Đề thi học sinh giỏi cấp trường Toán học Khối 6 (Có đáp án chi tiết)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 6 CẤP TRƯỜNG
Bài 1. Tìm biết:
Bài 2.
Chứng tỏ rằng trong 3 số tự nhiên liên tiếp luôn có 1 số chia hết cho 3
Chứng minh với mọi 
Bài 3. Cho 
Chứng tỏ S chia hết cho 4
Tìm chữ số tận cùng của S
Chứng tỏ 
Bài 4.
 Tìm 2 số thỏa mãn: 
Bài 5.
Cho . Chứng tỏ 
Bài 6. Lấy 1 tờ giấy cắt ra thành 6 mảnh. Lấy 1 mảnh bất kỳ cắt ra thành 6 mảnh khác. Cứ thế tiếp tục nhiều lần
Hỏi sau khi đã cắt một số mảnh nào đó, có thể được tất cả 75 mảnh giấy nhỏ không ?
Giả sử cuối cùng đếm được 121 mảnh giấy nhỏ. Hỏi đã cắt tất cả bao nhiêu mảnh giấy 
Bài 7. Cho đoạn thẳng Hãy xác định vị trí của điểm C trên đoạn thẳng AB sao cho 
Bài 8. Vẽ đoạn thẳng Lấy hai điểm C, D nằm giữa A và B sao cho: 
Chứng tỏ điểm C nằm giữa B và D
Tính độ dài đoạn thẳng 
ĐÁP ÁN
Bài 1.
Bài 2.
Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là 
Nếu 
Nếu 
Nếu 
Vậy trong 3 số tự nhiên liên tiếp luôn có 1 số chia hết cho 3
Nhận thấy là 3 số tự nhiên liên tiếp mà không chia hết cho 3, nên 2 số còn lại có 1 số phải 
Do đó, 
Bài 3.
Ta có:
Các tổng 4 số hạng đều chia hết cho 10, do đó tận cùng bằng 0
Mặt khác: 
Vậy S có tận cùng bằng 4
Bài 4.
Nhận thấy và mà không chia hết cho 4. Vậy không có 2 số tự nhiên nào thỏa mãn.
Bài 5.
Ta có: mà 
Bài 6.
Khi ta cắt 1 tờ giấy thành 6 mảnh thì số mảnh giấy tăng thêm 5. Cắt nhiều lần như thế thì tổng số mảnh giấy tăng thêm 5k (k là tờ giấy đem cắt). Ban đầu chỉ có 1 tờ giấy, vậy tổng số các mảnh giấy là 
Số này chia 5 dư 1: Vậy không thể có được tất cả 75 mảnh giấy nhỏ (vì )
Ta có: . Vậy ta đã cắt được tất cả 24 mảnh giấy
Bài 7.
Gọi M là trung điểm của AB suy ra và 
Xét ba trường hợp:
ta có: 
b) C nằm giữa A và M nên 
M nằm giữa C và B nên 
Từ (1) và (2) 
C nằm giữa M và B 
M nằm giữa A và C nên 
Từ (3) và (4) ta có 
Tóm lại 
Bài 8.
a) C nằm giữa A và B nên: và 
nằm giữa D và B
b) 
Vì 
. Vậy