Bài tập ôn tập môn Toán Lớp 6 - Chủ đề: Tính tổng dãy số có quy luật

 CHỦ ĐỀ: TÍNH TỔNG DÃY SỐ CÓ QUY LUẬT
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
- Xác định được dãy số đã cho là dãy số cách đều: bằng cách so sánh khoảng cách 
giữa hai số hạng liên tiếp có bằng nhau hay không.
Số số hạng của tổng là: n an a1 : d 1.
 với a1 là số hạng thứ nhất; an là số hạng thứ n ; d là khoảng cách hai số hạng liên 
tiếp.
Tổng của dãy: S n a1 an : 2 .
Số hạng thứ n của dãy là an a1 n 1 d .
II. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1: TÍNH TỔNG
Phương pháp giải chung (nếu có): 
☑￿ Xác định dãy số cách đều.
☑￿ Tính số số hạng của dãy.
☑￿ Tính tổng của dãy.
BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 1: Tính tổng A 1 2 3 4 ... 2021 2022 .
 Phân tích
Khoảng cách hai số hạng liên tiếp của dãy là 1 , số hạng đầu của dãy là 1, số hạng 
cuối của dãy là 2022 .
Suy ra A là dãy số cách đều.
 Lời giải
 2022 1 
 1 2022
Số số hạng của dãy là 1 ( số hạng).
 1 2022 .2022
 S 2045253
Tổng 2 .
 Lời bình
Tính tổng S 1 2 3 ... n(n ¥ ;n 1) .
 n 1 
 n 1
Số số hạng của dãy là 1 . n 1 n
 S 
Tổng 1 2 .
 Ví dụ 2: Tính tổng B 2 4 6 ... 2020 2022 .
 Phân tích
Khoảng cách hai số hạng liên tiếp của dãy là 2 , số hạng đầu của dãy là 2, số hạng 
cuối của dãy là 2022 .
Suy ra B là dãy số cách đều.
 Lời giải
 2022 2 
 1 1011
Số số hạng của dãy là 2 ( số hạng).
 2 2022 .1011
 S 1023132
Tổng 2 .
 Lời bình
Tổng các số tự nhiên chẵn liên tiếp đầu tiên :
 S2 2 4 6 ... 2n(n ¥ ;n 1) .
 n(n 1) .
Ví dụ 3: Tính tổng C 1 3 5 ... 2019 2021.
 Phân tích
Khoảng cách hai số hạng liên tiếp của dãy là 2 , số hạng đầu của dãy là 1, số hạng 
cuối của dãy là 2021.
Suy ra C là dãy số cách đều.
 Lời giải
 2021 1 
 1 1011
Số số hạng của dãy là 2 ( số hạng).
 1 2021 .1011
 S 1022121
Tổng 2 .
 Lời bình
Tổng các số tự nhiên lẻ liên tiếp đầu tiên :
 S3 1 3 5 ... (2n 1) (2n 1)(n ¥ ;n 1) . [(2n 1) 1].n
 n.n n2
 2 .
Tổng n(n 1) các số tự nhiên lẻ liên tiếp đầu tiên luôn là số chính phương.
Ví dụ 4: Tính tổng D 5 9 13 17 ... 2021 2025 .
 Phân tích
Khoảng cách hai số hạng liên tiếp của dãy là 4, số hạng đầu của dãy là 5 , số hạng 
cuối của dãy là 2025 .
Suy ra D là dãy số cách đều.
 Lời giải
 2025 5 
 1 506
Số số hạng của dãy là 4 ( số hạng).
 5 2025 .506
 S 513590
Tổng 2 .
Ví dụ 6: Tính tổng tất cả các số tự nhiên có hai chữ số.
 Phân tích
Khoảng cách hai số hạng liên tiếp của dãy là 1 , số hạng đầu của dãy là 10, số 
hạng cuối của dãy là 99.
Suy ra ta có tổng: F 10 11 12 ... 98 99 .
 Lời giải
 99 10 
 1 90
Số số hạng của dãy là 1 ( số hạng).
 10 99 .90
 F 4905
Tổng 2 .
Ví dụ 7: Tính tổng G 10,11 11,12 12,13 ... 98,99 100 .
 Phân tích
Khoảng cách hai số hạng liên tiếp của dãy là 1,01 , số hạng đầu của dãy là 10,11, 
số hạng cuối của dãy là 100.
 Lời giải
 100 10,11 
 1 90
Số số hạng của dãy là 1,01 ( số hạng). 10,11 100 .90
 S 4954,95
Tổng 2 .
Ví dụ 8: Tính tổng H 1 2 3 4 5 6 7 8... 2013 2014 2015 2016.
 Phân tích
Tổng H có 2016 số hạng, tổng của 4 số hạng liên tiếp từ trái sang phải đều bằng 4, 
mà ta 2016 : 4 504 nhóm số.
 Lời giải
 H ( 1 2 3 4) ( 5 6 7 8)... ( 2013 2014 2015 2016)
 4 4 ... 4 ( tổng có 504 số 4).
 4.506 2016 .
✔￿BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Tính các tổng sau
 a) A 1 2 3 4 ... 100 .
 b) B 11 12 13 ... 70 .
 c) C 11 13 15 ... 85.
 d) D 32 34 36 ... 96 .
Hướng dẫn
 (100 1).100
 A 5050
 a) 2 .
 (70 11).60
 B 2430
 b) 2 .
 (85 11).38
 C 1824
 c) 2 .
 (96 32).33
 D 2112
 d) 2 .
Bài 2. Tính các tổng sau
 a) A 5 6 7 ... 2019.
 b) B 1 4 7 ... 2008 .
 c) C 10 14 18 ... 2006.
 d) D 111 116 121 ... 2111.
Hướng dẫn (2019 5).2015
 A 2039180
 a) 2 .
 (2008 1).670
 B 673015
 b) 2 .
 (2006 10).500
 C 504000
 c) 2 .
 (2111 111).401
 D 445511
 d) 2 .
Bài 3. 
 a) Tính tổng các số tự nhiên lẻ có hai chữ số.
 b) Tính tổng các số tự nhiên chẵn có hai chữ số.
 c) Tính tổng các số tự nhiên có ba chữ số.
 d) Tính tổng các số tự nhiên có bốn chữ số.
Hướng dẫn
 a) A 11 13 15 ... 99 
 (99 11).45
 A 2475
 2 .
 b) B 10 12 14 ... 98 
 (98 10).45
 B 2430
 2 .
 c) C 100 101 102 ... 999
 (999 100).900
 C 494550
 2 .
 d) D 1001 1001 1002 ... 9999
 (9999 1001).4500
 D 24750000
 2 .
Bài 4 Tính các tổng sau
 a) A 1,1 2,1 3,1 ... 99,1.
 b) B 11,2 12,3 13,4 ... 60,7 .
 c) C 5,1 6,3 7,5 ... 90,3.
 d) D 101,32 103,45 105,58 ... 184,39 .
Hướng dẫn
 (99,1 1,1).99
 A 4959,2
 a) 2 .
 (60,7 11,2).46
 B 1653,7
 b) 2 . (90,3 5,1).71
 C 3386,7
 c) 2 .
 (184,39 101,32).40
 D 5714,2
 d) 2 .
Bài 5. Tính các tổng sau:
 a) A 1 2 3 4 5 6 7 8 ... 2013 2014 2015 2016 .
 b) B 1 2 3 4 5 6 7 8 ... 993 994 995 996 997 998 .
 c) C 1 2 3 4 5 6 7 8 ... 298 299 300 301 302 .
 d) D 1 5 9 13 17 21 25 ... 2001 2005 2009 2013 .
Hướng dẫn
 a) A (1 2 3 4) (5 6 7 8) ... (2013 2014 2015 2016) .
 ( 4) ( 4) ... ( 4) .( có 2016 : 4 504 số 4 ).
 ( 4).504 2016 .
 b) 
 Cách 1:
 B (1 2 3 4) (5 6 7 8) ... (993 994 995 996) 997 998.
 ( 4) ( 4) ... ( 4) (997 998) 999 .
 Cách 2: 
 B 1 (2 3 4 5) (6 7 8 9)... (994 995 996 997) 998
 1 0 0 ... 0 998 999.
 c) Tương tự câu b.
 d) D (1 5 9 13) (17 21 25 29)... (2001 2005 2009 2013) 0 .
Bài 6. Tính các tổng sau:
 a) A 1 2 3 4 ... 2021 2022 .
 b) B 2020 2019 2018 2017 ... 4 3 2 1.
 c) C 1 3 5 7 9 ... 2019 2021 2023.
 d) D 2 4 6 8 ... 2018 2020 2022 .
Hướng dẫn
 a) 
 Cách 1:
 A (1 3 5 7 ... 2021) (2 4 6 ... 2022) .
 (2021 1).1011 (2022 2).1011
 1011
 2 2 . Cách 2: 
 A (1 2) (3 4) ... (2021 2022) ( 1) ( 1) ...( 1) 1011.
b) Tương tự câu a .
 B (2020 2019) (2018 2017) ... (4 3) (2 1) 1010 .
c) C ( 1 3) ( 5 7) ( 9 11) ... ( 2021 2023) 1012 .
d) D (2 4) (6 8) ... (2018 2020) 2022 1012