Đề thi học sinh giỏi cấp trường Toán học Lớp 6 - Năm học 2017-2018 (Có lời giải)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
Môn Toán 6
Bài 1.
Tìm phân số lớn hơn nhỏ hơn và có mẫu số bằng 20
Bài 2.
Tìm các cặp số tự nhiên thỏa mãn: Tổng của chúng bằng 240 và UCLN của chúng là 12
Bài 3.
Một người đã cắt từ một sợi dây dài mét lấy một đoạn dây dài mà không phải dùng thươc đo. Hỏi người đó đã làm như thế nào ?
Bài 4.
Cho dãy số với là số tự nhiên 
 Hãy tìm tất cả các số tự nhiên để dãy trên chứ nhiều số nguyên tố nhất 
Bài 5.
Hội khỏe Phù Đổng lần thứ nhất có 495 vận động viên là học sinh của toàn tỉnh về tham gia thi đấu các môn thể thao. Chứng minh rằng ít nhất có 2 vận động viên có số người quen bằng nhau. (Người A quen người B thì người B cũng quen người A)
ĐÁP ÁN
Bài 1.
Gọi phân số phải tìm là , a là số tự nhiên
Bài 2.
Gọi số phải tìm là . Giả sử 
UCLN (, ta có: 
Trong đó 
Ta có: 
Kết hợp với ta có:
Thay vào ta tính được
Bài 3.
Nhận xét được mà 
Tính được 0,25m chính là sợi dây
Bài 4.
ta có dãy số , dãy này có 4 số nguyên tố
ta có dãy dãy này có 5 số nguyên tố
ta có dãy dãy này có 4 số nguyên tố
trong dãy luôn chứa 5 số lẻ liên tiếp, các số lẻ này đều lớn hơn 3 và phải có 1 số lẻ là bội của 3 do đó nó không là nguyên tố. Vậy thì trong dãy có ít hơn 5 số nguyên tố.
Do đó , khi đó ta có 5 số nguyên tố
Bài 5.
Giả sử có 1 người không quen ai trong 495 vận động viên
Như vậy 494 người còn lại có nhiều nhất 493 người quen
Ta chia thành nhóm số người quen:
Nhóm 0 người quen gồm những người có số người quen bằng 0
Nhóm 1 người quen gồm những người có số người quen bằng 1
 .
 ..
Như vậy 493 người quen gồm có số người quen bằng 493
Như vậy ta có 494 nhóm (từ 0 đến 493). Mà có 495 người
Vậy theo nguyên lý Dirichle ít nhất có 1 nhóm người quen gồm 2 hay ít nhất có 2 người có số người quen giống nhau.
Giả sử có 1 người quen tất cả những người còn lại. Như vậy 494 người còn lại có nhiều nhất 494 người quen.
Chia nhóm người quen: có 494 nhóm người quen (từ 1 đến 994)