Chuyên đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 6: Điểm – Đường thẳng – Đoạn thẳng – Tam giác

CHUYÊN ĐỀ. ĐIỂM – ĐƯỜNG THẲNG – ĐOẠN THẲNG – TAM GIÁC.
PHẦN I.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
I. ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
1.Vị trí của điểm và đường thẳng
- Điểm thuộc đường thẳng , kí hiệu 
- Điểm không thuộc đường thẳng , kí hiệu 
2. Ba điểm thẳng hàng khi chúng cùng thuộc một đường thẳng, ba điểm không thẳng hàng khi chúng không cùng thuộc bất kì đường thẳng nào.
3. Trong ba điểm thẳng hàng có một điểm và chỉ một điểm nằm giữa hai điểm còn lại.
4. Nếu có một điểm nằm giữa hai điểm khác thì ba điểm đó thẳng hàng.
5. Quan hệ ba điểm thẳng hàng còn được mở rộng thành nhiều điểm thẳng hàng.
II. ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM
1.Có một đường thẳng và chỉ có đường thẳng đi qua hai điểm và 
2. Có ba cách đặt tên đường thẳng:
- Dùng một chữ cái in thường: ví dụ 
- Dùng hai chữ cái in thường: ví dụ 
- Dùng hai chữ cái in hoa: ví dụ 
3.Ba vị trí có hai đường thẳng phân biệt:
- Hoặc không có điểm chung nào (gọi là hai đường thẳng song song)
- Hoặc chỉ có một điểm chung (gọi là đường thẳng cắt nhau)
4.Muốn chứng minh hai hay nhiều đường thẳng trùng nhau ta chỉ cần chứng tỏ chúng có hai điểm chung.
5. Ba (hay nhiều) đường thẳng cùng đi qua một điểm gọi là ba (hay nhiều) đường thẳng đồng quy. Muốn chứng minh nhiều đường thẳng đồng quy ta có thể xác định giao điểm của đường thẳng nào đó rồi chứng minh các đường thẳng còn lại đều đi qua giao điểm này.
III. TIA
1. Hình gồm điểm và một phần đường thẳng bị chia ra bởi điểm được gọi là một tia gốc .
2. Hai tia chung gốc tạo thành đường thẳng được gọi là hai tia đối nhau
3. Quan hệ giữa một điểm nằm giữa hai điểm với hai tia đối nhau, hai tia trùng nhau:
Xét điểm thẳng hàng.
- Nếu và đối nhau thì gốc nằm giữa và 
- Ngược lại nếu nằm giữa và thì:
+ Hai tia đối nhau
+ Hai tia trùng nhau; hai tia trùng nhau.
IV. ĐOẠN THẲNG, ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG, CỘNG ĐỘ DÀI HAI ĐOẠN THẲNG
1. Đoạn thẳng là hình gồm điểm , điểm và tất cả các điểm nằm giữa và 
2. Mỗi đoạn thẳng có một độ dài. Độ dài đoạn thẳng là một số dương.
3. và có cùng độ dài
 ngắn hơn 
 dài hơn .
4.Điểm nằm giữa hai điểm:
Nếu điểm nằm giữa điểm và điểm thì 
Ngược lại, nếu thì điểm nằm giữa hai điểm và .
Nếu thì điểm không nằm giữa và .
Nếu điểm nằm giữa hai điểm và ; điểm nằm giữa hai điểm và thì 
V. VẼ ĐOẠN THẲNG CHO BIẾT ĐỘ DÀI
1. Trên tia bao giờ cũng vẽ được và chỉ một điểm sao cho (đơn vị dài).
2. Trên tia , , nếu hay OM < ON thì điểm nằm giữa hai điểm và 
3. Trên tia có điểm ; ; nếu < c hay OM< ON < OP điểm nằm giữa hai điểm và .
VI. TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG
1. Trung điểm của đoạn thẳng là điểm nằm giữa hai đầu đoạn thẳng và cách đều hai đầu đoạn thẳng đó.
2. Nếu là trung điểm của đoạn thẳng thì 
3. Nếu nằm giữa hai đầu đoạn thẳng và thì là trung điểm của 
4. Mỗi đoạn thẳng có trung điểm duy nhất.
VII. TAM GIÁC
1. Định nghĩa
Tam giác là hình gồm ba đoạn thẳng khi ba điểm không thẳng hàng. Kí hiệu là .
2. Các yếu tố trong tam giác
Tam giác có:
+ Ba đỉnh là: .
+ Ba cạnh là: .
+ Ba góc là .
3. Để vẽ một tam giác có độ dài 3 cạnh cho trước, ta làm như sau:
Bước 1. Vẽ một đoạn thẳng có độ dài bằng một cạnh cho trước;
Bước 2. Vẽ đỉnh (thứ ba) là giao điểm của hai cung tròn có tâm lần lượt là hai đỉnh và đã vẽ và bán kính lần lượt bằng độ dài hai cạnh còn lại.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP 
Dạng 1: Bài toán trồng cây thẳng hàng.
- Các cây thẳng hàng là các cây cùng nằm trên một đường thẳng.
- Giao điểm của hai hay nhiều đường thẳng là vị trí của 1 cây thỏa mãn bài toán.
Bài tập 1. Có 10 cây, hãy trồng thành 5 hàng sao cho mỗi hàng có 4 cây.
Hướng dẫn
Theo hình 11 ( mỗi điểm trên hình vẽ là một cây ).
Hình 1
Bài tập 2. Có 9 cây, hãy trồng thành 8 hàng sao cho mỗi hàng có 3 cây.
Hướng dẫn
Theo hình 12 ( mỗi điểm trên hình vẽ là một cây ).
Hình 2
Bài tập 3. Hãy vẽ sơ đồ trồng 10 cây thành 5 hàng, mỗi hàng 4 cây (Giải bằng 4 cách)
Hướng dẫn
Cách 1
Cách 2
Cách 3
Cách 4
Dạng 2: Đếm số đoạn thẳng (đường thẳng) tạo thành từ các điểm cho trước
Cho biết có n điểm (n ∈ N và n ≥ 2).
Kẻ từ một điểm bất kỳ với điểm còn lại được đoạn thẳng (đường thẳng)
Làm như vậy với điểm nên có đoạn thẳng (đường thẳng). Nhưng mỗi đoạn thẳng (đường thẳng) được tính lần
Do vậy số đoạn thẳng (đường thẳng) vẽ được là đoạn thẳng (đường thẳng)
Bài tập 1. Lấy năm điểm M, N, P, Q, R, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Kẻ các đường thẳng đi qua các cặp điểm đó. Có bao nhiêu đường thẳng tất cả ? Đó là những đường thẳng nào?
Hướng dẫn
Cách 1: Vẽ hình rồi liệt kê các đường thẳng đó (Chỉ dùng khi chỉ có ít điểm)
Cách 2: Bằng cách tính:
Lấy một điểm bất kì ( chẳng hạn điểm M), còn lại 4 điểm phân biệt ta nối điểm M với 4 điểm còn lại đó được 4 đường thẳng.
Với 5 điểm đã cho ta có : 4 đường × 5 điểm.
Nhưng với cách làm trên, mỗi đường ta đã tính hai lần. chẳng hạn, khi chọn điểm M ta nối M với N, ta có đường thẳng MN. Nhưng khi chọn điểm N, ta nối N với M, ta cũng có đường thẳng NM. Hai đường thẳng này trùng nhau nên ta chỉ tính là một đường.
Vậy số đường thẳng vẽ được là : ( đường thẳng).
Bài tập 2. Vẽ bốn đường thẳng đôi một cắt nhau. Số giao điểm ( của hai đường thẳng hay nhiều đường thẳng) có thể là bao nhiêu ?
Hướng dẫn
Khi vẽ bốn đường thẳng có thể xảy ra các trường hợp sau :
a) Bốn đường thẳng đó đồng quy : có một điểm chung ( H.a).
b) Có ba đường thẳng đồng quy, còn đường thẳng thứ tư cắt ba đường thẳng đó : có 4 điểm ( H.b).
c) Không có ba đường thẳng nào đồng quy (đôi một cắt nhau) : có 6 điểm ( H.c).
a) 	b)	c)
Hình 3
Bài tập 3: Trên mặt phẳng có bốn đường thẳng. Số giao điểm của các đường thẳng có thể bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn
Bài toán đòi hỏi phải xét đủ các trường hợp:
Hình 4
a) Bốn đường thẳng đồng quy: có giao điểm (H4a)
b) Có đúng ba đường thẳng đồng quy:
- Có hai đường thẳng song song: giao điểm (H4b)
- Không có hai đường thẳng nào song song: giao điểm (H4c)
b) Không có ba đường thẳng nào đồng quy
Hình 5
- Bốn đường thẳng song song: giao điểm (H5a)
- Có đúng ba đường thẳng song song: giao điểm (H5b)
- Có hai cặp đường thẳng song song: giao điểm (H5c)
- Có đúng một cặp đường thẳng song song: giao điểm (H5d,e)
- Không có hai đường thẳng nào song song: giao điểm (H5g)
Bài tập 4: Cho điểm . Nối từng cặp hai điểm trong điểm đó thành các đoạn thẳng.
a) Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng nếu trong điểm đó không có ba điểm nào thẳng hàng?
b) Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng nếu trong điểm đó có đúng ba điểm thẳng hàng?
c) Tính biết rằng có tất cả đoạn thẳng.
Hướng dẫn
a) Chọn một điểm. Nối điểm đó với từng điểm trong điểm còn lại, ta vẽ được đoạn thẳng .
Nhưng mỗi đoạn thẳng được tính hai lần, do đó tất cả chỉ có đoạn thẳng.
b) Tuy trong hình vẽ có ba điểm thẳng hàng, nhưng số phận đoạn thẳng phải đếm vẫn không thay đổi, do đó vẫn có đoạn thẳng.
c) Ta có 
Do đó: 
Suy ra .
Bài tập 5: Cho điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ một đường thẳng. Biết rằng có tất cả đường thẳng. Tính ?
Hướng dẫn
Ta có nên .
Vậy .
Bài tập 6: Cho điểm, trong đó có điểm thẳng hàng. Cứ điểm, ta vẽ một đường thẳng. Tìm , biết vẽ được tất cả đường thẳng.
Hướng dẫn
Giả sử trong điểm, không có điểm nào thẳng hàng. Khi đó, số đường thẳng vẽ được là: .
Trong điểm, giả sử không có điểm nào thẳng hàng. Số đường thẳng vẽ được là: 
Thực tế, trong điểm này ta chỉ vẽ được đường thẳng.
Vậy ta có: 
Bài tập 7
a) Cho bốn điểm A1,A2,A3,A 4 trong đó không có ba điểm thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta kẻ được một đường thẳng. Có bao nhiêu đường thẳng?
b) Cũng hỏi như thế với 5 điểm,10 điểm?
Hướng dẫn
a) Qua A1 kẻ được 3 đường thẳng A1A2 , A1A3 , A1A4
Qua A2 kẻ được 2 đường thẳng A2 A3, A2A4
Qua A3 kẻ được 1 đường thẳng A3 A4
Qua A4 không còn kẻ thêm được đường thẳng nào mới.
Vậy có tất cả 3+2+1=6 đường thẳng.
b) Nếu cho 5 điểm A1, A2 , A3 ,A4 , A5 trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng thì (0,25)
Qua A1 kẻ được 4 đường thẳng A1A2 , A1A3 , A1A4, A 1A5
Qua A2 kẻ được 3 đường thẳng A3A2 , A2A5 , A2A4
Qua A3 kẻ được 2 đường thẳng A4 A3, A3A5
Qua A4 kẻ được 1 đường thẳng A4A5
Qua A5 không còn kẻ thêm được đường thẳng nào mới
Vậy có tất cả 4+ 3+2+1=10 đường thẳng.
Lập luận như trên số đường thẳng kẻ được khi cho 10 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng là : 9+8+7+6+5+4+3+2+1 = 45 đường thẳng .
Bài tập 8.
a) Có điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Hỏi vẽ được tất cả bao nhiêu đường thẳng?
Nếu thay điểm bởi điểm ( và ) thì số đường thẳng là bao nhiêu?
b) Cho điểm trong đó có đúng điểm thẳng hàng, ngoài ra không có ba điểm thẳng hàng. Vẽ các đường thẳng đi qua các cặp điểm. Hỏi vẽ được tất cả bao nhiêu đường thẳng?
c) Cho điểm () trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Biết rằng tất cả có đường thẳng. Tìm .
Hướng dẫn
a) Kể từ một điểm bất kỳ với các điểm còn lại vẽ được đường thẳng.
Làm như vậy với điểm nên có đường thẳng
Nhưng mỗi đường thẳng đã được tính lần
Do vậy số đường thẳng thực sự có là: đường thẳng
Lập luận tương tự có điểm thì có: (đường thẳng)
b) Nếu điểm đã cho không có ba điểm nào thẳng hàng thì số đường thẳng vẽ được đường thẳng (câu a)
Với điểm, không có điểm nào thẳng hàng vẽ được: đường thẳng
Còn nếu điểm này thẳng hàng thì chỉ vẽ được đường thẳng. Do vậy số đường thẳng bị giảm đi là: (đường thẳng)
Số đường thẳng cần tìm là: đường thẳng
c) Ta có: 
Bài tập 9.
a) Cho đường thẳng trong đó bất kỳ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào cũng đi qua một điểm. Tính số giao điểm có được.
b) Cho đường thẳng () trong đó bất kỳ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào cũng đi qua một điểm. Biết rằng số giao điểm của các đường thẳng đó là . Tính 
Hướng dẫn
a) Mỗi đường thẳng cắt đường thẳng còn lại tạo thành giao điểm. Có đường thẳng nên có giao điểm, nhưng mỗi giao điểm đã được tính hai lần nên chỉ có:
(giao điểm)
Nếu thay bởi ( và ) thì số giao điểm có được là:
(giao điểm)
b) .
Vậy 
Bài tập 10. Cho năm điểm A, B, C, D, E phân biệt, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đoạn thẳng. Hỏi tất cả có bao nhiêu đoạn thẳng?
Hướng dẫn
Chọn một điểm. Nối điểm đó với từng điểm trong 4 điểm còn lại, ta vẽ được 4 đoạn thẳng . Làm như vậy 5 lần (vì có 5 điểm) nên ta có 5.4 =20 đoạn thẳng.
Nhưng mỗi đoạn thẳng được tính hai lần, do đó tất cả chỉ có 20 : 2 = 10 đoạn thẳng.
Bài tập 11. Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đoạn thẳng. Hỏi có tất cả bao nhiêu đoạn thẳng?
Hướng
Bài tập 12. Cho năm điểm phân biệt, trong đó có ba điểm thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đoạn thẳng. Hỏi có tất cả bao nhiêu đoạn thẳng?
Bài tập 13. Cho bốn điểm phân biệt, trong đó có ba điểm thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đoạn thẳng. Hỏi có tất cả bao nhiêu đoạn thẳng?
Bài tập 14: Cho 20 điểm phân biệt trong đó có đúng 7 điểm thẳng hàng, ngoài ra không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Hỏi từ 20 điểm đó vẽ được tất cả bao nhiêu đường thẳng?
Hướng dẫn
Nếu trong 20 điểm không có ba điểm nào thẳng hàng thì vẽ được . (Đường thẳng).
Trong 7 điểm không có ba điểm nào thẳng hàng thì tạo thành (Đường thẳng).
Vì 7 điểm thẳng hàng tạo thành 1 đường thẳng nên số đường thẳng giảm 21 - 1 = 20 (Đường thẳng).
Vậy có 190 – 20 = 170 (Đường thẳng).
Bài tập 15:
a) Cho 15 điểm. Nối cặp hai điểm trong 15 điểm đó thành các đoạn thẳng. Tính số đoạn thẳng mà mút thuộc 15 điểm đã cho.
b) Với cách nối như trên, nhưng có 60 điểm thì có được bao nhiêu đoạn thẳng.( Mỗi đoạn thẳng có mút thuộc 60 điểm đã cho)
Hướng dẫn
a) Số đoạn thẳng: 15. 14 : 2 = 105
b) Tổng quát số đoạn thẳng là: ( n là số điểm)
n = 60 nên số đoạn thẳng là: = 1770 ( đoạn)
Bài tập 16: Cho 1000 điểm phân biệt, trong đó có đúng 3 điểm thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu đường thẳng tạo bởi hai trong 1000 điểm đó?
Hướng dẫn
Số đường thẳng tạo bởi 1000 điểm phân biệt là: đường thẳng
Số đường thẳn tạo bởi 3 điểm không thẳng hàng là: đường thẳng
Theo bài ra vì có 3 điểm thẳng hàng nên số đường thẳng giảm đi là:
3 – 1 = 2 đường thẳng.
Vậy số đường thẳng tạo thành là: ( đường thẳng)
Bài tập 17: Cho 2013 điểm trong đó chỉ có 13 điểm thẳng hàng. Hỏi:
a) Có bao nhiêu đường thẳng đi qua hai trong các điểm trên?
b) Có bao nhiêu đoạn thẳng đi qua hai trong các điểm trên?
Hướng dẫn
a)
Qua 2013 điểm trong đó khụng có 3 điểm nào thẳng hàng ta vẽ được
2013.2012:2=2025078 ( đường thẳng)
Do 13 điểm thẳng hàng nên số đường thẳng bớt đi là:
13.12:2-1=77 ( đường thẳng)
=> Qua 2013 điểm trong đú chỉ có 13 điểm thẳng hàng ta vẽ được
2025078-77=2025001( đường thẳng)
b)
Vì số đoạn thẳng tạo thành khụng phụ thuộc vào số điểm thẳng hàng nên
Qua 2013 điểm trong đó chỉ có 13 điểm thẳng hàng ta vẽ được
2013.2012:2=2025078 ( đoạn thẳng)
Bài tập 18: Trên tia Ox vẽ các điểm M1;M2;M3. Nếu trong mặt phẳng chứa tia Ox vẽ thêm các điểm M4; M5; M6; ...; M101; M102. Trong các điểm M1; M2; M3; M4; ...; M101; M102 có đúng 3 điểm thẳng hàng và cứ qua hai điểm ta vẽ một đường thẳng. Có tất cả bao nhiêu đường thẳng như thế? Tại sao?
Hướng dẫn
Giả sử trong các điểm M1; M2; M3; M4; ...; M101; M102 (1) không có ba điểm nào thẳng hàng
Từ một điểm bất kỳ trong (1) ta vẽ được 101 đường thẳng qua các điểm còn lại trong (1)
Làm như thế với 102 điểm ta được 101.102 = 10302 đường thẳng
Nhưng mỗi đường thẳng đã được tính 2 lần nên tất cả chỉ có
10302 : 2 = 5151 (đường thẳng)
Vì trong (1) có đúng ba điểm thẳng hàng nên số đường thẳng giảm đi là 3 – 1 = 2
Vậy số đường thẳng cần tìm là: 5151 – 2 = 5149 (đường thẳng).
Dạng 3: Tính số giao điểm của các đường thẳng
* Hai đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm (1 giao điểm)
* Nếu có n đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy
=> Số giao điểm là: 
* Chú ý: Nếu biết số giao điểm thì tìm được số đường thẳng.
Bài tập 1: Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau và không có ba đường thẳng nào cùng đi qua một điểm. Tính số giao điểm của chúng.
Hướng dẫn
- Mỗi đường thẳng cắt 100 đường thẳng còn lại nên tạo ra 100 giao điểm.
- Có 101 đường thẳng nên có : 101.100 = 10100 giao điểm.
- Do mỗi giao điểm được tính hai lần nên số giao điểm là :
10100 : 2 = 5050 giao điểm.
Vậy số giao điểm là: 5050 giao điểm
Bài tập 2: Cho 2006 đường thẳng trong đó bất kì 2 đườngthẳng nào cũng cắt nhau. Không có 3 đường thẳng nào đồng qui. Tính số giao điểm của chúng.
Hướng dẫn
Mỗi đường thẳng cắt 2005 đường thẳng còn lại tạo nên 2005 giao điểm. Mà có 2006 đường thẳng
Þ có : 2005x 2006 giao điểm. Nhưng mỗi giao điểm được tính 2 lần
Þ số giao điểm thực tế là: (2005x 2006):2 = 1003x 2005 = 2011015 giao điểm
Bài tập 3: Cho đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy. Biết rằng số giao điểm của các đường thẳng đó là . Tính ?
Hướng dẫn
Từ ta tính được 
Dạng 4: Vẽ tam giác. Tính số tam giác tạo thành
Ba điểm A, B, C không thẳng hàng luôn tạo thành một tam giác ABC.
Với n điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng, ta vẽ được tam giác.
Bài tập 1:
a) Vẽ tam giác biết .
b) Lấy điểm ở trong tam giác nói trên. Vẽ tia cắt tại , tia cắt tại , tia cắt tại . Trong hình đó có bao nhiêu tam giác.
Hướng dẫn
a) Vẽ đoạn thẳng 
Vẽ cung tròn 
Vẽ cung tròn 
Lấy giao điểm của hai cung trên.
Vẽ đoạn thẳng ta được tam giác .
Có tam giác “đơn” là và .
Có tam giác “Ghép đôi” là .
Có tam giác “Ghép ba” là .
Có một tam giác “Ghép ” là tam giác .
Vậy trong hình có tất cả (tam giác).
Bài tập 2: Trên đoạn thẳng AB lấy 2006 điểm khác nhau đặt tên theo thứ từ từ A đến B là A1; A2; A3; ...; A2004. Từ điểm M không nằm trên đoạn thẳng AB ta nối M với các điểm A; A1; A2; A3; ...; A2004 ; B. Tính số tam giác tạo thành
Hướng dẫn
Trên đoạn thẳng AB có các điểm A; A1; A2; A3; ...; A2004 ; B do đó, tổng số điểm trên AB là 2006 điểm suy ra có 2006 đoạn thẳng nối từ M đến các điểm đó.
Mỗi đoạn thẳng (ví dụ MA) có thể kết hợp với 2005 đoạn thẳng còn lại và các đoạn thẳng tương ứng trên AB để tạo thành 2005 tam giác.
Do đó 2006 đoạn thẳng sẽ tạo thành 2005 . 2006 = 4022030 tam giác (nhưng lưu ý là MA kết hợp với MA1 để được 1 tam giác thì MA1 cũng kết hợp với MA được 1 tam giác và hai tam giác này chỉ là 1)
Do đó số tam giác thực có là: 4022030 : 2 = 2011015
Bài tập 3: Cho góc xOy và góc yOz là hai góc kề bù thỏa mãn: . Khi Oy là tia phân giác của góc tOz. Qua O kẻ thêm 50 đường thẳng phân biệt sao cho các đường thẳng này đều không chứa các tia Ox, Oy, Oz và Ot. Vẽ đường tròn tâm O bán kính r. Gọi A là tập hợp các giao điểm của đường tròn nói trên với các tia gốc O có trong hình vẽ. Tính số tam giác mà các đỉnh của nó đều thuộc tập hợp A.
Hình 2
O
x
z
y
t
Hướng dẫn
Khi Oy là tia phân giác của góc tOz thì 4 tia Ox, Oy, Oz, Ot là 4 tia phân biệt.
- Lập luận để có 50.2 + 4 = 104 tia gốc O phân biệt, suy ra A có 104 điểm (phần tử).
- Lập luận để có đoạn thẳng nối 2 trong 104 điểm của A
- Nối hai đầu của mỗi đoạn thẳng đó với 1 điểm thuộc 102 điểm còn lại (không phải là các mút của đoạn thẳng đó) được 102 tam giác
- vậy có 5356.102 tam giác. Nhưng như thế thì mỗi tam giác được tính 3 lần.
Vậy ta có (tam giác)
Bài tập 4: Giả sử trên tia Ay lần lượt lấy các điểm : A1 , A2 , A3 , .., An đôi một khác nhau và khác A. Nối CA1 ; CA2 ; CA3 ; ..;CAn . Người ta đếm thấy trên hình vẽ có 171 tam giác khác nhau. Vậy trên Ay có bao nhiêu điểm phân biệt khác A?
Hướng dẫn
Tính được: Có n điểm khác nhau trên Ax thì có tam giác khác nhau
Tính được n = 19
Kết luận trên Ay có 18 điểm phân biệt khác A
Bài tập 5: Cho 20 điểm cùng nằm trên một đường tròn và không trùng nhau. Hỏi vẽ được bao nhiêu hình tam giác nhận 3 trong 20 điểm là đỉnh?
Hướng dẫn
Chọn 1 trong 20 điểm nối với 19 điểm còn lại ta có 19 đoạn thẳng, có 20 điểm nên có 20. 19= 380 (đoạn thẳng)
Mà mỗi đoạn tính 2 lần nên có (19. 20): 2 = 190 đoạn thẳng
Hai mút đoạn thẳng với 18 điểm còn lại ta có 1 hình tam giác, có 190 đoạn thẳng nên có 190. 18 tam giác
Mà mỗi tam giác tính 3 lần nên có (190.18):3 = 1140 (tam giác)
Bài tập 6: Cho điểm thuộc đường thẳng và một điểm nằm ngoài đường thẳng ấy. Có bao nhiêu tam giác có các đỉnh là ba trong điểm trên?
Hướng dẫn
Có bao nhiêu đoạn thẳng nằm trên đường thẳng thì có bấy nhiêu tam giác.
Đáp số: tam giác.
Bài tập 7: Cho tam giác , điểm nằm giữa và , điểm nằm giữa và . Các đoạn thẳng và cắt nhau ở . Nối . Tính xem có bao nhiêu tam giác trong hình vẽ?
Đáp số:
Có tam giác “đơn”, có tam giác “đôi”, có tam giác “ba”, có tam giác “năm”, tất cả có tam giác.
Dạng 5: Bài tập liên quan tới trung điểm đoạn thẳng. Tính độ dài đoạn thẳng.
Nếu điểm nằm giữa điểm và điểm thì . Ngược lại, nếu thì điểm nằm giữa hai điểm và .
Nếu điểm nằm giữa hai điểm và ; điểm nằm giữa hai điểm và thì 
Nếu là trung điểm của đoạn thẳng thì 
Nếu nằm giữa hai đầu đoạn thẳng và thì là trung điểm của 
Bài tập 1. Đoạn thẳng AB= 36 cm được chia thành bốn đoạn thẳng có độ dài không bằng nhau là các đoạn thẳng AM, MN, NP và PB. Gọi E, F, H theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AM, MN, NP và PB. Biết độ dài của đoạn thẳng EH = 30cm. Tính độ dài của đoạn thẳng FG.
Hướng dẫn
- Theo đầu bài : AB = 36 cm, EH = 30 cm.
Vậy AE + HB = 36 – 30 = 6(cm).
Mà 	(1) ; 	(2) (E và H là trung điểm của AM và PB)
Từ (1) và (2) ta có :
Mà AE + HB = 6(cm) , nên 
Vậy, MP = AB – ( AM +PB ) = 36 – 12 →MP = 24 (cm).
- Theo đầu bài : F là trung điểm của MN, nên 	(3)
Và G là trung điểm của NP, nên 	(4)
Từ (3) và (4) suy ra :
	(5)
Theo thứ tự lấy các điểm chia và thứ tự lấy trung điểm các đoạn thẳng, thì N là điểm nằm giữa hai điểm F và G; N là điểm nằm giữa hai điểm M và P.
Vậy FN + NG = FG và MN + NP = MP.
Thay vào (5) ta có : .
Vậy độ dài đoạn thẳng FG là 12 cm.
Bài tập 2. Các điểm A, B, C nằm trên cùng một đường thẳng. Các điểm M và N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB và AC. Chứng tỏ rằng : BC = 2MN. Bài toán có mấy trường hợp, hãy chứng tỏ từng trường hợp đó.
Hướng dẫn
Khi vẽ hình có hai trường hợp:
- Trường hợp 1( H.a) : Hai điểm B và C ở cùng phía với A, tức là hai tia AB và AC trùng nhau.
+ Trường hợp này có thể chia làm hai trường hợp nhỏ là : AB > AC, AC > AB ( hai trường hợp chứng minh tương tự ).
Ta chứng tỏ AB < AC:
N là trung điểm của AC, nên : 	(1)
M là trung điểm của AB, nên : 	(2)
Từ (1) và (2) ta có :
	(3)