Đề khảo sát chất lượng Học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

UBND THỊ XÃ SƠN TÂY
ĐỀ CHÍNH THỨC 
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI – LỚP 6
Môn Toán – Năm học 2017-2018
Bài 1. (5,0 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau:
Bài 2. (4,0 điểm) Tìm các số nguyên thỏa mãn
Bài 3. (3,0 điểm)
Cho Hãy so sánh: và 
Cho So sánh và B
Bài 4. (6,0 điểm) Cho tam giác có trên cạnh lấy điểm D (D không trùng với và C)
Tính độ dài biết 
Tính số đo của , biết 
Từ B dựng tia sao cho Tính số đo 
Trên cạnh AB lấy điểm không trùng với và B). Chứng minh rằng đoạn thẳng cắt nhau.
Bài 5. (2,0 điểm) Với là số nguyên tố lớn hơn 5, chứng minh rằng:
ĐÁP ÁN
Bài 1.
Bài 2.
Vậy 
Do nên có các trường hợp sau:
*)
Bài 3.
Ta xét 3 trường hợp: 
Th1: thì 
Th2:
Mà có phần thừa so với 1 là 
có phần thừa so với 1là 
Vì nên 
Th3: 
Khi đó : có phần bù tới 1 là có phần bù tới 1 là 
Vì nên 
Cho rõ ràng nên theo a, nếu thì 
Do đó: 
Vậy 
Bài 4.
D nằm giữa A và C 
Tia nằm giữa hai tia nên 
Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Tia và nằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là . Tính được 
Mặt khác tia nằm giữa hai tia nên 
Trường hợp 2: Tia nằm về cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB
Tính được 
Lập luận tương tự trường hợp 1, chỉ ra được 
Vậy 
Xét đường thẳng BD
Do BD cắt AC nên đường thẳng chia mặt phẳng làm 2 nửa: 1 nửa mặt phẳng có bờ BD chứa điểm C và nửa mặt phẳng bờ BD chứa điểm Atia BA thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm A
E thuộc đoạn ABthuộc nửa mặt phẳng bờ BD chứa điểm Avà C ở 2 nửa mặt phẳng bờ BDđường thẳng cắt đoạn EC
Xét đường thẳng CE
Lập luận tương tự: ta có đường thẳng EC cắt đoạn BD
Vậy 2 đoạn thẳng EC và BD cắt nhau
Bài 5.
Ta có: 
Chứng minh 
Do nên là số lẻ 
Mặt khác 
và là hai số chẵn liên tiếp 
Do là số lẻ nên là số lẻ 
nên p có dạng:
Mặt khác p có thể là dạng :
Vậy hay 
Tương tự ta cũng có: 
Vậy