Đề thi Học sinh giỏi cấp trường Toán học Lớp 6 - Năm học 2018-2019 (Có lời giải)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
Năm học 2018-2019
Môn thi: TOÁN 6
Câu 1.Tính giá trị các biểu thức sau:
biết
Câu 2. Tìm là các số tự nhiên, biết:
Câu 3.
Tìm tất cả các cặp số tự nhiên sao cho chia hết cho 36
Không quy đồng mẫu số hãy so sánh:
Câu 4. Cho 
Tìm nguyên để là một phân số
Tìm nguyên để là một số nguyên.
Câu 5. 
	Cho tam giác có trên cạnh AC lấy điểm (không trùng với A và C)
Tính độ dài biết
Tính số đo biết 
Từ B dựng tia sao cho Tính số đo 
Trên cạnh lấy điểm (E không trùng với và B). Chứng minh rằng đoạn thẳng BD và cắt nhau.
ĐÁP ÁN
Câu 1.
Đặt 
Ta có: 
Câu 2.
Vậy 
Câu 3.
Ta có: mà ƯC(
Vậy để chia hết cho 36 thì chia hết cho 4 và 9
chia hết cho 9 khi 
chia hết cho 4 khi 
Với thay vào (1)
Với thay vào (1)
Vậy các cặp cần tìm là : 
Ta có:
Ta thấy 
Câu 4.
là phân số khi 
Với nguyên, A nhận giá trị nguyên 
Lập luận tìm ra được 
Câu 5.
D nằm giữa A và C
Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC nên 
Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Tia và BD nằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là AB
Tính được: 
Mặt khác tia nằm giữa hai tia nên 
Trường hợp 2: Tia nằm về cùng nửa mặt phẳng có bờ là 
Tính được: 
Lập luận tương tự trường hợp 1 chỉ ra được: 
Vậy 
Xét đường thẳng BD
Do cắt AC nên đường thẳng chia mặt phẳng làm hai nửa: 1 nửa mặt phẳng có bờ chứa điểm C và nửa mặt phẳng bờ BD chứa điểm A
tia thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm A
E thuộc đoạn ABthuộc nửa mặt phẳng bờ BD chứa điểm A
ở hai nửa mặt phẳng bờ BD
đường thẳng BD cắt đoạn EC
Xét đường thẳng CE
Lập luận tương tự: ta có đường thẳng EC cắt đoạn BD
Vậy 2 đoạn thẳng cắt nhau