữ số tận cùng của a thì ta cần đưa ra dạng a101 = 100k + a.
Ta thấy (a,10)=1 thì a chỉ có thể là các số lẻ tận cùng khác 5
Lời giải.
+ Do (a,10)=1 nên khi đó ta có 
Áp dụng chú ý phần (2) ta có 
Ta xét => (với k)
Điều này có nghĩa ba chữ số tận cùng của a101 cũng bằng ba chữ số tận cùng của a. (đpcm)
Ví dụ 3.6:	 Tìm ba chữ số tận cùng của 
Lời giải
Vậy bốn chữ số tận cùng của là 
Ví dụ 3.7:	 Tìm ba chữ số tận cùng của số