Bộ đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Phần 5

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN
Môn: Toán – Lớp 6
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ 1
Bài 1: ( 2.5 điểm) 
a. Cho là số có sáu chữ số. Chứng tỏ số là bội của 3.
b. Cho S = 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 + 52004. Chứng minh S chia hết cho 126 và chia hết cho 65.
Bài 2 : (2,0 điểm) 
Tìm số tự nhiên x biết :
 a. 
 b. 
Câu 3: (2.0 điểm)
a. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p + 11 cũng là số nguyên tố.
b. Tìm tất cả các số nguyên tố p để p + 8, p + 10 cũng là các số nguyên tố.
C©u 4 : ( 1.5 ®iÓm) 
Mét phÐp chia cã th­¬ng b»ng 5 vµ sè d­ lµ 12. NÕu lÊy sè bÞ chia chia cho tæng sè chia vµ sè d­ ta ®­îc th­¬ng lµ 3 vµ sè d­ lµ 18. T×m sè bÞ chia.
Câu 5: (2.0 điểm)
	Trên đoạn thẳng AB = 3 cm lấy điểm M. Trên tia đối của tia AB lấy điểm N sao cho AM = AN. 
a. Tính độ dài đoạn thẳng BN khi BM = 1 cm.
b. Hãy xác định vị trí của M (trên đoạn thẳng AB) để BN có độ dài lớn nhất.
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN
Môn: Toán – Lớp 6
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 1
Bài 1: ( 2.5 điểm) 
- = .10000 + .100 + = 10101.
0,50
- Do 10101 chia hết cho 3 nên chia hết cho 3 hay là bội của 3.
0,50
Có: 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 = 5(1 + 53) + 52(1 + 53) + 53(1 + 53) 
 = 5. 126 + 52.126 + 53.126
Þ 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 chia hết cho 126.
0,50
S = (5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56) + 56(5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56) + + 51998(5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56).
Tổng trên có (2004: 6 =) 334 số hạng chia hết cho 126 nên nó chia hết cho 126.
0,25
Có: 5 + 52 + 53 + 54 = 5+ 53 + 5(5 + 53) = 130 + 5. 130.
Þ 5 + 52 + 53 + 54 chia hết cho 130 .
0,25
S = 5 + 52 + 53 + 54 + 54 (5 + 52 + 53 + 54 ) + + 52000(5 + 52 + 53 + 54 )
Tổng trên có (2004: 4 =) 501 số hạng chia hết cho 130 nên nó chia hết cho 130.
0,25
Có S chia hết cho 130 nên chia hết cho 65.
0,25
Bài 2 : (2,0 điểm) 
- 	Þ 
0,25
- 	Þ 
0,25
-	Þ
0,25
-	Þ4
0,25
-	Þ
0,25
-	Þ
0,25
- 	Þ 
0,25
- Giải được x = 14 (Do 210 = 2.3.5.7 = 14.15)
0,25
Câu 3: (2.0 điểm)
a) - Nếu p lẻ Þ p + 11 là số chẵn lớn hơn 11 nên không là số nguyên tố.
0,25
- Suy ra p chẵn Þ p = 2.
0,25
b) - Nếu p chia 3 dư 1 thì p + 8 là số lớn hơn 3 và chia hết cho 3 nên không là số nguyên tố.
0,25
- Nếu p chia 3 dư 2 thì p + 10 là số lớn hơn 3 và chia hết cho 3 nên không là số nguyên tố.
0,25
- Suy ra p chia hết cho 3, p nguyên tố nên p = 3.
0,5
C©u4 (1.5 điểm)
Gäi sè bÞ chia lµ a; sè chia lµ b (b ¹ 0)
PhÐp chia cã th­¬ng b»ng 5 sè d­ lµ 12 Þ a = 5b+12
0,5
Sè bÞ chia chia cho tæng sè chia vµ sè d­®­îc th­¬ng lµ 3 vµ sè d­ lµ 18 Þ 
 a = (b +12). 3 + 18 = 3b + 54
0,5
Þ 5b + 12 = 3b + 54 Þ b = 21 Þ a = 117
 VËy sè bÞ chia lµ 117.
0,5
Câu 5:
N
A
M
B
- Hình vẽ:
Bài 5: Vẽ hình (0,25đ)
- M nằm giữa hai điểm A, B nên MA = AB - MB = 3 - 1 = 2 (cm)
0,25
- AN = AM = 2 (cm)
0,25
- A nằm giữa hai điểm N, B nên BN = AN + AB = 2 + 3 = 5 (cm).
0,25
- BN = AN + AB, AB không đổi nên BN lớn nhất khi AN lớn nhất.
0,25
- AN lớn nhất khi AM lớn nhất.
0,25
- AM lớn nhất khi AM = AB.
0,25
- Lúc đó M trùng với B và BN bằng 6(cm).
0,25
CHÚ Ý : 
 - Nếu HS làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm của ý đó 
 - Khi học sinh làm bài phải lý luận chặt chẽ mới cho điểm tối đa theo biểu điểm của ý đó
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN
Môn: Toán – Lớp 6
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ 2
Câu 1 (4 điểm). 
a. Tính giá trị của biểu thức 
	b. Tính giá trị của biểu thức B biết: B2 = c(a-b)- b(a-c) và a = -50, b-c =2. 
Câu 2. (4 điểm) 
a. Tìm số tự nhiên x,y biết: (2x+1)(y-3)= 12
b. Tìm số tự nhiên x biết: 
c. So sánh: 3625 và 2536 
Câu 3. (3 điểm) 
	Cho phân số: 
	a. Chứng minh rằng phân số p là phân số tối giản
	b. Với giá trị nào của n thì phân số p có giá trị lớn nhất? tìm giá trị lớn nhất đó.
Câu 4. (7,5 điểm) 
1. Cho hai góc kề bù góc xOy và góc yOt, trong đó xOy =400. Gọi Om là tia phân giác của góc yOt.
	a. Tính góc mOx ?
	b. Trên nửa mặt phẳng không chứa tia Oy và có bờ là đường thẳng chứa tia Ox, vẽ tia On sao cho góc xOn=700 . Chứng tỏ tia Om và tia On là hai tia đối nhau
2. Vẽ đoạn thẳng AB =6cm. Lấy hai điểm C và D nằm giữa A và B sao cho AC+BD= 9cm
a. Chứng tỏ D nằm giữa A và C
b. Tính độ dài đoạn thẳng CD
Câu 5. (1,5 điểm) 
	Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn : 2x+3y= 14
---------------- Hết ----------------
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN
Môn: Toán – Lớp 6
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 2
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
a. 
1
0.5
0.5
0.5
b. B2= c(a-b)-b(a-c) = ca-cb-ba+bc=ca-ba=a(c-b)
thay a=-50, b-c=2 vào ta được B2=-50.(-2)=100
do nên B=10
0.5
0.5
0.5
Câu 2
a. (1,5 điểm)
 (2x+1)(y-3)= 12
Với Þ 2x+1 là số lẻ. 
Ta có: 12 =1.12=3.4 
 2x+1=1Þ 2x=0Þ x=0; y-3=12 Þ y=15
 2x+1=3Þ 2x=2Þ x=1; y-3=1 Þ y=4
Vậy x=0 và y=1 hoặc x=1 và y=4
0.25
0.25
0.25
0.25
0. 5
b. (1,25 điểm)
 Ta có :
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
c. (1 điểm) 
3625 = (18.2)25 =1825 .225 =1825 .26 .219
2536 =2525.2511= 2525.522= 2525.53.519 
ta có: 53=125, 26=64, Þ 53>26
 2525>1825; 519>219
Vậy 2525.53.519 >1825 .26 .219 hay 3625 <2536
0.25
0.25
0.25
0. 5
Câu 3
a. Gọi d là UC của 6n+5 và 3n+2
ta có: và 
Vậy phân số là phân số tối giản
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
b. Ta có 
p đạt giá trị lớn nhất khi đạt giá trị lớn nhất, khi đó 3n+2 đạt giá trị nhỏ nhất
vì nên 3n+2 nhỏ nhất bằng 2 khi 3n=0 hay n=0
Vậy với n=0 thì p đạt giá trị lớn nhất là 2+1/2=3/2
0.5
0.5
0.5
0.25
Câu 4
1(4 điểm).
a. Ta có ÐxOy + ÐyOt=1800
(Vì 2 góc kề bù)
Thay ÐxOy = 400 ta có:
400+ÐyOt= 1800
suy ra ÐyOt=1400
Ta có: Om là tia phân giác của ÐtOy nên 
Vì 2 góc xOy và yOt kề bù nên Ox và Ot là hai tia đối nhau
suy ra ÐtOm và ÐmOx là hai góc kề bù
ÞÐtOm + ÐmOx = 1800
700 + ÐmOx = 1800
ÐmOx = 1800-700= 1100
b. Ta có ÐmOx+ ÐxOn = 1100+ 700=1800
Þ ÐmOx và ÐxOn là hai góc bù nhau (1)
- Do Om và Oy cùng thuộc nửa mp có bờ là đường thẳng chứa tia Ox; - Lại có On và Oy nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng chứa tia Ox
nên: Om và On nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng chứa tia Ox
Þ ÐmOx và ÐxOn là hai góc kề nhau (2)
Từ (1) và (2) suy ra ÐmOx và ÐxOn là hai góc kề bù.
Vẽ hình 0,5
0.25
0. 5
0.25
0. 5
0.5
0.5
0.5
0.5
2. (3,5đ)
- Vì D nằm giữa A và B nên: AD+DB=AB
Thay AB= 6cm ta có AD+DB = 6 (cm)
Lại có AC+DB=9cm (gt)
Þ AD+DB< AC+DB hay AD<AC (1)
- Mà D và C cùng nằm giữa A và B hay D,C cùng thuộc tia AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra D nằm giữa A và C
b, Vì D nằm giữa A và C suy ra: AD+DC= AC
Lại có AC+BD= 9
nên AD+DC+BD = 9 hay (AD+DB)+DC =9
Thay (AD+DB)=6
ta có 6+DC=9 vậy DC= 3(cm)
Vẽ hình 
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
0.25
0.5
0.5
Câu 5
 Xét 2x+5y= 14
Ta có: 
Do (5,2)=1 nên 
Ta có 3y<14 Þ y<14 :5 Þ 
Mà y là số nguyên dương và nên y = 2
ta có 2x+5.2=14Þ 2x=4Þ x=2
vậy x=2, y=2
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
CHÚ Ý : 
 - Nếu HS làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm của ý đó 
 - Khi học sinh làm bài phải lý luận chặt chẽ mới cho điểm tối đa theo biểu điểm của ý đó
---------------- Hết ----------------
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN
Môn: Toán – Lớp 6
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ 3
Bài 1 (3,0 điểm)
	Cho tổng A = 1 + 32 + 34 + 36 + + 32008
	Tính giá trị biểu thức: B = 8A - 32010	
Bài 2 (4,0 điểm)
Cho A = 1.4.7.10.. 58 + 3.12.21.30 ..174
a. Tìm chữ số tận cùng của A. 
b. Chứng tỏ rằng A chia hết cho 377.
Bài 3 (4,0 điểm) 
Tìm số tự nhiên x biết:
 	a. x + (x + 1) + (x + 2) + + (x + 99) = 5450.
	b. 3.(5x - 1) - 2 = 70.
c. 2x + 2x + 1 + 2x + 2 = 960 - 2x + 3
Bài 4 (4,0 điểm)
a. Tìm số tự nhiên có hai chữ số khác nhau. Biết rằng: hai chữ số của số đó đều là số nguyên tố. Tích của số đó với các chữ số của nó là số có 3 chữ số giống nhau được tạo thành từ chữ số hàng đơn vị của số đó.
b. Cho p là số nguyên tố (p > 3) và 2p + 1 cũng là số nguyên tố. Hỏi 4p + 1 là số nguyên tố hay hợp số? Vì sao?
Bài 5 (5,0 điểm)
Cho n đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào cùng đi qua một điểm.
	a. Biết rằng số giao điểm của các đường thẳng đó là 1128. Tính n.
	b. Số giao điểm của các đường thẳng đó có thể là 2017 được không? Vì sao? 
 .. Hết 
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN
	Môn: Toán – Lớp 6
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 3
Bài 1
(3,0điểm)
Hướng dẫn giải
Điểm
A = 1 + 32 + 34 + 36 + + 32008
9A = 32 + 34 + 36 + 38 + + 32010
1,0
Tính được 8A = 32010 - 1
1,0
 B = 8A - 32010 = 32010 - 1 - 32010 = -1
1,0
Bài 2
(4,0điểm)
a,
(2,0 điểm)
Tìm chữ số tận cùng của A
- Tìm được chữ số tận cùng của tích B = 1.4.7.10 58 là 0
0,75
- Tìm được chữ số tận cùng của tích C = 3.12.21.30 174 là 0
0,75
- Tìm được và kết luận chữ số tận cùng của A là 0
0,5
b,
(2,0 điểm)
Chứng tỏ rằng A chia hết cho 377
- Nhận xét 377 = 13.29
0,5
- Tìm được quy luật của các thừa số trong tích B là các số tự nhiên chia 3 dư 1, nên B chứa thừa số 13. Do đó B = 1.4.7.10.13 58
 B = 1.4.7.10.13 29.2
Suy ra B chia hết cho 377
0,5
- Tìm được quy luật của các thừa số trong tích C là các số tự nhiên chia 9 dư 3, nên C chứa thừa số 39. Do đó C = 3.12.21.30.39 174
 C = 3.12.21.30.(3.13) (6.29)
Suy ra C chia hết cho 377
0,5
- Kết luận A chia hết cho 377
0,5
Bài 3
(4,0điểm)
a,
(1,5 điểm)
x + (x + 1) + (x + 2) + + (x + 99) = 5450.
100x + (1 + 2+ 3+ + 99) = 5450
0,5
Lí luận tính tổng: 1 + 2+ 3+ + 99 = 4950
 khi đó 100x + 4950 = 5450
0,5
100x = 500
0,25
x = 5
0,25
b,
(1,5 điểm)
3.(5x - 1) - 2 = 70.
3.(5x - 1) = 70 + 2
3.(5x - 1) = 72
0,5
5x - 1 = 72 : 3
5x - 1 = 24
5x = 25
0,5
5x = 52
x = 2
0,5
c,
(1,0 điểm)
2x + 2x + 1 + 2x + 2 = 960 - 2x + 3
2x (1 + 2 + 22 + 23) = 960 
2x .15 = 960 
2x = 960: 15
0,5
2x = 64
2x = 26
x = 6
0,5
Bài 4
(4,0điểm)
a,
(2,0 điểm)
Tìm số tự nhiên có hai chữ số khác nhau 
- Gọi số cần tìm là , (điều kiện của a, b )
0,25
- Theo đề bài ta có .a.b = 
Suy ra .a.b = 111.b
Hay .a = 111
0,75
Mà 111 = 3.37
Trong đó: 3 là số nguyên tố; 7 là số nguyên tố; 3¹ 7 thỏa mãn đề bài
nên = 37
0,75
Kết luận số cần tìm là 37
0,25
b,
(2,0 điểm)
Cho p là số nguyên tố (p > 3) và 2p + 1 cũng là số nguyên tố. Hỏi 4p + 1 là số nguyên tố hay hợp số? Vì sao?
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2 (với kN, k 1)
0,5
Nếu p = 3k +1 thì 2p + 1 = 2(3k + 1) + 1 = 3(2k + 1)
 và lí luận chỉ ra 2p + 1 là hợp số, trái với đề bài
0,75
Do đó p = 3k + 2 khi đó 4p + 1 = 4(3k + 2) + 1 = 3(4k + 3)
 và lí luận chỉ ra 4p + 1 là hợp số
0,75
Kl ..
Bài 5
(5,0điểm)
a,
(3,0 điểm)
Với n đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào cùng đi qua một điểm. Số giao điểm được xác định như sau: Chọn một đường thẳng, đường thẳng này cắt n - 1 đường thẳng còn lại tạo ra n - 1 giao điểm, làm như vậy với n đường thẳng ta được n.(n - 1) giao điểm. Nhưng mỗi giao điểm đã được tính 2 lần, nên số giao điểm là n.(n - 1):2 giao điểm
1,5
- Khi số giao điểm là 1128 ta có: n(n - 1):2= 1128
1,0
- Lý luận tìm được n = 48
0,5
b,
(2,0 điểm)
- Giả sử số giao điểm bằng 2017
- Áp dụng kết quả câu a ta có n(n - 1):2 = 2017
1,0
- Lý luận tìm ra điều vô lý
- Kết luận: Số giao điểm không thể bằng 2017
1,0
 Chú ý: 
 - Học sinh có cách giải khác đúng cho điểm tương đương.
 	 - Nếu bài hình phần trên sai, thì vẫn chấm điểm phần dưới 
	 - Bài 2. Câu a chỉ ra được chữ số tận cùng là cho điểm tối đa
	 - Bài 5. Lí luận không chính xác thì tùy từng ý trừ điểm
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN
Môn: Toán – Lớp 6
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ 4 
Bài 1: (1,0điểm) Thực hiện phép tính( tính hợp lý nếu có thể )
 a/ 1968 : 16 + 5136 : 16 -704 : 16
 b/ 23. 53 - 3 {400 -[ 673 - 23. (78 : 76 +70)]}
Bài 2: ( 1,0điểm) M có là một số chính phương không nếu : 
 M = 1 + 3 + 5 + + (2n-1) ( Với n N , n 0 )
Bài 3: (1,5điểm) Chứng tỏ rằng:
 a/ (3100+19990) 2
 b / Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4 
Bài 4 : (1,0điểm) So sánh A và B biết :
 A = , B = 
Bài 5: ( 2,0điểm ) Tím tất cả các số nguyên n để:
 a) Phân số có giá trị là một số nguyên
 b) Phân số là phân số tối giản
Bài 6: (2,5điểm)
 Cho góc xBy = 550 .Trên các tia Bx, By lần lượt lấy các điểm A, C ( A B, CB ). Trên đoạn thẳng AC lấy điểm D sao cho góc ABD = 300 
 a/ Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm
 b/ Tính số đo góc DBC
 c/ Từ B vẽ tia Bz sao cho góc DBz = 900 . Tính số đo ABz. 
Bài 7: (1,0điểm) Tìm các cặp số tự nhiên x , y sao cho : (2x + 1)( y – 5) = 12
---------- HẾT ---------- 
(Đề thi gồm có 01 trang).
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.......................................; Số báodanh......................... 
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN
Môn: Toán – Lớp 6
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 4
 Bài 1: (1,0 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
Điểm
a
 = 16(123+ 321 - 44):16 
0,25
 = 400 
0,25
b
 =8.125-3.{400-[673-8.50]} 
0,25
 = 1000-3.{400-273} 
 =619	
0,25
Bài 2: (1,0 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
Điểm
 M = 1 + 3 + 5 + + (2n-1) ( Với n N , n 0 ) 
 Tính số số hạng = ( 2n-1-1): 2 + 1 = n 
0,5
 Tính tổng = ( 2n-1+1 ) n : 2 = 2n2 : 2 = n 2 
 KL: M là số chính phương 
0,5đ
Bài 3: (1,5 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
Điểm
a
 Ta có: 
 3100 = 3.3.3 .3 (có 100 thừa số 3)
 = (34)25 = 8125 có chữ số tận cùng bằng 1 
 19990 = 19.19 19 ( có 990 thứa số 19 ) 
 = (192)495 = 361495 ( có chữ số tận cùng bằng 1 
 Vậy 3100+19990 có chữ số tận cùng bằng 2 nên tổng này chia hết cho 2 
0,25
0,25
0,5
b
 Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là : a ; (a +1) ;( a + 2) ;( a + 3 ) ; ( a) 
 Ta có : a + (a+1) + (a+2) + (a+3) = 4a + 6 
 Vì 4a 4 ; 6 không chia hết 4 nên 4a+ 6 không chia hết 4 
0,25
0,25
Bài 4 : ( 1,0 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
Điểm
 Vì A = < 1 A= < = = = B
 Vậy A < B
0,75
0,25
Bài 5: (2,0 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
Điểm
a
 là số nguyên khi ( n+1) (n-2)
 Ta có (n+1) = 	
 Vậy (n+1) (n-2) khi 3(n-2)	 
 (n-2) Ư(3) = 	
 => n 	 
0.5
0,5
b
 Gọi d là ƯC của 12n+1 và 30n+2 ( dN* ) 
0,25
 (60n+5-60n-4) d 1 d mà dN* d = 1 
0,5đ
 Vậy phân số đã cho tối giản 
0,25
Bài 6: (2,5 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
Điểm
a
b
 Vẽ hình đúng
 TH1 TH2
Vì D thuộc đoạn thẳng AC nên D nằm giữa A và C :
 AC= AD + CD = 4+3 = 7 cm
Chứng minh được tia BD nằm giữa hai tia BA và BC
Ta có đẳng thức : ABC = ABD + DBC DBC = ABC - ABD
 =550 – 300 = 250
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
c
Xét hai trường hợp:
 - Trường hợp 1: Tia Bz và tia BD nằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là AB nên tia BA nằm giữa hai tiaBz và BD
Tính được ABz = 900 - ABD = 900- 300 = 600
 - Trường hợp 2 :Tia Bz và tia BD nằm về cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB nên tia BD nằm giữa hai tia Bz và BA
 Tính được ABz = 900 + ABD = 900 + 300 = 1200
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 7: (1,0 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
Điểm
 (2x+ 1); (y - 5) là các ước của 12 
0,25
 Ư(12) = 
0,25
 Vì 2x + 1 là lẻ nên :
 2x + 1= 1 x=0 , y =17 
 2x + 1= 3 x=1 , y=9 
 Vậy với x = 0 thì y = 17 ; Với x = 1 thì y = 9 
0,25
0,25
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN
Môn: Toán – Lớp 6
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ 5 
Bài 1: (5,0 điểm) . Cho 
 a) Tính A.
 b) Tìm số tự nhiên n biết 
 c) Tìm số dư trong phép chia A cho 100.
Bài 2: (3,0 điểm). Tìm số tự nhiên x ,biết:
Bài 3: (5,0 điểm)
 a) Cho số chia hết cho 37. Chứng minh rằng số cũng chia hết cho 37.
 b) Tìm số x, y nguyên biết 
Bài 4 (3,0 điểm): Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho: a chia cho 2 dư 1, a chia cho 3 dư 1, a chia cho 5 dư 4, a chia cho 7 dư 3.
Bài 5: (4,0 điểm)
Cho 30 điểm phân biệt trong đó có a điểm thẳng hàng, cứ qua 2 điểm ta vẽ được 1 đường thẳng. Tìm a, biết số đường thẳng tạo thành là 421 đường thẳng.
Vẽ đoạn thẳng . Lấy hai điểm C và D nằm giữa A và B sao cho 
 a) Chứng tỏ D nằm giữa A và C.
 b) Tính độ dài đoạn thẳng CD ?
--- Hết ---
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN
Môn: Toán – Lớp 6
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 5 
Bài 1: (4,0 điểm)
Đáp án
Điểm
0,25
0,25
Suy ra 
0,50
 Vậy 
0,25
Tìm số tự nhiên n biết 
Ta có mà nên 
0,25
Suy ra .Vậy 
0,25
c). Tìm số dư trong phép chia A cho 100.
 ( có 26 số hạng)
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,50
0,25
 Suy ra A chia cho 100 dư 24.
0,25
Bài 2: (3,0 điểm). Tìm số tự nhiên x ,biết:
Đáp án
Điểm
Với mọi x Î N ta có 2x – 1 là số lẻ
0,25
Đặt 
Þ A là tổng của các số lẻ liên tiếp từ 1 đến 2x – 1 
0,25
Số số hạng của A là: (Số hạng)
0,25
0,25
Mà 
0,25
 Vậy 
0,25
0,25
0,25
Đặt 
0,25
 Ta được 
Suy ra 
0,25
Vậy ta có 
0,25
.Vậy 
0,25
Bài 3: (5,0 điểm).
Đáp án
Điểm
a) Cho số chia hết cho 37. Chứng minh rằng số cũng chia hết cho 37.
 Ta có 
0,50
0,25
0,25
0,25
 Mà 
0,25
0,25
Vậy nếu thì 
0,25
 b) Tìm số x, y nguyên biết 
 Ta có 
0,25
0,25
0,25
0,25
Vì nên 
0,25
Do đó từ là các ước của -11
0,25
Các ước của -11 là -11; -1;1;11
0,25
+) Với thì Suy ra ( Thỏa mãn)
0,25
+) Với thì Suy ra ( Thỏa mãn)
0,25
+) Với thì Suy ra ( Thỏa mãn)
0,25
+) Với thì Suy ra ( Thỏa mãn)
0,25
Vậy 
0,25
Bài 4: (3,0 điểm).
Đáp án
Điểm
Vì a chia cho 2 dư 1, a chia cho 3 dư 1, a chia cho 5 dư 4, a chia cho 7 dư 3
0,25
 Nên 
0,25
0,50
0,25
 Mà a là số tự nhiên nhỏ nhất 
0,25
0,25
Mà các số 2; 3; 5; 7 nguyên tố cùng nhau
0,25
0,25
0,25
0,25
 Vậy số tự nhiên cần tìm là 199.
0,25
Bài 5: (4,0 điểm)
Đáp án
Điểm
– Giả sử trong 30 điểm phân biệt không có 3 điểm nào thẳng hàng :
0,25
 + Chọn một điểm bất kì trong 30 điểm đã cho. Qua điểm đó và từng điểm trong 29 điểm còn lại ta vẽ được 29 đường thẳng.
 + Làm như vậy với 30 điểm thì ta vẽ được tất cả là 29.30 đường thẳng.
0,25
 + Nhưng mỗi đường thẳng đã được tính hai lần nên số đường thẳng thực tế vẽ được là đường thẳng.
0,25
 Vậy qua 30 điểm phân biệt mà không có 3 điểm nào thẳng hàng ta vẽ được 435 đường thẳng.
 – Tương tự như trên, giả sử trong a điểm phân biệt không có 3 điểm nào thẳng hàng ta vẽ được đường thẳng.
0,25
Nhưng qua a điểm thẳng hàng ta chỉ vẽ được một đường thẳng nên số đường thẳng bị giảm đi là đường thẳng.
0,25
Theo bài ra ta có : 
0,25
0,25
Vì a-1 và a là hai số tự nhiên liên tiếp và nên 
0,25
2. Hình vẽ :
a) Chứng tỏ D nằm giữa A và C.
 Vì D nằm giữa A và B nên: 
0,25
 Thay ta có .
0,25
 Lại có hay 
0,25
 Trên tia AB có : suy ra D nằm giữa A và C
0,25
 b) Tính độ dài đoạn thẳng CD ?
 Vì D nằm giữa A và C suy ra 
0,25
Lại có , suy ra 
0,25
 Hay 
0,25
Thay , ta có . Vậy 
0,25
Chú ý: Học sinh giải theo cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tương ứng với từng câu, từng bài theo hướng dẫn trên./.
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN
	Môn: Toán – Lớp 6
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ 6 
Bài 1 (5 điểm)
1): Rút gọn các biểu thức sau:
M = 3 – 32 + 33 – 34 + + 32015 – 32016.
2) Chứng tỏ rằng:
a) 
Bài 2 (3 điểm): Tìm số tự nhiên x biết:
a) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + + (2x – 1 ) = 225
b) 2x . 2x + 1. 2x + 2 = 1000 0 : 518
chữ số 0
Bài 3: (5 điểm)
a) Cho 3a + 2b 17 (a , b Î N). Chứng minh 10a + b 17
b) Tìm số x,y nguyên biết xy + x – y = 4
Bài 4: (4 điểm)
Cho 30 điểm phân biệt trong đó có a điểm thẳng hàng cứ qua 2 điểm ta vẽ được 1 đường thẳng. Tìm a, biết số đường thẳng tạo thành là 421 đường thẳng .
Bài 5 (3 điểm)
Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho: a chia cho 2 dư 1, a chia cho 3 dư 1, a chia cho 5 dư 4, a chia cho 7 dư 3.
= Hết = 
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN
Môn: Toán – Lớp 6
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 6 
Bài
Nội dung
Điểm
Bài 1 (5 điểm)
1.1.a)
(2,0 đ)
M = 3 – 32 + 33 – 34 + + 32015 – 32016
Ta có :3M = 32 – 33 + 34 – 35 + + 32016 – 32017
0,5
Þ 3M + M = 3 + (32 – 32) + (33 – 33)+ + (32016 – 32016) – 32017
0,5
 4M = 3 + 0 + 0 + . . . + 0 – 32017
0,5
 4M = 3 – 32017
Þ M = (3 – 32017) : 4
0,5
1.2.
(3,0 đ)
Ta có:
 . . . . . . .
0,5
Þ 
0,5
Mà 
= 
0,5
= 
0,5
= 
0,5
Þ 
0,5
Bài 2 (3 điểm)
2.a)
(1,5)
Với mọi x Î N ta có 2x – 1 là số lẻ
0,25
Đặt A = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + + (2x – 1)
Þ A là tổng của các số lẻ liên tiếp từ 1 đến 2x – 1 
0,25
Số số hạng của A là: (2x – 1 – 1) : 2 + 1 = x (Số hạng)
0,25
Þ A = [(2x – 1) + 1] . x : 2 = x2
0,25
Mà A = 225 Þ x2 = 225 = 152
0,25
Þ x = 15
Vậy x = 15
0,25
2.b)
(1,5 đ)
2x . 2x + 1. 2x + 2 = 1000 0 : 518
 18 chữ số 0
2x + x + 1+ x + 2 = 10 . 10 . 10 . . 10 : 5 . 5 . 5 . . 5
 18 thừa số 10 18 thừa số 5
0,25
 23x + 3 = (10 : 5 ).(10 : 5). (10 : 5) . .(10 : 5)
 18 thừa số (10 : 5)
0,25
 23x + 3 = 2 . 2 . 2 . . 2
 18 thừa số 2
0,25
 23x + 3 = 218
0,25
Þ 3x + 3 = 18
 3x = 18 – 3
 3x = 15
 x = 15 : 3
 x = 5
0,25
Vậy x = 5
0,25
Bài 3: (5 điểm)
3.a)
(2,0đ)
Vì 3a + 2b 17 Þ 10(3a + 2b) 17
0,5
Þ (30a + 20b) 17
0,25
Þ (30a + 3b + 17b) 17
0,25
Þ [3(10a + b) + 17b] 17
0,25
Vì 17b 17
0,25
Þ 3(10a + b) 17
0,25
Þ 10a + b 17 (vì 3 và 17 nguyên tố cùng nhau)
0,25
3.b)
(3,0đ)
xy + x – y = 4
x(y + 1) – y = 4
 0,25
x(y + 1) – y – 1 + 1 = 4
0,5
x(y + 1) - ( y + 1 ) + 1= 4
0,25
( y + 1 )( x – 1) + 1 = 4
0,25
( y + 1)( x – 1)= 3
0,25
Vì x, y là số nguyên nên y + 1,x – 1 là ước của 3. 
0,25
Nếu x -1 = 1 và y + 1 = 3 thì x = 2 và y = 2
0,25
Nếu x -1 = -1 và y + 1 = -3 thì x = 0 và y = -4
0,25
Nếu x -1 = 3 và y + 1 = 1 thì x = 4 và y = 0
0,25
Nếu x -1 = -3 và y + 1 = -1 thì x = -2 và y = -2
 0,25
Vậy x = 2 và y = 2 hoặc x = 0 và y = -4 hoặc x = 4 và y = 0 hoặc
x = -2 và y = -2
0,25
Bài 4( 4điểm)
4. 
(4 đ) 
Giả sử trong 20 điểm không có 3 điểm nào thẳng hàng.
Gọi 20 điểm đó là A1, A2, A3, ... ,A20.
Vì cứ qua 2 điểm ta vẽ được 1 đường thẳng nên
0,25
Qua điểm A1 và từng điểm trong 19 điểm còn lại A2, A3,...,A20 ta vẽ được 19 đường thẳng.
0,5
Qua điểm A2 và từng điểm trong 18 điểm còn lại A3, A4,...,A20 ta vẽ được 18 đường thẳng.
0,5
 .
Qua điểm A19 và điểm A20 ta vẽ được 1 đường thẳng.
0,5
 Do đó số đường thẳng tạo thành là: 1 + 2 + 3 +... + 19 + 20 = 
( 1+ 20).20 : 2 = 190 ( đường thẳng)
0,5
Với a điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng thì ta có số đường thẳng tạo thành là 1 + 2 + 3 +... +( a – 1) = (a- 1). a: 2
0,5
Với a điểm thẳng hàng thì ta chỉ vẽ được 1 đường thẳng 
0,25
Vậy trong 20 điểm mà có a diểm thẳng hàng thì sổ đưởng thẳng giảm đi là
 ( a- 1).a: 2 - 1 = 190 – 170
0,5
( a- 1).a: 2 - 1 = 20
( a- 1).a: 2 = 21	
0,25
 ( a- 1).a = 42
( a- 1).a = 6.7
Mà a-1 và a là 2 số tự nhiên liên tiếp a -1 < a nên a -1 = 6 và a =7
Vậy a = 7
0,25
5.
(3,0 đ)
Gọi số phải tìm là a
Þ a = 2k + 1
 a = 3q + 1
 a = 5m + 4
 a = 7r + 3
(k, q, m, r Î N)
0,5
Þ a + 11 = 2k + 12 2
 a + 11 = 3q + 12 3
 a + 11 = 5m + 15 5
 a + 11 = 7r + 14 7
Þ a + 11 Î BC(2; 3; 5; 7)
1,0
Mà a là số tự nhiên nhỏ nhất 
Þ a + 11 = BCNN(2; 3; 5; 7)
0,5
Mà 2; 3; 5; 7 nguyên tố cùng nhau
Þ BCNN(2; 3; 5; 7) = 2.3.5.7 = 210
0,25
Þ a + 11 = 210
 a = 210 – 11
 a = 199
0,5
Vậy a = 199
0,25
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN
Môn: Toán – Lớp 6
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ 7 
Bài 1 : (5 điểm) Thực hiện các phép tính sau một cách hợp lý :
	a) .
	b) 
	c) 
	d) 1152 - (374 + 1152) + (-65 + 374)
	e) 13 - 12 + 11 + 10 - 9 + 8 - 7 - 6 + 5 - 4 + 3 + 2 - 1
Bài 2 : (4 điểm) Tìm x, biết:
	a) 
	b) 
	c) 11 - (-53 + x) = 97
	d) -(x + 84) + 213 = -16
Bài 3 :(2 điểm) Tìm hai số tự nhiên a và b, biết: BCNN(a,b)=300; ƯCLN(a,b)=15 và a+15=b.
Bài 4 :(3 điểm)
a)Tìm số nguyên x và y, biết : xy - x + 2y = 3.
b) So sánh M và N biết rằng : .
	.
Bài 5 : (6 điểm) Cho đoạn thẳngAB, điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M, N thứ tự là trung điểm của OA, OB.
Chứng tỏ rằng OA < OB.
Trong ba điểm O, M, N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại ?
Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của tia AB).
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN
Môn: Toán – Lớp 6
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 7
Bài 1 : (5 điểm) Thực hiện các phép tính sau một cách hợp lý :
Đáp án
Điểm
1
1
1
d) 1152 - (374 + 1152) + (-65 + 374) = 1152 - 374 - 1152 + (-65) + 374
 = (1152 - 1152) + (-65) + (374 - 374) = -65
1
e) 13 - 12 + 11 + 10 - 9 + 8 - 7 - 6 + 5 - 4 + 3 + 2 - 1 =
 = 13 - (12 - 11 - 10 + 9) + (8 - 7 - 6 + 5) - (4 - 3 - 2 + 1) = 13
1
Bài 2 : (4 điểm) Tìm x :
Câu
Đáp án
Điểm
a.
1
b.
1
c.
 11 - (-53 + x) = 97
1
d.
 -(x + 84) + 213 = -16
1
Bài 3 :(3 điểm)
Đáp án
Điểm
Từ dữ liệu đề bài cho, ta có :
+ Vì ƯCLN(a, b) = 15, nên ắt tồn tại các số tự nhiên m và n khác 0, sao cho:
a = 15m; b = 15n (1)
và ƯCLN(m, n) = 1 (2)
+ Vì BCNN(a, b) = 300, nên theo trên, ta suy ra : 
+ Vì a + 15 = b, nên theo trên, ta suy ra :
Trong các trường hợp thoả mãn các điều kiện (2) và (3), thì chỉ có trường hợp : m = 4, n = 5 là thoả mãn điều kiện (4).
Vậy với m = 4, n = 5, ta được các số phải tìm là : a = 15 . 4 = 60; b = 15 . 5 = 75
3
Bài 4 :(2 điểm)
Câu
Đáp án
Điểm
a.
Chứng minh đẳng thức:
- (-a + b + c) + (b + c - 1) = (b - c + 6) - (7 - a + b) + c.
Biến đổi vế trái của đẳng thức, ta được :
VT = -(-a + b + c) + (b + c - 1) 
 = -(-a) - (b + c) + (b + c) + (-1) = a - 1
Biến đổi vế phải của đẳng thức, ta được :
VP = (b - c + 6) - (7 - a + b) + c 
 = b + (-c) + 6 - 7 + a - b + c = [b + (-b)] + [(-c) + c] + a + [6 + (-7)] = a - 1
So sánh, ta thấy : VT = VP = a - 1
Vậy đẳng thức đã được chứng minh.
1
b.
Với a > b và S = -(-a - b - c) + (-c + b + a) - (a + b), ta có :
Tính : theo trên ta suy ra : 
* Xét với a và b cùng dấu, ta có các trường hợp sau xảy ra :
 + a và b cùng dương, hay a > b > 0, thì a + b > 0 : 
 + a và b cùng âm, hay 0 > a > b, thì a + b < 0 , nên suy ra :
* Xét với a và b khác dấu :
 Vì a > b, nên suy ra : a > 0 và b < 0 , ta cần xét các trường hợp sau xảy ra :
+ ,hay a > -b > 0, do đó , suy ra:
+ , hay -b > a > 0, do đó , hay suy ra :
Vậy, với : + (nếu < a < 0)
 + (nếu b < a < 0, hoặc b < 0 <) 
1
Bài 5 : (6 điểm)
Câu
Đáp án
Điểm
Hình vẽ
a.
Hai tia AO, AB đối nhau, nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B, suy ra :
 OA < OB.
2
b.
Ta có M và N thứ tự là trung điểm của OA, OB, nên :
Vì OA < OB, nên OM < ON.
Hai điểm M và N thuộc tia OB, mà OM < ON, nên điểm M nằm giữa hai điểm O và N.
2
c.
Vì điểm M nằm giữa hai điểm O và N, nên ta có :
suy ra : 
hay : 
Vì AB có độ dài không đổi, nên MN có độ dài không đổi, hay độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của tia AB). 
2
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN
Môn: Toán – Lớp 6
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ 8
	Câu 1(3,0 điểm): Tính giá trị của các biểu thức sau:
 a. b. 
Câu 2(4,0 điểm): Tìm các số nguyên x biết.
a. b. 	 c. 
Câu 3(5,0 điểm):
	a, Một số tự nhiên chia cho 7 dư 5,chia cho 13 dư 4. Nếu đem số đó chia cho 91 thì dư bao nhiêu? 
	b, Học sinh khối 6 khi xếp hàng; nếu xếp hàng 10, hàng 12, hàng15 đều dư 3 học sinh. Nhưng khi xếp hàng 11 thì vùa đủ. Biết số học sinh khối 6 chưa đến 400 học sinh.Tính số học sinh khối 6? 
Câu 4 (6,0 điểm):
	Cho góc bẹt xOy. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ xy,vẽ các tia Oz và Ot sao cho .
	a. Chứng tỏ tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Ot ?
	b. Chứng tỏ tia Ot là tia phân giác của góc yOz?
	c.Vẽ tia phân giác On của góc xOz. Tính góc nOt?
Câu 5 (2,0 điểm):
	 Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi n2 + 2006 là số nguyên tố hay là hợp số.
---------Hết---------
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN
Môn: Toán – Lớp 6
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 8 
Câu
Nội dung
Thang điểm
Câu 1(4điểm)
a (1,5)
0.5
0.5
0.5
b (1,5)
0.5
0.5
0,25
0.25
câu 2 (4điểm)
a (1,0)
0.5
0.5
b (1,5)
 (không thỏa mãn)
0.5
0.5
0.5
c (1,5)
Vậy 
0.5
0.5
0.5
Câu3(4,0)
a (2,0)	
Gọi số đó là a 
Vì a chia cho 7 dư 5, chia cho 13 dư 4
 mà (7,13)=1 nên 
 a+9=91k a=91k-9 =91k-91+82=91(k-1)+82 (kN)
Vậy a chia cho 91 dư 82.
0.25
1.0
1.0
0.25
b (2,0)
Gọi số Hs khối 6 là a (3<a<400)
Vì khi xếp hàng 10,hàng 12, hàng 15 đều dư 3
 ta có BCNN(10,12,15)=60 
mà 
 a=363 
Vậy số HS khối 6 là 363 học sinh.
0.25
0.5
0.5
0.75
0.5
Câu 4
(6,0)
Vẽ hình
 z t
	 n
 x	 O	 y
0.5
a (1,5)
Vì góc xOy là góc bẹt nên suy ra trên cùng một 
nưả mặt phẳng có bờ xy có và là hai góc kề bù.
+=
Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox có: Tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Ot.
0.75
0.75
b (2,0)
Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ xy ,ta có 
và là hai góc kề bù hay
Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oy có: Tia Ot nằm giữa hai tia Oy và Oz (1) nên ta có: hay 
(2).Từ (1) và (2) suy ra Ot là tia phân giác của góc yOz.
0.75
0.75
0.5
c (2,0)
Vì là góc bẹt nên suy ra tia Ox và tia Oy là hai tia đối nhau Hai tia Ox và Oy nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa tia Oz (1)
Vì On là tia phân giác của góc xOz nên và hai tia On và Ox cùng nằm trên mặt phẳng có bờ chứa tia Oz (2) 
Ta lại có tia Ot là tia phân giác của góc yOz (theo b,)
 Hai tia Ot và Oy cùng nằm trên một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oz (3) . Từ (1),(2), (3) suy ra tia On và tia Ot nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa tia Oz tia Oz nằm giữa hai tia On và Ot nên ta có:
 hay .Vậy 
0.5
0.5
0.5
0.5
Câu 5 
(2,0)
 n là số nguy